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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,第十一章 多元函数积分学,第一节 二重积分概念与计算,第二节 二重积分概念与计算(续),第三节 二重积分应用举例,1/97,第一节 二重积分概念与计算,一、二重积分概念与性质,1引例：曲顶柱体体积,（1）曲顶柱体 以曲面,为顶,（,）以,平面上有界闭域,为底，侧面是以,边界限为准线、母线平行于,轴柱面立体（如图）称为曲顶柱体,（2）曲顶柱体体积,假如曲顶柱体高度不变，则它体积等于底面积,高，但曲顶柱体顶是曲面，所以不能直接用上面公式求,2/97,比如，级数 普通项为,又如级数,普通项为,简言之，数列和式称为,级数.,定义2,设级数（111）前项之和为,称S,n,为级数,前项部分和,当依次取1，2，3，时，,3/97,新数列,，,数列 称为级数,部分和数列,若此数列极限存在，即 (常数),则,S,称为 和，记作,此时称级数,收敛,假如数列 没有极限，则称级数,发散,，这时级数没有和,4/97,当级数收敛时，其部分和 是级数和,S,近似值，称 为,级数余项,，记作 ，即,例1,判定级数,敛散性.,解,已知级数前,n,项和是：,5/97,因为 ,所以这个级数收敛,其和为1.,例2,判定级数,敛散性,6/97,解,已知级数前,n,项和是,因为 ，所以这个级数发散.,例3,讨论等比级数（也称几何级数）,敛散性.,7/97,解,(1),前,n,项和,当 时，所以级数 收敛，其和,当 时，所以级数 发散.,(2),当 时，于是,8/97,所以级数 发散.,当 时，其前n项和,显然，当,n,时，S,n,没有极限.所以，级数 发散.,总而言之，等比级数 ，当 时收敛,当,时发散.,9/97,比如,，,级数1+2+4+8+,2,n-,1,+是公比为2几何级数,因为 ，所以级数是发散,级数 是公比为-1几何级数,因为 ，所以该级数发散.,注意,几何级数 敛散性非常主要.不论是用比较判别法判别级数敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.,.,10/97,例4,把循环小数 化为分数.,解,把 化为无穷级数,这是公比为 几何级数，由等比数列求和公式,11/97,所以,这个无穷级数和为 ，即,2数项级数基本性质,性质1,假如级数 收敛，其和为,s,k,为常数，则级数 也收敛，其和为,ks,；假如级数 发散，当,k,0时，级数 也发散.,由此可知，级数每一项同乘以不为零常数后，其敛散性不变.,.,12/97,性质2,若级数 与 分别收敛于与 ，则级数 ，收敛于,性质3,添加、去掉或改变级数有限项，级数敛散性不变.,性质4,若级数 收敛，则对其各项间任意加括号后所得级数仍收敛，且其和不变.,应该注意，性质4结论反过来并不成立.即假如加括号后级数收敛，原级数未必收敛.,.,13/97,比如级数,（1-1）+（1-1）+（1-1）+,显然收敛于零，但级数,1+1-1+1-1+,却是发散.,性质5,（两边夹定理）假如 且,和 都收敛，则 也收敛,14/97,性质6,（级数收敛必要条件）若级数 收敛，则,例5,判别级数 敛散性,解,因为,所以级数 发散.,例6,判别级数 敛散性.,15/97,解,级数 与级数 都收敛，故由性质2知，级数 收敛.,注意,性质6能够用来判定级数发散：假如级数普通项不趋于零，则该级数必定发散.应该看到，性质6只是级数收敛必要条件，并不是级数收敛充分条件，也就是说，即使 ，也不能由此判定级数 收敛.