导数及其应用教案(含答案).doc

导数及其应用
一、知识点梳理
1.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。
即
2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点为曲线上一点，则过点的切线的斜率

由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程可如下求得：
（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：

3.导数的四则运算法则：
1）
2）
3）
4.几种常见函数的导数：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7) (8)
5.函数的单调性：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。
6.函数的极值
求函数极值的步骤:
①求导数。
②求方程的根.
③列表；
④下结论。
7.函数的最大值和最小值
（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求在内的极值.
②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.
注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数取值为0的点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.
(2) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。
（3）极大（小）值与最大（小）值的区别与联系
二、典型例题解析：
例1
（1）若函数在区间内可导，且则 的值为（ ）
A． B． C． D．

（2）已知曲线的一条切线方程是，则的值为
或 或
（3）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
A． B． C． D．
（4）已知函数，若是的一个极值点，则值为 （ ）
A．2 B.-2 C. D.4
例2．在区间上的最大值是 2 。
解：当－1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，
所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。
点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数。
例3：设函数f(x)= （Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
解：由已知得，令，解得 。
（Ⅰ）当时，，在上单调递增；
当时，，随的变化情况如下表：

0

+
0

0

极大值

极小值

从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；
当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

例4：已知函数
（1）若在R上单调，求的取值范围。
（2）问是否存在值，使得在上单调递减，
若存在，请求的取值范围。
解：先求导得
（1）在R上单调且是开口向上的二次函数
恒成立，即
，解得

（2）要使得在上单调递减
且是开口向上的二次函数
对恒成立，
即
解得

不存在值，使得在上单调递减。
例5：已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线，和轴所围成的三角形的面积
解： 设直线的斜率为，直线的斜率为，
，由题意得,得直线的方程为

,
与该曲线的切点坐标为由直线方程的点斜式得直线的方程为：
（Ⅱ）由直线的方程为,令
由直线的方程为，令
由得：
设由直线，和轴所围成的三角形的面积为S，则：

三、 练习：
1．关于函数，下列说法不正确的是 （4） 。
（1）在区间（，0）内，为增函数 （2）在区间（0，2）内，为减函数
（3）在区间（2，）内，为增函数 （4）在区间（，0）内，为增函数
2．对任意x，有，，则此函数为 。
3．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。
4．下列函数中，是极值点的函数是 （2） 。
（1） （2） （3） （4）
5．下列说法正确的是 （4） 。
（1）函数的极大值就是函数的最大值 （2）函数的极小值就是函数的最小值
（3）函数的最值一定是极值 （4）在闭区间上的连续函数一定存在最值
6． 函数的单调减区间是 [0，2] 。
7．已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中为常数。
（1）试确定的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间。