平方根与立方根一对一辅导讲义.doc

教学目标
1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；
2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根；
3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；
4. 理解开立方与立方的关系。
重点、难点
重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。
难点：算术平方根与平方根的区别与联系。
考点及考试要求
以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主
教 学 内 容
第一课时 平方根与立方根知识梳理
课前检测

1、求下列各数的算术平方根：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

2、求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）

3、算术平方根等于本身的数有 。
4、求下列各数的算术平方根.
， ， ， ，

5、已知求的值.

知识梳理

一. 平方根：
1. 算术平方根的概念及表示方法
如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。当时，的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数。
2. 平方根的概念及其性质
（1）平方根的定义
如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或二次方根。即如果，那么叫做的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。当时，的平方根表示为。
（3）求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数。
3. 用计算器求一个正数的算术平方根
用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。

二. 立方根：
1. 立方根的概念及表示方法
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。即如果，那么叫做的立方根，记作。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。
2. 开立方的概念
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。
3. 用计算器求立方根
很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。

第二课时 平方根与立方根典型例题
典型例题

知识点一：算术平方根
例1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。
（1）81； （2）； （3）0；
（4）； （5）； （6）。
思路分析：根据“正数和0都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）有算术平方根，（2）、（6）没有算术平方根。
解答过程：（1）因为81是正数，所以它有算术平方根。又因为，所以81的算术平方根是9；
（2）因为是负数，所以它没有算术平方根；
（3）0有算术平方根，就是0；
（4）因为是正数，所以它有算术平方根。又因为，所以的算术平方根是；
（5）因为是正数，所以它有算术平方根。又因为，所以的算术平方根是2；
（6），是负数，所以没有算术平方根。
解题后的思考：要判断一个数有没有算术平方根，要根据算术平方根的概念确定这个数是不是非负数，只有非负数才有算术平方根。
以上结论不要死记硬背，同学们要理解为什么负数没有算术平方根？

例2. 已知，求的值。
思路分析：考虑、、都是非负数，根据非负数的性质，不难解决此题。
解答过程：
又

解得。
解题后的思考：一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零。这是解决这类问题的出发点。
小结：
1. 只有非负数才有算术平方根，并且只有一个；
2. 一个非负数的算术平方根是一个非负数。

知识点二：平方根的概念及其性质
例3. 求下列各数的平方根和算术平方根：

（1）3600； （2）； （3）0.0001； （4）。
思路分析：因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆运算，所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根。
解答过程：（1）因为，所以3600的平方根是，即。
3600的算术平方根是60，即。
（2）因为，，所以的平方根是，即。
的算术平方根是，即。
（3）因为，所以0.0001的平方根为，即。
0.0001的算术平方根为0.01，即。
（4）因为，，所以的平方根为，即。
的算术平方根为7，即。
解题后的思考：运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法。如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化为分数，再求它的平方根和算术平方根；如果被开方数是带分数，要先将带分数化成假分数，再求它的平方根和算术平方根。

例4. 求下列各式中的。
（1）； （2）；
（3）； （4）。
思路分析：把上面各式化成的形式，求出的平方根，就可以求出的值。
解答过程：（1）因为，所以；
（2）因为，所以，所以或；
（3）因为，所以，所以；
（4）因为，所以，所以。
解题后的思考：虽然目前我们并没有学习过一元二次方程的解法，但是我们可以利用平方根的定义求解一些简单的一元二次方程。

例5. 若一个正数的两个平方根分别为和，求的值。
思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程，求出的值，而或，据此可求出的值。
解答过程：因为一个正数的两个平方根互为相反数
所以，解得。
从而（或
所以。
解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出。这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。

例6. 若适合关系式，试求的值。
思路分析：从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。
解答过程：由已知，得
由（3）（4）式可知，
所以，原式即为
因为，
所以，
又因为，
所以，解得。
解题后的思考：的非负性包括两层含义：一是被开方数必须非负，即；二是的算术平方根必须非负，即。
小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0