下面例9正说明了这一点：，但级数 发散.,16/97,例7,证实调和级数 是发散级数.,证,调和级数部分和 如图，,考查曲线,17/97,，所围成曲边梯形面,积S与阴影表示阶梯形面积A,n,之间关系.,所以，阴影部分总面积为,它显然大于曲边梯形面积S，即有,18/97,而 ，表明A极限不存在，所以该级数发散.,19/97,二、正项级数及其敛散性,假如 0（,n,=1,2,3），则称级数 为,正项级数,定理1,正项级数收敛充分必要条件是它部分和数列有界.,例1,证实正项级数 是收敛,证,因为,于是对任意有,20/97,即正项级数部分和数列有界，故级数 收敛.,定理2,（比较判别法）设 和 是两个正项级数，且,(1)若级数 收敛，则级数 也收敛；,(2)若级数 发散，则级数 也发散.,21/97,例2,讨论 级数 （）敛散性,解,当 时，因为 发散，所以由比较判别法知，当 时，发散.,当 时，顺次把 级数第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得,它各项显然小于级数,22/97,对应各项，而所得级数是等比级数，其公为 ，故收敛，于是当 时，级数 收敛.,总而言之，级数 当 时发散，当 时收敛.,注意,级数在判断正项级数敛散性方面经惯用到，所以相关 级数敛散性结论必须切记.,23/97,例3,判定级数 敛散性.,解,因为级数普通项 满足,而级数是,p,2 级数，它是收敛，所以原级数也是收敛.,24/97,例4,判别级数 敛散性.,解,因为,而 是由调和级数去掉前两项后所得级数，它是发散，所以由比较判别法知级数,发散.,25/97,定理3,（达朗贝尔比值判别法）设 是一个正项级数，而且 ，则,(1)当 时，级数收敛；,(2)当 时，级数发散；,(3)当 时，级数可能收敛，也可能发散.,例5,判别以下级数敛散性,(1)；(2),26/97,解,(1),所以级数 发散；,(2),所以级数 收敛.,27/97,要判别一个正项级数是否收敛，通常按以下步骤进行：,(1)用级数收敛必要条件,假如 ，则级数发散，不然需深入判断.,(2)用比值判别法,假如 ，即比值判别法失效，则改用比较判别法.,(3)用比较判别法,用比较判别法必须掌握一些敛散性已知级数，方便与要判定级数进行比较，经惯用来作为比较级数有等比级数，级数等.,28/97,三、交织级数及其敛散性,级数 称为,交织级数,.,定理4,（莱布尼兹判别法）假如交织级数,满足莱布尼兹(Leibniz)条件:,(1),(2),则级数 收敛，其和,S,，其余项 ,29/97,例6,判定交织级数 敛散性.,解,此交织级数 ，满足：,(1)；,(2),由莱布尼兹判别法知级数收敛.,四、绝对收敛与条件收敛,定义3,对于任意项级数 ,若 收敛，则称 是,绝对收敛,；若 收敛，而 发散，则称 是,条件收敛,.,30/97,定理5,绝对收敛级数必是收敛.,实际上，假如 收敛，因为 ,故从性质1及性质5知 也是收敛.,例7,判定级数 敛散性.,解,因为 ，而级数 收敛，故由比较判别法可知级数 收敛，从而原级数,绝对收敛.,31/97,例8,判别级数 敛散性，说明是否绝对收敛.,解,因为,故由比值判别法可知级数 收敛，所以原级数 绝对收敛.,32/97,例9,判别级数 是否绝对收敛.,解,因为,故由比值判别法可知级数 发散，从而原级数 不是绝对收敛.,33/97,例10,证实级数 条件收敛.,证,由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而,为调和级数，它是发散，故所给级数条件收敛.,34/97,第二节 幂级数,一、幂级数概念,1.函数项级数,假如级数,(11.2),各项都是定义在某个区间,I,上函数，则称该级数（2.2）为,函数项级数,，u,n,(x)称为,普通项,或,通项,.,当,x,在,I,中取某个特定值 时，函数项级数(2.2）就是一个常数项级数.假如这个级数收敛，则称点 为这个级数一个,收敛点,。若发散，则称点 为这个级数,发散点,.一个函数项级数收敛点全体称为它,收敛域,.,对于收敛域内任意一个数,x,，函数项级数成为一个收敛常数项级,数，所以有一个确定和,S,，在收敛域内，函数项级数和是,x,函数,35/97,S(,x,)，通常称S(,x,)为函数项级数,和函数,，即,其中,x,是收敛域内任一点.,将函数项级数前项和记作 ，则在收敛域上有,2.