高中数学总复习-分类讨论思想介绍与专题训练(附详细解析).doc

高中数学总复习-分类讨论思想介绍与专题训练(附详细解析)
专题复习 分类讨论思想
一、填空题：
例1．设集合A＝{x||x|≤4}，B＝{x||x－3|≤a}，若，则实数a的取值范围是________．
例2．已知实数a≠0，函数，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_______
例3．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为________．
例4．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为 ．
例5．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是______．
例6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝，S3＝，则a1的值为________．
例7．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________．
例8．已知圆x2＋y2＝4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．
例9．若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为 ．
例10．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．

例10
例11．若函数f(x)＝a＋bcosx＋csinx的图象经过点(0,1)和(,1)两点，且x∈[0,]时，|f(x)|≤2恒成立，则实数a的取值范围是_______．
例12．函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是__________
例13．设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰好有3个，则实数a的取值范围是________
例14．数列的通项，其前n项和为Sn，则Sn＝_________．

二、解答题：
例15．设A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，且x∈A}，C＝{z|z＝x2，且x∈A}，若C⊆B，求实数a的取值范围．

例16．已知函数，a∈R．
（1）当a≤0时，求证函数在(－∞,＋∞)上是增函数；
（2）当a＝3时，求函数在区间[0,b](b＞0)上的最大值．

例17．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，，若数列{an+1＋λan}是等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当k为奇数时，；
（3）求证：．

例18．已知,且.
（1）当时,求在处的切线方程；
（2）当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为)，试求的最大值；
（3）是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案
例1解析：①当a＜0时，B＝，符合题意；
②当a≥0时，B≠，B＝{x|3－a≤x≤3＋a}，由得，解得0≤a≤1，
综上所述a≤1．
例2解析：①a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，则可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)＋2a，解得a＝－，与a＞0矛盾，舍去；
②a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，则－(1－a)＋2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－；
所以a＝－．
例3解析：f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，
①当k＞0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝3k＝3，解得k＝1；
②当k＜0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝－k＝3，解得k＝－3
③当k＝0时，显然不成立．∴综上所述{1，－3}
例4解析：当双曲线焦点，在x轴上，＝，∴＝＝e2－1＝，∴e2＝，∴e＝；
当双曲线焦点在y轴上，＝，∴＝＝e2－1＝，
∴e2＝，∴e＝．
例5解析：①当a＞0时，需x－b恒为非负数，即a＞0，b≤0，
②当a＜0时，需x－b恒为非正数．
又∵x∈[0，＋∞)，∴不成立．
综上所述，由①②得a＞0且b≤0．
例6解析　当q＝1时，S3＝3a1＝3a3＝3×＝，符合题意，所以a1＝；
当q≠1时，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝，又a3＝a1q2＝得a1＝，代入上式，
得(1＋q＋q2)＝，即＋－2＝0，解得＝－2或＝1(舍去)．
因为q＝－，所以a1＝＝6，
综上可得a1＝或6.
例7解析 分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，画出图象，
由图象知a应满足的条件是⇒0＜a＜．
例8解析：①当斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，若直线与圆相切，则，解得k＝，所以切线方程是3x－4y＋10＝0；
②当斜率不存在时，易得切线方程是x＝2．
例9解析 即f(x)＝(a－1)x2＋ax－＝0有解，
①当a－1＝0时，满足题意；
②当a－1≠0时，只需Δ＝a2－(a－1)＞0，解得；
综上所述，a的取值范围是或a＝1．
例10解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：
S1＝2××4a×3a＋(3a＋4a＋5a)×＝12a2＋48；
再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积： 例10 图
①若AC＝5a，AB＝4a，BC＝3a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(3a＋4a)×＝24a2＋28；
②若AC＝4a，AB＝3a，BC＝5a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(3a＋5a)×＝24a2＋32；
③若AC＝3a，AB＝5a，BC＝4a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(4a＋5a)×＝24a2＋36；
又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a2＋28＜12a2＋48⇒12a2＜20⇒0＜a＜． 综上所述，a的取值范围是．
例11解析：由f(0)＝a＋b＝1，f()＝a＋c＝1，得b＝c＝1－a，f(x)＝a＋(1－a)(sinx＋cosx)＝a＋(1－a)sin(x＋)，∵，
①当a≤1时，1≤f(x)≤a＋(1－a)，∵|f(x)|≤2，∴只要a＋(1－a)≤2解得a≥－，∴－≤a≤1；②当a＞1时，a＋(1－a)≤f(x)≤1，∴只要a＋(1－a)≥－2，解得a≤4＋3, ∴1＜a≤4＋3，综合①,②知实数a的取值范围为[－，4＋3]．
例12解析：①当m＝0时，f(x)＝1－3x，其图象与x轴的交点为(,0)，满足题意；
②当m＞0时，由题意得，解得0＜m≤1；
③当m＜0时，由题意得，解得m＜0；
所以m的取值范围是m≤1
例13解析：原不等式化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，易得不合题意；
②当a＞1时，－＜x＜，由题意0＜＜1，要使不等式解集中恰好有3个整数，则－3≤－＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3，结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，
∴a＜3，从而有1＜a＜3．
例14解析：因为，所以{}是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进行讨论：
①当，时，