知识点三：平方根的估算
例7. 已知为的整数部分，是9的平方根，且，求的值。
思路分析：此题涉及的估值问题，由，即可解。还涉及的取值的取舍问题，求出的值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。
解答过程：因为，所以，即
因为是9的平方根，所以，即或
又因为，所以
所以，故。
解题后的思考：若的整数部分为，则其小数部分为。
小结：若一个非负数介于另外两个非负数之间，即时，它的算术平方根也介于之间，即。利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围。
对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。

知识点四：立方根的概念及其性质
例8. 已知是8的立方根，求。
思路分析：此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。
解答过程：是8的立方根

，
解题后的思考：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。
小结：立方根与平方根的区别：
只有非负数才有平方根，0的平方根为0，正数的平方根有两个且互为相反数；
任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。

知识点五：平方根与立方根的综合运用
例9. （1）已知，则__________；
（2）已知，则。
思路分析：一个正数扩大（或缩小）100倍，则它的算术平方根扩大（或缩小）10倍。从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动2位，则它的算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位。
一个正数扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根扩大（或缩小）10倍。从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位。
解答过程：（1）因为
所以
（2）因为
所以
解题后的思考：同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆：
一个正数扩大10倍，则它的平方扩大100倍，立方扩大1000倍；
反之，一个正数缩小100倍，它的算术平方根缩小10倍；一个正数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍。

例10. 已知是的算术平方根，是的立方根，试求的值。
思路分析：由是的算术平方根可知，由是的立方根可知，由此可得方程组，解得的值，从而求得的值，最后求出的值。
解答过程：由题意可知
解方程组得
所以，，
所以，。
解题后的思考：明确算术平方根和立方根的意义及表示方法。

例11. 若与互为相反数，求代数式的值。
思路分析：由立方根的定义和性质可知，若与互为相反数，则有被开方数互为相反数。由此求出的关系式，然后代入求值。
解答过程：由题意得
所以，
则。
解题后的思考：熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。

师生小结

被开方数
名称
正数
0
负数
1

算术平方根
1个（正数）
0
无
1
无
平方根
2个（一正一负）
0
无

无
立方根
1个（正数）
0
1个（负数）
1

第三课时 平方根与立方根课堂检测
课堂检测

一、选择题：
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个非零数的立方根与这个数同号
3. 与最接近的数是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
4. 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（ ）
A. 1 B. C. 0或1 D. 或0
5. 计算（ ）
A. B. C. D. 0

二、填空题：
6. （1）________； （2）___________；
（3）________； （4）________；
（5）________；
7. 的平方根是__________；
8. 的小数部分为___________；
9. 下列说法中正确的是_________________（将序号填写在横线上）
①4的平方根是2； ②4的算术平方根是2；
③是4的平方根； ④的平方根是；
⑤0.3是0.09的平方根； ⑥0.4的算术平方根是0.2。
10. 如果，那么_______。

三、解答题：
11. 求下列各数的平方根和算术平方根
（1） （2）0.0081
（3）(－)2 （4）14
12. 求下列各数的立方根．
（1）0.001 （2）－216
（3）3 （4）－3
13. 求下列各式中的x．
（1）9x2－256＝0 （2）4(2x－1)2＝25

14. 已知：(1－2a)2＋＝0，求ab的值．

15. 若3x＋16的立方根是4，求2x＋4的算术平方根．

16. 已知，求的值。

17.已知：（ｘ－1）2+＝0，求ｘ+ｙ2－ｚ的立方根．

　18.已知：ｘ－2的平方根是±2,　2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．

19. 若ｘ2＝（－3）2，ｙ3＝（－2）3，求ｘ+ｙ的所有可能值．

19. 将半径为3 cm的铁球熔化，重新铸成8个半径相同的小铁球。
（1）原铁球的体积是多少？
（2）每个小铁球的体积是多少？半径是多少？（球的体积公式：）

20. 计划用100块地板砖来铺设面积为16m2的客厅，求所需的正方形地板砖的边长是多少米？

21. 已知第一个正方体纸盒的棱长是6cm，第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个正方体纸盒的棱长．