六大基本初等函数图像与性质.doc

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六大基本初等函数图像及其性质
一、 常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；
常数函数（）
y

y

O
x

O
x

平行于x轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
x
y
O

二、 幂函数 ，是自变量，是常数；
1.幂函数的图像：

2.幂函数的性质；
性质
函数

定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
[0,+∞) 增
增
增
(0,+∞) 减
(-∞,0] 减
(-∞,0) 减
公共点
（1,1）
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；
2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数；
3）当α为正有理数时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；
4）如果m>n图形于x轴相切，如果m<n,图形于y轴相切，且m为偶数时，还跟y轴对称；m，n均为奇数时，跟原点对称；
5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数(是自变量,是常数且，)，定义域是R ；
[无界函数]
1.指数函数的图象：
x

O
(0,1)
y

O
(0,1)
x
y

2.指数函数的性质；
性质
函数

定义域
R
值域
(0，+∞)
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点(0，1)，即时，
单调性
在是增函数
在是减函数
1）当时函数为单调增,当时函数为单调减；
2）不论为何值,总是正的,图形在轴上方；
3）当时,,所以它的图形通过(0,1)点。
y

O
(0,1)
x

3.（选，补充）指数函数值的大小比较；
a.底数互为倒数的两个指数函数
，
的函数图像关于y轴对称。

x
O
(0,1)
y

b.1.当时，a值越大，
的图像越靠近y轴；
O
(0,1)
y

b.2.当时，a值越大，
的图像越远离y轴。

4. 指数的运算法则（公式）；

专业整理
a.整数指数幂的运算性质；
(1)
(2)
(3)
(4)

b.根式的性质；
(1) ； (2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
c.分数指数幂；
(1)
(2)
四、 对数函数(是常数且)，定义域[无界]
1. 对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子叫做对数式。
对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称。
2. 常用对数：的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作。
3.自然对数：使用以无理数为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数简记作。
4.对数函数的图象：
O
x
(1,0)
y

y
O
x
(1,0)

5.对数函数的性质；
性质
函数

定义域
(0，+∞)
值域
R
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点(1，0)，即时，
单调性
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点(1,0)；
2）当时，在区间(0,1)，y的值为负，图形位于x的下方；在区间(1, +)，y值为正，图形位于x轴上方，在定义域是单调增函数。在实际中很少用到。
y
O
x
(1,0)

6.（选，补充）对数函数值的大小比较；
a. 底数互为倒数的两个对数函数
，
y
O
x
(1,0)

的函数图像关于x轴对称。

b.1. 当时，a值越大，
y
O
x
(1,0)

的图像越靠近x轴；

b.2. 当时，a值越大，
的图像越远离x轴。

7.对数的运算法则（公式）；

a.如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：

b.对数恒等式：

c.换底公式：
(1) （，一般常常换为或10为底的对数,即或）
(2) 由公式和运算性质推倒的结论：

d.对数运算性质
(1)1的对数是零，即；同理或
(2) 底数的对数等于1，即；同理或
五、 三角函数
1. 正弦函数,有界函数，定义域，值域
图象：五点作图法：0，，，，

2. 余弦函数，有界函数，定义域，值域
图象：五点作图法：0，，，，

3.正、余弦函数的性质；
性质
函数

定义域
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性

对称中心

对称轴

单调性
在上是增函数
在上是减函数
在上是增函数
在上是减函数
最值
时，
时，
时，
时，

O

y
x
4. 正切函数，无界函数，定义域，值域

的图像

O

y
x
5. 余切函数，无界函数，定义域,

的图像
6. 正、余切函数的性质；
性质
函数

定义域

值域
R
R
奇偶性
奇函数
奇函数
周期性

单调性
在上都是增函数
在上都是减函数
对称中心

零点

O

y
x
-1
1
7. 正割函数，无界函数，定义域，值域

的图像

O

y
x
-1
1
8. 余割函数，无界函数，定义域，值域

的图像

9. 正、余割函数的性质；
性质
函数

定义域

值域

奇偶性
偶函数
奇函数
周期性

单调性
减
增
减
增
续表：
性质
函数

对称中心

对称轴

渐近线

六、 反三角函数
1. 反正弦函数，无界函数，定义域[-1,1]，值域
A.反正弦函数的概念：正弦函数在区间上的反函数称为反正弦函数，记为
2. 反余弦弦函数，无界函数，定义域[-1,1]，值域
O
x
y
1
-1

O
x
y
1
-1

B.反余弦函数的概念：余弦函数在区间上的反函数称为反余弦函数，记为

的图像 的图像
3.反正、余弦函数的性质；
性质
函数

定义域
[-1,1]
[-1,1]
值域

奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
单调性
增函数
减函数
4. 反正切函数，有界函数，定义域,值域
C.反正切函数的概念：正切函数在区间上的反函数称为反正切函数，记为
5. 反余切函数，有界函数，定义域,值域
x
y
O

x
y
O

D.反余切函数的概念：余切函数在区间上的反函数称为反余切函数，记为

的图像 的图像

6. 反正、余弦函数的性质；

函数
性质

定义域
R
值域

奇偶性
奇函数
非奇非偶
单调性
增函数
减函数

三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角的终边上任取一点，记：。
正弦： 余弦：
正切： 余切：
正割： 余割：
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：，，
商数关系：，
平方关系：，，
三、 诱导公式
轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；
轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。
四、和角公式和差角公式

五、二倍角公式

二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

，，
六、三倍角公式

七、和差化积公式

八、辅助角公式

其中：角的终边所在的象限与点所在的象限相同，
，，
九、 三角函数的周期公式
函数，及函数，(A,,为常数，且)
周期：
函数，(A,,为常数，且)
周期：
十、正弦定理
（为外接圆半径）
十一、余弦定理