1.1.2导数的概念.doc

1. 1.2导数的概念
课前预习学案
预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念
预习内容：
问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=___________________

问题2 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在处的______，记作或________，即________________________
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容

课内探究学案
学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度， 理解导数(瞬时变化率)的概念
学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解
学习难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵
通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点
学习过程：
一：问题提出
问题： 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=___________________

时，在这段时间内
时，在这段时间内

二：导数的概念
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在处的______，记作或________，即________________________
三：探究求导数的步骤：

f(x1)
f(x1)
f(x1)
f(x1)
f(x1)
（即___变化率）

四：精讲点拨
课本例1

五：有效训练
求在点x=1处的导数.

反思总结：
附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同
②定义的变化形式：=；
=；=；
，当时，，所以
③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
当堂检测：
1、已知函数，下列说法错误的是（ ）
A、叫函数增量
B、叫函数在[]上的平均变化率
C、在点处的导数记为
D、在点处的导数记为
2、求函数在处的导数

课后练习与提高
1、若质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为（ ）
A、6 B、18 C、54 D、81
2、设函数可导，则=（ ）
A、 B、 C、不存在 D、以上都不对
3、函数在处的导数是______________
4、已知自由下落物体的运动方程是，(s的单位是m,t的单位是s)，求：
（1）物体在到这段时间内的平均速度；
（2）物体在时的瞬时速度；
（3）物体在=2s到这段时间内的平均速度；
（4）物体在时的瞬时速度。

1.1.2 导数的概念
教学目标：
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数.
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.
教学难点：
导数的概念.
教学过程：
一、创设情景
h
t
o
(一)平均变化率
(二)探究
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,
所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
二、新课讲授
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:

思考当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？
结论: 当趋近于时,即无论从小于的一边,还是从大于的一边趋近于时,平均速度都趋近于一个确定的值.
从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便,我们用
表示“当,趋近于时,平均速度趋近于定值”
小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
2.导数的概念
从函数在处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在出的导数,记作或
即
说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率;
(2),当时,,所以.
三、典例分析
例1 (1)求函数在处的导数.
(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
分析: 先求,再求,最后求.
解: (1)法一 定义法(略)
法二
(2)

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解: 在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义

所以 同理可得:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,
说明在第附近,原油温度大约以的速率下降
在第附近,原油温度大约以的速率上升.
注: 一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
四、课堂练习
1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.
2.求曲线在时的导数.
3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
五、回顾总结
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.
2.导数的概念.
六、布置作业
课本第10页：2,4