幂级数概念,形如,(11.3),36/97,函数项级数，称为,幂级数,，其中常数,称为,幂级数系数,.,当 0时，（11.3）幂级数变为,(11.4),称为,x,幂级数,.,(1)幂级数收敛半径,x,幂级数各项取绝对值，则得到正项级数,37/97,由比值判敛法,其中,当 时，若 ，即 ，则级数(11.4)收敛，若,即 ，则级数（11.4）发散.,这个结果表明，只要 就会有一个对称开区间（-，），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂,38/97,级数发散，当,x,=,R,时，级数可能收敛也可能发散,.,称 为幂级数（11.4）,收敛半径,.,当 时，则级数（11.4）对一切实数,x,都绝对收敛，这时收敛半径 .,假如幂级数仅在,x,0一点处收敛，则收敛半径R0.,定理1,假如x幂级数（11.4）系数满足,则(1)当 时，,39/97,(2)当 时，,(3)当 时，,(2)幂级数收敛区间,若幂级数(11.4)收敛半径为,R,，则（-,R,，,R,）称为该级数收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间端点,x,R,代入级数中，判定数项级数敛散性后，就可得到幂级数收敛域.,40/97,例1,求以下幂级数收敛半径及收敛域,(1)(2)(3),解,(1)因为,所以幂级数收敛半径 .,所以该级数收敛域为（-，+）；,41/97,(2)因为,所以所给幂级数收敛半径,R,=1.,所以该级数收敛区间为（-1，1）,当,x,1时，级数为调和级数，发散 ；,当,x,=-1时，级数为交织级数，收敛,故该级数收敛域为-1,1).,42/97,(3)因为,所以所给幂级数收敛半径 .,所以没有收敛区间，收敛域为 ，即只在,处收敛.,43/97,例2,求幂级数 收敛半径,解,所给级数缺乏偶次方项，依据比值法求收敛半径,当 ，即 时，所给级数绝对收敛；当,，即 时，所给级数发散.,所以，所给级数收敛半径 .,44/97,二、幂级数性质,性质1,幂级数和函数在收敛区间内连续，即若,，,x,（-,R,，,R,）则 在收敛区间内连续.,性质2,设,记 ，则在（-,R,R,）内有以下运算法则：,(1)加（减）法运算,45/97,(2)乘法运算,性质3,（微分运算）设 ，收敛半径为,R,，则在 （-,R,R,）内这个级数能够逐项求导，即,且收敛半径仍为,R,.,46/97,性质4,（积分运算）设 ，收敛半径为,R,，则在（-,R,R,）内这个级数能够逐项积分，即,且收敛半径仍为.,例3,已知 ，利用逐项积分性质，能够得到,47/97,当,x,=-1 时，收敛；,当,x,=1 时，发散.,故收敛域为-1,1)，即,48/97,例4,求 和函数,解,设 两端求导得,两端积分得,即,49/97,当,x,=-1时，收敛；,当,x,=1时，收敛，,所以,50/97,三、将函数展开成幂级数,1泰勒公式与麦克劳林公式,(1)泰勒公式,定理2,（泰勒中值定理）假如函数,f,(,x,)在x,0,某邻域内有直至,n,+1阶导数，则对此邻域内任意点,x,，有,n,阶泰勒公式,51/97,成立，其中 为阶泰勒公式余项，当,时，它是比 高阶无穷小，余项 拉,格朗日型表示式为,(2)麦克劳林公式,在泰勒公式中当初，则有麦克劳林公式,52/97,其中，,2、泰勒级数与麦克劳林级数,设,f,(,x,)在所讨论邻域内含有任意阶导数,称级数,53/97,为 在 处泰勒级数，其系数,称为 在 处泰勒系数.其前,n,+1项和,由泰勒公式得：,54/97,所以当 时，必有,即泰勒级数收敛，其和函数为 .反之，假如级数收敛于,于是得到下面定理.,55/97,定理3,假如在 某个邻域内，函数 含有任意阶导数，则函数 泰勒级数（11.6）收敛于 充分必要条件是：,当 时泰勒余项,假如 在 处泰勒级数收敛于 ，就说 在 处可展开称泰勒级数，则(11.6)式为 在 处泰勒展开式，也称 关于 幂级数，也记为,56/97,当 时，（11.6）式成为,称为函数,f,(,x,)麦克劳林展开式，也记为,57/97,3、将函数展开成幂级数方法,(1)直接展开法,把,f,(,x,)展开成幂级数，可按以下步骤进行：,求出,f,(,x,)各阶导数,计算,f,(,x,)及其各阶导数在,x,0处值，,58/97,写出幂级数,并求出它收敛区间；,考查当,x,在收敛区间内时，余项 极限是否为零，假如为零，则由上式所求得幂级数就是,f,(,x,)幂级数展开式.,59/97,例1,将函数 