专题七：函数与导数问题进阶(教师版)自己总结.doc

函数与导数问题进阶（教师版）
常见题型及解法
1. 常见题型
一、 小题：
1. 函数的图象
2. 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);
3. 分段函数求函数值；
4. 函数的定义域、值域（最值）；
5. 函数的零点；
6. 抽象函数；
7. 定积分运算（求面积）
二、大题：
1. 求曲线在某点处的切线的方程；
2. 求函数的解析式
3. 讨论函数的单调性，求单调区间；
4. 求函数的极值点和极值；
5. 求函数的最值或值域；
6. 求参数的取值范围
7. 证明不等式；
8. 函数应用问题

2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为
。
(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。
(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。
(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.
(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。
(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立
(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则
(8)若，使得，则；若，使得，则.
(9)设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，则有
.
(10)若对、 ，恒成立，则.
若对，，使得,则.
若对，，使得，则.
（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，
若对,，使得=成立，则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.

(13)证题中常用的不等式:
① ②
③ ④
⑤ ⑥

3. 解题方法规律总结
1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。
2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：
①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。
3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。
4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）
5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象， 确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。
小题讲解：
【例1】（山东高考题）已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则
【答案】 -8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以, 由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上 是增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，．所以．
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．

【例2】若是方程的解，是 的解，则的值为（ ）
A． Error! No bookmark name given. B． C．3 D．
【解析】作出的图象，交点横坐标为，而． 【答案】C
【点评】该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质．综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题．指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数， 高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基， 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用．

【例3】若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】设函数和函数，则函数
有两个零点， 就是函数与函数有两个交点，由图象可知：当时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数的图象过点(0，1)，而直线所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是． 【答案】
【点评】本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答．体现了对分类讨论思想的考查，分类讨论时，要注意该分类时才分类，务必要全面．

【例4】已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x 取值范围是（ ）
（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）
【解析】由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)， ∴得f(|2x－1|)＜f()，再根据f(x)的单调性，得|2x－1|＜，解得＜x＜． 【答案】B
【点评】该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式，体现的对转化思想的考查，同时还综合考查了函数的性质，而该题的转化的依据就是函数的奇偶性和单调性．考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程、不等式等的综合不但是一个热点，而且成了一个固定的必考题型．

【例5】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得：

则，令，即，解得．
当时，；当时，，
因此，当时，取得最小值，元．
【答】 为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
【点评】这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．
一、（单调性，用到二阶导数的技巧）
例一、已知函数
⑴若，求的极大值；
⑵若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.
解：⑴定义域为

令 由
由
即上单调递增，在上单调递减
时，F(x)取得极大值
　⑵的定义域为(0，+∞)，
由G (x)在定义域内单调递减知：在(0，+∞)内恒成立
令，则 由
∵当时为增函数
当时，为减函数
∴当x = e时，H(x)取最大值
故只需恒成立，
又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性
二、交点与根的分布
例二、已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）．在点处的切线方程为，
即．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
若过点可作曲线的三条切线，
则方程 有三个相异的实数根．
记 ，则．
当变化时，变化情况如下表：

0

0

0

极大值

极小值

如果过可作曲线三条切线，
即有三个相异的实数根，则即 ．
例三、已知，函数（其中）
（I）求函数在区间上的最小值；
（II）是否存在实数，使曲线在点处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

三、不等式证明
作差证明不等式
1. （2010湖南，最值、作差构造函数）
已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求证：≤≤x．
解：(1)函数f (x)的定义域为(－1，+∞),，
由 得：，∴x＞0,∴f (x)的单调递减区间为(0，+∞).
(2)证明：由(1)得x∈(－1，0)时，，
当x∈(0，+∞)时，，且
∴x＞－1时，f (x)≤f (0)，∴≤0，≤x
令，则，
∴－1＜x＜0时，，x＞0时，，且
∴x＞－1时，g (x)≥g (0)，即≥0
∴≥，∴x＞－1时，≤≤x．

2. （2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）
已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
⑴用表示，并求的最大值；
⑵求证：当时，．
解：⑴设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
⑵设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．

变形构造证明不等式
3. 已知函数，
（Ⅰ）求的极值
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围
（Ⅲ）已知，且，求证
解：（1）∵，令得
，，为增函数，，，为减函数
∴有极大值 ……………………4分
（2）欲使＜在上恒成立， 只需 在上恒成立
设，
，，为增函数,，，为减函数
∴时，是最大值 只需，即………8分
（3）∵由（2）可知在上单调增，
，那，同理
相加得 ，∴，
得： .
4. （2010辽宁文21，构造变形，二次）
已知函数.
⑴讨论函数的单调性； K^S*5U.C#
⑵设，证明：对任意，.
解：⑴ f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0,
故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.
设，≤－1，对称轴为，
结合图象知≤≤0，
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0,+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，

