高中导数及其应用教案.doc

教育教师备课手册
教师姓名

学生姓名

填写时间
2012.2.1
学科
数学
年级
高三
上课时间
10:00-12:00
课时计划
2小时
教学目标
教学内容
中考复习 三角形
个性化学习问题解决
基础知识回顾，典型例题分析
教学重点、难点

教
学
过
程

导数及其运用
知识网络
导数的概念
基本初等函数的导数公式
导数
函数的单调性研究

的的的
函数的极值与最值研究
导数的定义
导数的物理及几何意义意义
导数的运算
导数的四则运算法则及复合函数的导数
导数的应用
最优化问题
计算定积分

的的的
定积分与微积分
的基本定理
定积分的应用

第1讲 导数的概念及运算

★ 知 识 梳理 ★

1.用定义求函数的导数的步骤.
（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=.
2.导数的几何意义和物理意义
几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的
物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处
的
解析：斜率.；瞬时速度.
3. 几种常见函数的导数
（为常数）；（）；
； ；
； ；
；.
解析：
4.运算法则
①求导数的四则运算法则：
； ； .
解析：；
②复合函数的求导法则：或

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法
2.难点：切线方程的求法及复合函数求导
3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.
（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。
问题1.比较函数与,当时,平均增长率的大小.
点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是
(1)计算自变量的改变量
(2)计算对应函数值的改变量
(3)计算平均增长率:
对于,又对于,
故当时, 的平均增长率大于的平均增长率.
（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,
问题2. 已知,则 .
点拨：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.
设,,则
.
（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。
问题3. 求在点和处的切线方程。
点拨：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；
点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。

即过点的切线的斜率为4，故切线为：．
设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，
故，。
即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 导数概念
题型1.求函数在某一点的导函数值
[例1] 设函数在处可导，则等于
　　A． B． C． D．
【解题思路】由定义直接计算
[解析].故选
【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式
考点2.求曲线的切线方程
[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则= .
【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设,过P点的切线方程为
即
它与重合,比较系数知:
故=2
【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．
题型3.求计算连续函数在点处的瞬时变化率
[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.
【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数.
解析：加速度v=
(10+Δt)=10 m/s.
∴加速度v=2t=2×5=10 m/s.
【名师指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是
1. 计算
2. 计算

【新题导练】.
1. 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .
解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.
点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.
2. 某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为 （ ）
A．－1 B．－3 C．7 D．13
解:B 点拨:计算即可
3. 已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.

解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)
对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为
y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①
对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②
∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0
∴直线l方程为y=0或y=4x－4
点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.
考点2 导数的运算
题型1:求导运算
[例1] 求下列函数的导数：
（1） 　 （2）　 　（3）
【解题思路】按运算法则进行
[解析] （1）
（2）

（3）
【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解求导回代）；注意问题的变通：如的导数容易求错，但的导数不易求错.
题型2:求导运算后求切线方程
例2. (广州市2008届二月月考)已知函数
（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.
【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.
解析：（1）设切线的斜率为k，则
又，所以所求切线的方程为： 即
【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.

与曲线相切于P处的切线方程是（ D ）
A． B． C． D．
题型3:求导运算后的小应用题
例3. 某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为( )
A. B. C. D.
【解题思路】先对的求导,再代的数值.
解析:选D
【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.
【新题导练】.
4. 设函数，且，则
A．0 B．-1 C．3 D．-6
思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于的方程求解.
解 :
+++
故 又,故
5. 设函数，（、、 是两两不等的常数），
则 ．
解析:代入即得0..
6. 质量为的物体按的规律作直线运动,动能,则物体在运动后的动能是
解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J

基础巩固训练
1. (广东省六校2009届高三第二次联考试卷)是的导函数，则的值是 ．
解析: 故=3
2. (广东省2008届六校第二次联考)在处的导数值是___________.
解析：故填
3. 已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为 .

解析：|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上
∴y=－2,∴y′=－,∵kAB=－,∴－
∴x=4,代入y2=4x(y<0)得y=－4. ∴P(4,－4)
4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．求直线的方程及的值；
解：依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率
，
所以直线的方程为．
又因为直线与的图像相切，所以由
，
得（不合题意，舍去）；
5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)
已知函数的图象都相切，且l与函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；
解由，故直线l的斜率为1，切点为
即（1，0） ∴ ① 又∵
∴ 即 ②
比较①和②的系数得
综合拔高训练
6. 对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:
（1）求函数的“拐点”A的坐标;
（2）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.
[解析]（1），.令得
， .拐点
（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得
左边,
右边
右边=右边在图象上关于A对称
7.已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。
（1）若，求的值；
（2）用表示，并求的最大值。
解：（1）设与在公共点处的切线相同