；
②当时，；
③当时，
综上所述，()
例15解　∵y＝2x＋3在[－2，a]上是增函数，∴－1≤y≤2a＋3，即B＝{y|－1≤y≤2a＋3}．
作出z＝x2的图象，该函数定义域右端点x＝a有三种不同的位置情况如下：
①当－2≤a＜0时，a2≤z≤4，即C＝{z|a2≤z≤4}，要使C⊆B，由图1可知，则必须2a＋3≥4，得a≥，这与－2≤a＜0矛盾．

②当0≤a≤2时，0≤z≤4，即C＝{z|0≤z≤4}，要使C⊆B，由图2可知，
必须解得≤a≤2；
③当a＞2时，0≤z≤a2，即C＝{z|0≤z≤a2}，要使C⊆B，由图3可知，
必须且只需解得2＜a≤3；
④当a＜－2时，A＝，此时B＝C＝，则C⊆B成立．
综上所述，a的取值范围是(－∞，－2)∪[，3]．
例16解：（1）∵a≤0，∴x2－a≥0，∴f(x)＝x(x2－a)＝x3－ax，f ¢(x)＝3x2－a，
∵f ¢(x)≥0对x∈R成立，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
（2）解：当a＝3时，f(x)＝x|x2－3|＝
（i）当x＜－，或x＞时，f ¢(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)＞0．
（ii）当－＜x＜时，f ¢(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)．
当－1＜x＜1时，f¢(x)＞0；
当－＜x＜－1，或1＜x＜时，f¢(x)＜0．
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－]，[－1，1]，[，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是[－，－1]，[1，]．
由区间的定义可知，b＞0．
①若0＜b≤1时，则[0，b]Ì[－1，1]，因此函数f(x)在[0，b]上是增函数，
∴当x＝b时，f(x)有最大值f(b) ＝3b－b3．
②若1＜b≤时，f(x)＝3x－x3在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x＝1时取到极大值f(1) ＝2，并且该极大值就是函数f(x)在区间[0，b]上的最大值．
∴当x＝1时，f(x)有最大值2．
③若b＞时，当x∈[0，]时，f(x)＝3x－x3在[0，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，因此，在x＝1时取到极大值f(1)＝2，在x∈[，b]时，f(x)＝x3－3x在[，b]上单调递增，在x＝b时，f(x)有最大值f(b)＝b3－3b．
（i）当f(1)≥f(b)，即2≥b3－3b，b3－b－2b－2≤0，b(b2－1)－2(b＋1)≤0，(b＋1)2(b－2)≤0，b≤2．
∴当＜b≤2时，在x＝1时，f(x)取到最大值f(1)＝2．
（ii）当f(1)＜f(b)，解得b＞2，
∴当b＞2时，f(x)在x＝b时，取到最大值f(b)＝b3－3b．
综上所述，函数y＝f(x)在区间[0，b]上的最大值为ymax＝
例17 解：（1）∵数列{an+1＋λan}是等比数列，∴
为常数，∴，解得或．
当时，数列{an+1＋2an}是首项为15，公比为3的等比数列，则①，
当时，数列{an+1－3an}是首项为－10，公比为－2的等比数列，则②，∴①－②得：；
（2）当k为奇数时，,
∴；
（3）由（2）知k为奇数时，，
①当n为偶数时，；
②当n为奇数时，；
∴．
例18解:（1）当时,.
因为当时,,,
且,
所以当时,,且
由于,所以,又,
故所求切线方程为,
即
（2）因为，所以，则
① 当时,因为,，
所以由，解得，
从而当时,．
② 当时,因为，，
所以由，解得，
从而当时,，
③当时，因为,
从而 一定不成立，
综上得,当且仅当时，，
故，
从而当时,取得最大值为．
（3）“当时,”等价于“对恒成立”,
即“(*)对恒成立” ，
① 当时，，则当时,，则(*)可化为
，即，而当时，，
所以，从而适合题意．
② 当时,.
⑴当时，(*)可化为，即,而，
所以，此时要求；
⑵当时，(*)可化为,
所以，此时只要求；
⑶当时，(*)可化为,即，而，
所以，此时要求；
由⑴⑵⑶，得符合题意要求.
综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是．
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