导数单元测试题理及答案.doc

高 二 数 学 阶 段 检 测(理)

一．选择题（共10题，每题5分）
1． 已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a的值为 （ ）
A. 1 B. C. －1 D. 0
2． 函数是减函数的区间为 ( )
A． B． C． D．（0，2）
3．曲线在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A． B。 C。 D。a
4． 由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B. C. D.
5． 函数已知时取得极值，则= ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6． 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
7．函数有极值的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
y
o
x
8．设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如左图所示，则导函数y =f ′(x)的图象可能是

A. B. C. D.
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是 (　　)
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
10．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二．填空题（共5题，每题5分）
11．设f ( x ) = x3－x2－2x＋5，当时，f ( x ) < m恒成立，则实数m的取值范围为 .
12．函数y = f ( x ) = x3＋ax2＋bx＋a2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。
13．已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．
14．设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是 。
15．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对于任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．

三．解答题
16（12分）．已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.

17（12分）．已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程.

18（12分）．已知函数
（1）当时，求函数极小值；（2）试讨论曲线与轴公共点的个数。

19（12分）. 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．
（Ⅰ）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0．002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少?

20（13分）．设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

21（14分）.设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.

一．选择题ADBAD DCCDA
9、解析　x>0时′<0，∴φ(x)＝为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，
此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f(x)>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)．
二．填空题 11、m>7 12、4 -11
13、答案　[1，＋∞)解析　f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x>0恒成立， m≥－2＋，
令g(x)＝－2＋，则当＝1时，函数g(x)取最大值1，故m≥1.
14、
15、答案　 解析　由于f′(x)＝1＋>0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.
三．解答题
16．解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是知故所求的解析式是 （2）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.
17．（Ⅰ）解：，依题意，，即
解得.
∴.
令，得.
若，则，
故在上是增函数，在上是增函数.
若，则，故在上是减函数.
所以，是极大值；是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上.
设切点为，则点M的坐标满足.
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
18．解：（1）极小值为
（2）①若，则，的图像与轴只有一个交点；
②若， 极大值为，的极小值为，
的图像与轴有三个交点；
③若，的图像与轴只有一个交点；
④若，则，的图像与轴只有一个交点；
⑤若，由（1）知的极大值为，的图像与轴只有一个交点；
综上知，若的图像与轴只有一个交点；若，的图像与轴有三个交点。
19. 解：（Ⅰ）因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际年利润为：
因为， ……………4分
所以当时，w取得最大值．
所以乙方取得最大年利润的年产量吨 ……………5分
（Ⅱ）设甲方净收入为v元，则．
将代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格之间的函数关系式：
……………………………………7分
又
令，得s=20．
当s<20时，；当s>20时，，所以s=20时，v取得最大值．…11分
因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元／吨）时，获最大净收入．…………12分
20．解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；当时，；当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，解得　或，
因此的取值范围为．
21. 【答案】(Ⅰ) 当时,,
令,得,
当变化时,的变化如下表:

增
极大值
减
极小值
增
右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ) ,令,得,,
令,则,所以在上递增,
所以,从而,所以
所以当时,;当时,;
所以
令,则,令,则
所以在上递减,而
所以存在使得,且当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.
综上,函数在上的最大值.

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