由题意知 ，∴
由得，，或（舍去）
即有
（2）设与在公共点处的切线相同

由题意知 ，∴
由得，，或（舍去）
即有
令，则，于是
当，即时，；
当，即时，
故在的最大值为，故的最大值为
8. 设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。求证：；
解：(Ⅰ)方法一、 .由题设，得 ①
②
∵，∴，∴。
由①代入②得，∴，
得∴或 ③
将代入中，得 ④
由③、④得；
方法二、同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，所以，则
方法三：同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，显然，所以
因为图象的开口向下，且有一根为x1=1
由韦达定理得,
,所以，即，则，由得：
所以：
第2讲 导数在研究函数中的应用
★ 知 识 梳理 ★
1. 函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 .
解析：单调递增；单调递减
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是
解析：极大值点；极小值.
3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) .
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
4．求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法
2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题
3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题
（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
问题1. 设，．令，讨论在内的单调性并求极值；
点拨:根据求导法则有，
故，于是，

2

减
极小值
增
列表如下：
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.
问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）求证：当时，有.
点拨:由转化为为增函数是解答本题关键.类似由
转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.
（1）由得因为，
所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.
（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，
有成立，
从而
两式相加得
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 导数与函数的单调性
题型1.讨论函数的单调性
例1(08广东高考)设，函数，，，试讨论函数的单调性．
【解题思路】先求导再解和

【解析】
对于，
当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.
（1） 求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.
[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.
题型2.由单调性求参数的值或取值范围
例2: 若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.
【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或
(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.
解析：又在区间[－1,1]上单调递增
在[－1,1]上恒成立 即在[－1,1]的最大值为
故的取值范围为
【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.
题型3.借助单调性处理不等关系
例3. 当，求证
【解题思路】先移项,再证左边恒大于0
解析：设函数
当时， ，故在递增，当时，,又，，即，故
【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明
【新题导练】.
1. 若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是
A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3
分析：本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.
解析：f′(x)=3x2－2ax=3x(x－a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x－a)≤0,
即a≥2,∴a≥3.答案：A

2. 函数y=x3+x的单调增区间为
A.(－∞,+∞) B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.不存在
解析：∵y′=3x2+1>0恒成立，∴y=x3+x在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间.
答案：A
3. 已知函数,,设．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
解析：（I），
∵，由，∴在上单调递增。
由，∴在上单调递减。
∴的单调递减区间为，单调递增区间为。
（II），
恒成立
当时，取得最大值。
∴，∴
考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.
题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值
例1. 若函数在处取得极值,则 .
【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.
[解析]因为可导,且,所以,解得.经验证当时, 函数在处取得极大值.
【名师指引】 若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.
例2．（2008·深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和极小值．
【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。
解析：.，
．
令，解得或．
由于，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。
例3. (广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.
【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值
解析：的定义域为， …………1分
的导数. ………………3分
令，解得；令，解得.
从而在单调递减，在单调递增. ………………5分
所以，当时，取得最小值. ………………………… 6分
（Ⅱ）解法一：令，则， ……………………8分
① 若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即.…………………… 10分
② 若，方程的根为 ，
此时，若，则，故在该区间为减函数.
所以时，，
即，与题设相矛盾. ……………………13分
综上，满足条件的的取值范围是. ……………………………………14分
解法二：依题意，得在上恒成立，
即不等式对于恒成立 . ……………………8分
令， 则. ……………………10分
当时，因为，
故是上的增函数， 所以 的最小值是， ……………… 13分
所以的取值范围是. …………………………………………14分
【名师指引】求函数在闭区间上的最大值（或最小值）的步骤：①求在内的极大（小）值，②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者．
题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。
例3．（广东省六校2009届高三第二次联考）
已知函数图像上的点处的切线方程为．
（1）若函数在时有极值，求的表达式
（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围
【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）
解析：， -----------------2分
因为函数在处的切线斜率为-3，
所以，即，------------------------3分
又得。------------------------4分
（1）函数在时有极值，所以，-------5分
解得，------------------------------------------7分
所以．------------------------------------8分
（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零，--------------------------------10分
则得，所以实数的取值范围为----14分
【名师指引】已知在处有极值，等价于。
【新题导练】
4．在区间上的最大值为，则=（ ）
A. B. C. D. 或
解析：选B
在上的最大值为，且在时，，解之或（舍去），选B.

