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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,数学教学课件,1/21,【课题】定积分应用单元复习,2/21,(1)图中x为积分变量阴影部分面积微元为,错处:窄条近似高,在积分区间-2,2内,故,错处:中面积微元,和 缺乏对称部分面积,故,(2)图中阴影部分面积为,i)直角坐标系中图形面积,平面图形面积计算法,(,),x,f,(,),x,f,(,),y,f,(,),y,j,ii)极坐标下平面图形面积,【,纠错导入复习,】,指出以下作业中答案错误之处,说明为何,并纠正错误.,、纠正作业错误,3/21,(3)图中阴影部分绕Y轴旋转体面积为,错处:积分限,故,错处:非平面曲线求弧长公式,故,直角坐标曲线弧长公式,参数式曲线弧长公式,极坐标曲线弧长公式,旋转体体积,(4)图中星形线在第一象限全长为,3,3,cos,sin,t,a,x,t,a,y,=,=,2,1,2,a,4/21,、,复习要求,以上作业错误,分析其产生原因,有是计算公式利用不妥造成,但更主要是未能在了解元素法基础上就给予利用而产生.本课将经过解答学习疑难、系统回顾知识、巩固主要方法、提升利用能力等方面教学，发挥复习对知识进行深化、精炼和概括作用,帮助同学们明确单元中主要知识间内在联络,能营造出知识结构；加深对定积分元素法了解,明确什么条件下量能够从详细问题表示为定积分,并掌握把所求量表示为定积分方法和步骤;学会建立适当坐标系来讨论和处理定积分元素法利用问题,能综合利用对应知识将实际问题化为数学问题,经过元素法写出积分形式后进行计算.,为此,提出几点要求:,1、对本章复习不能仅停畄在对己学知识温习记忆一遍要求上,而要去努力思索新知识是怎样产生?是怎样展开?其实质是什么?怎样应用它?等.,2、要经过讨论归纳出定积分应用知识结构,把知识有机地串联起来.在了解教材基础上，沟通知识间内在联络，找出重点、关键,然后提炼概括,组成一个知识系统,从而形成或发展扩大认知结构.,3、在复习过程中要增強元素法利用规律总结和提升快速计算能力.,5/21,【营造单元知识结构】,前面几节课我们已经用定积分元素法处理了许多问题,现在要问:,怎样了解定积分元素法？,几何量、物理量定积分表示与元素法之间知识联络是怎样？,本单元知识结构图怎样构建?,怎样正确地用定积分表示和计算一些几何量、物理量呢?,、元素法与定积分几何意义之间知识联络回顾,定积分几何意义,分析与说明,定积分,元素法,6/21,、定积分元素法了解,对定积分元素法了解:,(1)、元素法中量I是可化为定积分量,而且是在区间a,b上改变量.,注:在I微小局部上,微区间x,x+dx中dx其长度很短，几乎为零.,(3)、利用元素法处理实际问题(如求量I)关鍵是在I微小局部上进行数量分析,寻找正确元素表示式.,什么是定积分元素法?,(2)、上述所求量I,若在a,b内任一小区间 上,用“以直代曲、以不变代变”找到这个量I微分 (即I元素表示式),则求I问题可转化为计算定积分,定积分元素法元素,是在微区间 上用“以直代曲、以不变代变”替换后得到,这里 与,相差一个比 高阶无穷小.,积分号 实际是元素状态下加法器,表示从a处dI加到b处dI.,设一积分变量x在区间a,b 上改变，把区间a,b分成n个小区间，取其中任一小区间 ,求出这小区间上所求量,I 能近似地表示为a,b上一个连续函数在x处值f(x)与 d x 乘积，就把 f(x)d x 称为量元素,记作d I.即d If(x)d x.,所求量元素 f(x)d x 在a,b 上作定积分,得 这种方法通常叫积分元素法.,7/21,、详细问题造成定积分条件,详细问题,量I能用定积分表示,必须具备两个特征:,I是一个与其变量x改变区间x,x+dx相关量.,I对于区间a,b含有可加性,即,由详细问题造成定积分条件可知,除了曲边梯形面积以外，像一些比较复杂平面图形面积、特殊体积、平面弧长等,几何量和变力所做功、液体侧压力等物理量,也具备这种特征，所以它们也都能用定积分来表示.,、可归结为定积分计算量I表示为定积分方法和步骤,(即用元素法解题程序),于是 从而有,详细步骤是：,（1）建立坐标系；,（2）建立元素,（3）确定上、下限；,（4）计算定积分。