四、不等式恒成立求字母范围
恒成立之最值的直接应用

已知函数。
⑴求的单调区间；
⑵若对于任意的，都有≤，求的取值范围.
解：⑴，令，
当时，与的情况如下：

+
0

0
+

0

所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，
当时，与的情况如下：

0
+
0

0

所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是。
⑵当时，因为，所以不会有
当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是，
所以等价于,解
综上：故当时，的取值范围是[，0].
5. （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）
已知函数，其中.
⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式；
⑵讨论函数的单调性；
⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
解：⑴，由导数的几何意义得，于是．
由切点在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
⑵．
当时，显然(),这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：

＋
0
－
－
0
＋

↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
∴在，内是增函数，在，内是减函数．
⑶由⑵知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．
恒成立之分离常数
6. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）
已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.
(1)当时,求曲线在处的切线方程；
(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.
（改x≥0时，≥0恒成立.≤1）
解：（1）当时，,,,
切线方程为．
（2）[方法一]
≥1,1
2
)
(
2
-
-
-
=
\
ax
x
e
x
f
x
≥a
Û
0
≤x
x
e
x
1
2
2
-
-
,
设x
x
e
x
g
x
1
2
)
(
2
-
-
=
,则2
2
1
2
)
1
(
)
(
'
x
x
e
x
x
g
x
+
-
-
=
,
设,则,
在上为增函数,≥,
,在上为增函数,
≥,≤．
[方法二], ,
设,,
≥0,≥0,在上为增函数,
≥.
又≥0恒成立,≥0,≤,
≥,,
在上为增函数, 此时≥≥0恒成立,
≤．
（改x≥0时，≥0恒成立.≤1）
解：先证明在上是增函数，再由洛比达法则，∴，∴≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上，分两种情况讨论可得≤1）
已知函数 ．
（Ⅰ）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
解：（Ⅰ）因为， x >0，则，
当时，；当时，．
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值．
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以 解得．
（Ⅱ）不等式即为 记
所以
令，则，
， 在上单调递增，
，从而，
故在上也单调递增， 所以，所以
设函数.
⑴若函数在处与直线相切：
①求实数的值；②求函数在上的最大值；
⑵当时，若不等式≥对所有的都成立，求实数的取值范围.
解：（1）①。
∵函数在处与直线相切解得 .
②
当时，令得；令，得，上单调递增，在[1，e]上单调递减，.
（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，
即对所有的都成立，
令为一次函数， .
上单调递增，，
对所有的都成立.
..
（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，，请根据过程酌情给分）

恒成立之讨论字母范围
7. （2007全国I，利用均值，不常见）
设函数．
⑴证明：的导数；
⑵若对所有都有，求的取值范围．
解：⑴的导数．由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
⑵令，则，
①若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
②若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
设函数.
⑴若，求的最小值；⑵若当时，求实数的取值范围.
解：（1）时，，.
当时，；当时，.
所以在上单调减小，在上单调增加
故的最小值为
（2），
当时，，所以在上递增，
而，所以，所以在上递增，
而，于是当时， .
当时，由得
当时，，所以在上递减，
而，于是当时，，所以在上递减，
而，所以当时，.
综上得的取值范围为.
近三年新课标导数高考试题
[2011]
1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是B
（A） (B) （C） (D)
2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为C
（A） （B）4 （C） （D）6
4、（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
（21）解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。
考虑函数，则。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,
而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0]
[2012]
5、（12）设点P在曲线y=ex 上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为B
（A） 1-ln2 （B） （C）1+ln2 （D）
6、已知函数f（x）满足
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若求（a+1）b的最大值。
【解析】（1）
令得：

得：

在上单调递增

得：的解析式为
且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，

令；则

当时，
当时，的最大值为
【2013年】
7、16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.
【解析】由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，
当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，
∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16.
8、（21）（本小题满分共12分）
已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2时, ，求k的取值范围。
【解析】（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
设函数==（），
==，有题设可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时， ＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值， 而==≥0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(2)若，则=，
∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(3) 若，则==＜0，∴当≥－2时，≤不可能恒成立，
(4) 综上所述，的取值范围为[1,].

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