5．在区间上的最大值是
A． B．0 C．2 D．4
[解析]，令可得或（2舍去），当时，>0，当时，<0，所以当时，f（x）取得最大值为2.选C
6．已知函数是上的奇函数，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意不等式恒成立.
[解析]（1）由奇函数定义，有. 即 因此，
由条件为的极值，必有
故 ,解得
因此
当时，，故在单调区间上是增函数.
当时，，故在单调区间上是减函数.
当时，，故在单调区间上是增函数.
所以，在处取得极大值，极大值为
（2）由(1)知，是减函数，且
在上的最大值为最小值为
所以，对任意恒有
[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题.
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）
函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值 点共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A
2．、函数有（ ）
A. 极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C. 极小值－2，极大值2 D. 极小值－1，极大值3
解析：，令得
当时，；当时，；当，
时，，当，故选D.
3．函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为
A.1－e B.－1 C.－e D.0
解析：y′=－1,令y′=0,即x=1,在(0，e］上列表如下：
x
(0,1)
1
(1,e)
e
y′
+
0
－

y
增函数
极大值－1
减函数
1－e
由于f(e)=1－e,而－1＞1－e,从而y最大=f(1)=－1.
答案：B
4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若，求函数的单调区间.
[解析]

（当a.>1时，对x∈（0，+∞）恒有>0， ∴当a.>1时，f(x)在（0，+∞）上为增函数；
5．（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
解：（x）=3ax2+6x－1. 要使f（x）在[0，4]递减，则当x∈（0，4）时，（x）<0。
∴或，解得a≤－3.

综合拔高训练
6．（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即…………………………………………2分
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x.……………………………………………………4分
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………………………8分
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因，故切线的斜率为
，
整理得.
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根.……………………10分
设g(x0)= ，则g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1………………12分
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
，解得－3<m<－2.
故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.……………………14分
7．（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 ）
已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）， ……1分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 ……3分
∴的极小值为 ……4分
（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴ ， ……5分
令，， ……6分
当时，，在上单调递增 ……7分
∴
∴在（1）的条件下， ……9分
（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，
……9分
① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值. ……10分
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件. ……11分
③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.
8．(潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检)已知函数（）
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 证明：lnx<
解：（1）函数f(x)的定义域为，
①当时，>0，f(x)在上递增
②当时，令得解得：
，因（舍去），故在上<0，f(x)递减；在上，>0，f(x)递增.
（2）由（1）知在内递减，在内递增.

故，又因
故，得
第3讲 导数的实际应用

★ 知 识 梳理 ★
利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：
优化问题
函数模型
解决数学问题
优化问题的解

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。
2.难点：建模的过程
3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题.
（1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题
问题1：路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.
点拨：利用导数的物理意义解决
设路灯距地平面的距离为，人的身高为.设人从点运动到处路程为米，时间为(单位：秒)，AB为人影长度，设为,则
∵， ∴
∴,又,∴
∵,∴人影长度的变化速率为.
（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.
问题2. （2006·江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
O
O1
[剖析]设为 ,则由题设可得正六棱锥底面边长为
（单位：）
于是底面正六边形的面积为（单位：）
帐篷的体积为（单位：）
求导数，得令解得(不合题意，舍去),.
当时，,为增函数；当时，,为减函数。
所以当时,最大.答当为时，帐篷的体积最大.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点: 最优化问题
题型1.函数模型中的最优化问题
例1. 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
【解题思路】由勾股定理建模.
解析 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得
=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.
【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.
例2. 某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?
思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.
解法一:设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大. 2分
依题意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］ 4分
=－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10), 8分
显然,当x=9时,ymax=864(元),
即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分
解法二:由上面解法得到y=－6x2+108x+378.
求导数,得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,
解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.
【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

题型2:几何模型的最优化问题
【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.
例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， △、△和四边形均由单一材料制成，制成△、△和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形.
图1
(1) 求证：四边形是正方形；
(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

图2

【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，△为等腰直角三角形， 四边形是正方形.
[解析] (2) 设，则，每块地砖的费用
为，制成△、△和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)，

.
由，当时，有最小值，即总费用为最省.
答：当米时，总费用最省.
【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.
题型3:三角模型的最优化问题
例4. 若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）
【解题思路】如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，
即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最
大的照度，只需求的极值就可以了.
解析：设到的距离为，则，
于是，.
当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大.

（0，）

+
-

↗
↘
点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.

【名师指引】多参数的数学应用题要注意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题通常利用导数求解比较方便.

【新题导练】.
1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

解析:设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，其体积为，
则，令，得，
解得（已舍去）且仅当时，；当时，.所以函
数在时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数的最大值.
，故当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.
2. .一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
设船速度为时，燃料费用为元，则，由可得，∴，∴总费用，，令得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，∴当时，取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．

★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. 我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段?答:
据有关统计资料, 我国儿童4岁前身高情况有一组统计数据
年龄/岁
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
身高/米
0.52
0.63
0.73
0.85
0.93
1.01
1.06
1.12
…

思路分析:: 要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快
2.（2008·深圳6校）某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之间距离对时间的变化率是_____________.
解析:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题