线性方程组的平方根解法.doc

浅析线性方程组的平方根解法
在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。
一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义
我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b的系数矩阵A是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：
1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：
1) 正定矩阵A是非奇异的
2) 正定矩阵A的任一主子矩阵也必为正定矩阵
3) 正定矩阵A的主对角元素均为正数
4) 正定矩阵 A的特征值均大于零
5) 正定矩阵A的行列式必为正数
定义一 线性方程组Ax=b的系数矩阵A是对称正定矩阵，那么Ax=b是对称正定线性方程组。
定义二 如果方阵A满足A=AT，那么A是对称阵。
2.1.4　平方根法和改进的平方根法
如果A是n阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：
定理2 若A为n阶对称矩阵，且A的各阶顺序主子式都不为零，则A可惟一分解为：A＝LDLT，其中L为单位下三角阵，D为对角阵。
证明 因为A的各阶顺序主子式都不为零，所以A可惟一分解为：A＝LU
因为 ，所以可将 U分解为：

其中 D为对角矩阵，U1为单位上三角阵．于是：A＝LDU1＝L(DU1)
因为A为对称矩阵，所以，A＝AT＝U1TDTLT＝U1T(DLT)，由 A的 LU分解的惟一性即得：L＝U1T，即U1＝LT，故A＝LDLT。
工程技术中的许多实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定性，对于具有此类特殊性质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方根法及改进的平方根法，这种方法目前在计算机上已被广泛应用。
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零。
2 对称正定矩阵的三角分解
定理 (Cholesky分解)设A为n阶对称正定矩阵，则存在惟一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得：A＝LLT。
分解式A＝LLT称为正定矩阵的Cholesky分解，利用Cholesky分解来求解系数矩阵为对称正定矩阵的方程组AX＝b的方法称为平方根法。
设A为4阶对称正定矩阵，则由定理 4知，A＝LLT，即：

将右端矩阵相乘，并令两端矩阵的元素相等，于是不难算得矩阵L的元素的计算公式为：

平方根法的计算框图见图3.4。
用平方根法求解系数矩阵对称正定的线性方程组时，计算过程是数值稳定的。
为了避免开方运算，有时直接使用对称矩阵A的分解来计算，在(3.40)中令,根据矩阵乘法可以求出Ｌ和Ｄ的元素，然后将方程组(3.1)即转化为两个三角形方程组，，由前一方程解出y，代入后一方程便可解出x。
二、平方根法求解对称正定线性方程组的过程
用平方根法求解对称正定方线性程组Ax=b的步骤如下：
例 用平方根法求解方程组

解 设

右端矩阵相乘并比较等式两端。由第一列有

可得
比较第二列有
求得 ，
由第三列得，故

由 解得,由解得。
一般情形，设
(3.51)
根据矩阵乘法有

及
于是有

在上式中取k=1,2,…,n便可求出的全部元素。

三、平方根法的算法的流程图

四、平方根法的程序

五、平方根法的优缺点

参考文献：