,;,在a,b任一子区间 上,写出,8/21,、几何量、物理量定积分表示与元素法之间知识联络,定积分元素法,几何量、物理量定积分表示,用详细问题造成定积分条件判定,用元素法解题程序,6、单元知识结构,定积分几,何意义,分析与,说明,定积分,元素法,几何应用,用详细问,题造成定,积分条,件判定,表示为定,积分方,法和步骤,物理应用,?,?,?,课后自己完成,9/21,（1）平面图形面积计算方法,(ii)极坐标下平面图形面积,（2）平面曲线弧长,计算公式,极坐标曲线,参数式曲线,直角坐标曲线,(,),x,f,(,),x,f,(,),y,f,(,),y,j,(i)直角坐标系中图形面积,【元素法几何应用】,、基本内容回顾,10/21,(3)立体体积,计算方法,(i)平行截面面积为已知立体体积,(ii)旋转体体积,a,(,),x,A,11/21,几何应用,平面图形面积,平面曲线弧长,立体体积,直角坐标系中图形面积计算方法,极坐标下平面图形面积计算方法,直角坐标曲线弧长计算公式,参数式曲线弧长计算公式,极坐标曲线弧长计算公式,平行截面面积为已知,立体体积计算方法,旋转体体积计算方法,、计算方法系统表,讨论并构建几何应用,计算方法系统表,12/21,为了计算方便,怎样选择积分变量和积分区间?,两种解法进行对比,对积分变量和积分区间选取,有何新发觉?,为了定出图形所在范围，应先求两抛物线交点.,分析与提醒:,例 1:计算两抛物线 所成平面图形面积.,、几何应用举例,13/21,例 1 解答,解法1 由 ,解之得两曲线交点为,所以 S =,解法2,取x为积分变量,点评:取为积分变量,积分要分成两项之和,计算较繁.,积分变量选取得当,会使计算简化.,取y为积分变量,则面积微元为,则,在 时,在 时,14/21,【分析与提醒】本题是在极坐标系下给出曲线,能用极坐标系下求面积公式进行计算.对极坐标系下给出曲线,也可把它化为在直角坐标系下曲线进行计算.,解法1 对极坐标系下给出曲线直接用求面积公式进行计算.由,解之得r=2,=则,例 2:计算由曲线 和直线 所围成平面图形面积.,15/21,例 2 解法2,:,若 取y为积分变量,则,【点评】解法2,计算简便,若只会依据题中所给出极坐标系下曲线方方程和极坐标系下求面积公式进行解答,就会弃简就难.,选取能使计算较简便坐标系,对曲线方程进行交换,能使定积分计算简化.,在直角坐标系下,这两曲线就是抛物线 x=和直线 x=1,其交点为 ,.,先化极坐标系下曲线方程为直角坐标系下曲线方程,再进行计算.,16/21,【元素法物理应用】,1、引力问题,例 3:证实:把质量为m物体从地球表面升高到h处所做功是,分析 合理推算方法也是一个证法.由题意可知本命题属物理引力问题.从物理学知道,质量分别为M、m,相距为r两质点间引力大小为 ,其中 k为引力系数,引力方向沿着两质点连线方向.,证:因为质量为m物体与地球中心相距x时,引力为 .,因为引力是变力,而在微区间 上,微引力近似为 .,故功元素为 ,(功=力 距离),距离x范围为 .,则所做功为 .,17/21,分析与提醒:,由物理学知道,深入液体物体表面所受压力是随液体深度不一样而改变.在液体深h处压強为 (为液体密度).如一平板面积为A,水平地置入液体中深h处,则平板一侧所受压力为 .假如将平板垂直地插入液体中,因为深度不一样处压強不相同,平板一侧所受压力就不可用上述方法计算.但因为整个侧立平板所受压力对深度含有可加性,所以可用定积分计算.,2、,液体静压力问题,例:三角形薄板铅直地淹没在水中,其底与水面平齐,且薄板底长为a,高为h.(1)计算薄板侧压力.(2)若倒转薄板顶点于水面,试问水对薄板侧压力增大几倍?(3)若薄板沉入水中一部分,顶点朝下,底平行于水面,且在水面之下距离为 ,试求此时侧压力.,18/21,例 4 解答,解:(1)建坐标系如图(1)所表示,(设:沿液体表面作y轴,x轴铅直向下坐标系)取液深x为积分变量,.,于是整个薄板侧压力为,P=,(2)倒转薄板取坐标系如图(2)所表示.,因为,所以,从而说明水对薄板侧压力比(1)中情形增大了一倍.,(3)薄板沉入水中时,取坐标系如图(3)所表示.,于是 P=,y,x,(1),x,y,(2),因为,x,y,(3),X改变区间为 0,h,在0,h上任取一小区间 则在其上有(由三角形相同性),微面积为,.,微压力,(压力=压強 面积)为,19/21,从本章知识结构可知,在定积分应用中,经常采取是元素法,而且定积分应用中主要是元素法在几何、物理方面应用.所以,要求正确了解定积分元素法,要求熟练掌握定积分元素法几何应用和物理应用.从详细问题造成定积分条件可知,量I能用定积分表示,必须具备两个特征:I是一个与其变量x改变区间 相关量;I对于区间a,b含有可加性,即 .定积分元素法,其实质是在微区间 上“以直代曲、以不变代变”,同时也揭示了定积分就是微分无限求和这一本质.,例3、例,点评:,【归纳总结】,定积分在物理中应用还有:变力沿直线所作功、重心、转动惯量、质量等问题.处理这类问题关键是要把实际问题化为数学问题,即由对应物理原理经过元素法写出积分形式.在元素法详细利用中:首先要求实际问题含有造成定积分条件;其次要结合详细实际,选取适当积分变量和建立能使计算较简便坐标系;再就是要寻找正确元素表示式,利用其物理意义写出所求量元素 ,以及变量改变区间,最终对元素积分.,定积分应用中:要结合详细实际,选取适当积分变量和建立能使计算较简便坐标系,写出所求量元素 ,以及变量改变区间,再计算元素定积分,.,20/21,再见,21/21,
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