展开成,x,幂级数,解,因为,n=1，2，3，,所以，,n,=1，2，3，又,f,(0)=1,所以得级数 ，,它收敛区间为 .,对于任何实数,x,，有,60/97,因 是收敛级数 通项，所以,而 是有限正实数，所以,即 ,所以,从而得到 幂级数展开式,61/97,例2,将函数 展开成,x,幂级数,解,因为 ，,n,1，2，3,而,f,(n),(0)顺次循环取四个数1，0，-1，0，所以得级数,对于任何有限实数，,62/97,于是得幂级数展开式,类似地，还能够得到下述函数幂级数展开式：,（-1，1）,63/97,当,m,为实数时，,它收敛半径,R,=1，在 处展开式是否成立，要依据,m,数值，看右端级数是否收敛而定.,比如 当,m,=-1时,(-1,1),64/97,(2)间接展开法,间接展开法是指从已知函数展开式出发，利用幂级数运算规则得到所求函数展开式方法.,例3,将函数 展开成,x,幂级数,解,已知,（-，+）,65/97,而,利用逐项求导公式，得到,（-，+）,66/97,例4,将函数 展开成,x,幂级数,解,已知,（-1，1）,将上式从0到,x,逐项积分，得到,67/97,这个级数收敛半径,R,=1,当,x,1时，右端级数成为,这个级数是收敛级数.,当,x,-1时，右端级数成为,这个级数是发散级数.,所以,68/97,四、幂级数应用,1.函数值近似计算,例5,计算,e,近似值,解,：,e,值就是函数,e,展开式在,x,=1时函数值，即,e,取e,则误差,69/97,70/97,故若要求准确到 ，则只需 即 即可.比如要准确到 ，因为 ，所以取 即e 读者能够在计算机上求此值,(e ).,例6,制作四位正余弦函数表,解,因为 只需制作,正余弦表就行了.,71/97,我们使用正余弦展开式.注意这两个级数都是满足莱布尼茨条件交织级数,去掉前若干项之后剩下项仍为满足莱布尼茨条件交织级数.由莱布尼茨判定定理就可知,若取这两个级数前若干项作为近似时,误差不超出所弃项中第一项.因为,所以要作 四位正余弦表只需要取到至多 项,即取,作表时须注意,x,以弧度为单位.,72/97,2.求极限,例7,求,解,把,cosx,和 幂级数展开式代入上式，有,73/97,第三节 傅里叶级数,在本节中，将讨论另一类主要、应用广泛函数项级数三角级数.三角级数也称为,傅里叶（Fourier）级数,.所谓,三角级数,，就是除常数项外，各项都是正弦函数和余弦函数级数，它普通形式为,(1),其中 都是常数，称为,系数,.尤其当,时，级数只含正弦项，称为,正弦级数,.当 时，级数只含常数项和,74/97,余弦项，称为,余弦级数,.对于三角级数，我们主要讨论它收敛性以及怎样把一个函数展开为三角级数问题.,一、以 为周期函数展开为傅里叶级数,因为正弦函数和余弦函数都是周期函数，显然周期函数更适合于展开成三角级数.设,f,(,x,)是以,为周期函数，所谓,傅里叶（Fourier）级数展开,就是寻找一个三角级数,75/97,使得该级数以,f,(,x,)为和函数，即,f,(,x,)=,先处理这么问题：假如以 为周期函数可表为式（1）所表示三角级数，那么怎样确定 和 .为了求出这些系数，先介绍以下内容.,1三角函数系正交性,在三角级数（1）中出现函数,（2）,76/97,组成了一个,三角函数系,，这个三角函数系有一个主要性质，就是,定理1,（三角函数系正交性）三角函数系（2）中任意两个不一样函数乘积在 上积分等于0，详细说就是有,77/97,这个定理证实很轻易，只要把这五个积分实际求出来即.,2.,f,(,x,),傅里叶级数,为了求（1）式中系数，利用三角函数系正交性，假设（1）式是可逐项积分，把它从 到 逐项积分：,由定理1，右端除第一项外均为0，所以,78/97,于是得,为求 ，先用 乘以（11.7）式两端，再从 到 逐项积分，得,由定理1，右端除,k,=,n,一项外均为 0，所以,于是得,79/97,类似地，用 sin,nx,乘以（11.7）式两端，再从 到,逐项积分，可得,用这种方法求得系数成为,f,(,x,),傅里叶系数,.,总而言之，我们有,定 定理2,求,f,(,x,)傅里叶系数公式是,(3),80/97,由,f,(,x,)傅里叶系数所确定三角级数,成为,f,(,x,),傅里叶级数,.,显然，当,f,(,x,)为奇函数时，公式（3）中 ，当为偶函数时，公式（3）中 所以有,推论,当,f,(,x,)是周期为 奇函数时，它傅里叶级数为正弦级数 其中系数,81/97,当,f,(,x,)是周期为 偶函数时，它傅里叶级数为余弦级数,其中系数,3.傅里叶级数收敛性,上述,定理3,（收敛定理）设,以 为周期函数,f,(,x,)在,上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：,（1）没有断点或仅有有限个第一类间断点；,（2）至多只有有限个极值点，,则,f,(,x,)傅里叶级数收敛，且有：,82/97,（1）当,x,是连续点时，级数收敛于,f,(,x,)；,（2）当,x,是间断点时，级数收敛于这一点左右极限算术平值,例1,正弦交流,I,(,x,)=sin,x,电经二极管整流后（图 11-2）变为 为整数，,把,f,(,x,)展开为傅里叶级数.,83/97,图 11-2,解,由收敛定理可知，,f,(,x,)傅里叶级数处处收敛于,f,(,x,).,84/97,计算傅里叶系数：,所以，,f,(,x,)傅里叶展开式为,（-,x,+.,85/97,例2,一矩形波表示式为,求,f,(,x,)傅里叶展开式.,解,由收敛定理知，当 时，傅里叶级数收敛于,f,(,x,).当 时，级数收敛于,又因为,f,(,x,)奇函数，由定理2推论可知展开式必为正弦级数，只需按推论公式求 即可.,86/97,所以，傅里叶展开式为,87/97,4.或 上函数展开成傅里叶级数,求,f,(,x,)傅里叶系数只用到,f,(,x,)在 上部分，即,f,(,x,)只在 上有定义或虽在 外也有定义，但不是周期函数，仍可用公式（11.9）求,f,(,x,)傅里叶系数，而且假如,f,(,x,)在 上满足收敛定理条件，则,f,(,x,)最少在 内连续点上傅里叶级数是收敛于,f,(,x,)，而在 处，级数收敛于,88/97,类似地，假如,f,(,x,)只在 上有定义且满足收敛定理条件，要得到,f,(,x,)在 上傅里叶级数展开式，能够任意补充,f,(,x,)在 上定义（只要公式（11.9）中积分可行），成为函数延拓，便可得到对应傅里叶级数展开式，这一展开式最少在 内连续点上是收敛到,f,(,x,).惯用两种延拓方法是把,f,(,x,)延拓成偶函数或奇函数.,例3,将函数 分别展开成正弦级数或余弦级数.,89/97,解,为把,f,(,x,)展开成正弦级数，把,f,(,x,)延拓为奇函数 ，再用推论公式计算,由此得 上展开式也即,f,(,x,)在 上展开式为,在 处，上述正弦级数收敛于,90/97,为把,f,(,x,)展开成余弦级数，把,f,(,x,)延拓为偶函数,然后用推论公式求出,于是得到在 上余弦级数展开式,由此例也可见到在 上傅里叶级数展开式不是惟一.,91/97,二、以2,l,为周期函数展开成傅里叶级数,设,f,(,x,)是以2,l,为周期函数，且在-,l,l,上满足收敛定理条件，为了将周期2,l,转换为,，,作变量代换 ，即 ，能够看出，当,x,在区间-,l,l,上取值时，,t,就在 上取值.,设 则,F,(,t,)是以 为周期函数且在,上满足收敛定理条件.于是可用前面方法得到,F,(,t,)傅里叶级数展开式,92/97,然后再把,t,换回,x,并注意到 ，于是就得到傅里叶级数展开式,例4,如图11-3所表示三角波波形函数是以2为周期函数,f,(,x,)，,f,(,x,)在-1,1上表示式是,求,f,(,x,)傅里叶展开式.,解,作变换 ，则得,F,(,t,)在 表示式为,93/97,利用例3后半部分可直接写出系数,于是得,F,(,t,)表示式,把,t,换回,x,即得,仿照例3做法，也可把上 0,l,函数展开成正弦级数和余弦级数.,94/97,图11-3,95/97,例5,设,f,(,x,)是周期为4 函数，它在-2,2)上表示式为,将,f,(,x,)展开为傅里叶级数.,解,先求,f,(,x,)傅里叶系数，这里,l,=2,.,96/97,依据收敛定理，得傅里叶级数为,97/97,
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