数学与应用数学综合课程设计题目.doc

数学与应用数学综合课程设计题目
2012级应用数学课程设计

课程设计是让学生通过动手动脑解决实际问题，也是让学生学完本专业的基本课程后进行的一次全面的综合训练，是一个非常重要的教学实践环节。通过课程设计，使学生经受一次综合运用所学知识，解决实际问题的方法的训练。培养学生理论联系实际和独立思考的能力，并激发学生的实际开发创造的意识和能力。使学生初步尝试把实际问题按给定目的抽象成数学形式，并得出其求解结果，体会建立数学模型过程的各个环节及其相互联系，掌握建立数学模型的基本方法，从而体会数学模型应用的广泛适用性。通过课程设计，培养学生综合运用数学知识和方法及相关的专业知识解决各种实际问题的能力。

要求：
1、由班长负责将下列的课程设计问题分给应用数学专业的每个同学。
2、每班3人一组从下列12个问题中选1题（同一班级各组应选不同的问题）撰写小论文。
3、班长负责将论文及电子文档在第20周星期五（1月15日）下午四点前交数学系办公室。

问题1
在十字路口的交通管理中亮红灯之前要亮一段时间的黄灯这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意告诉他们红灯即将亮起假如你能够停住应当马上刹车以免冲红灯违反交通规则。黄灯时间的设定及该路口的汽车速度、司机的反应时间、汽车的制动距离、路口宽度、汽车长度等因素有关。假设某一路口宽度为40m，该路口限速标志为40km/h。
请研究下列问题: 
（1）汽车的刹车距离由反应距离和制动距离组成，驾驶手册规定具有良好刹车性能的汽车在以80km/h的速率行驶时,可以在56m的距离内刹住;在以48km/h的速率行驶时可以在24m的距离被刹住。我们随机选择了该路口的几辆家用轿车做了一个刹车实验，当汽车速度为20km/h时，汽车的平均制动距离(从制动器开始制动到汽车完全停止的距离)为6.36m,利用这些信息和所学的知识建立汽车刹车距离及车速之关系的数学模型。 
（2）建立数学模型分析该路口黄灯亮多久才比较合适？

问题2
运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运动员举起的重量中减去其体重,以下是1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩：
级别
最大体重（千克）
抓举（千克）
挺举（千克）
总重量（千克）
1
54
132.5
155.0
287.5
2
59
137.5
170.0
307.5世界记录
3
64
147.5
187.5
335.0
4
70
162.5
195.0
357.5世界记录
5
76
167.5
200.0
367.5
6
83
180.0
212.5
392.5世界记录
7
91
187.5
213.0
402.5
8
99
185.0
235.0
420.0世界记录
9
108
195.0
235.0
430.0
10
超过108
197.5
260.0
457.5
1. 这个规定暗示了什么关系，结合上表说明这种关系。
2. 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例，利用这个强度子模型，建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型，列出所有的假设,用所提供的数据来检验你的模型。
3.假定体重中有一部分是及成年人的尺寸无关的，提出一个把这种改进融合进去的模型，并讨论两个模型各自的优缺点，然后提出一种经验法则，对不同体重的举重运动员设定障碍，使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。

问题3
长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

问题4
在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事及题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参及过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下：
step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。
Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。
Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。
Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。
如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。
问题:
1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。
2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。

问题5
某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。 问题：
1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。
2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？
3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。

图１　唯一的运输路线图和里程数
公司
材料
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
4
1
2
3
1
0
2
5
B
1
5
0
1
2
4
2
3
C
5
2
4
2
4
3
5
1
表１　　各公司所需要的货物量

问题6
某居民区的民用自来水是由圆柱形水塔提供,水塔高12.2米,直径17.4米.水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水,一般每天水泵工作两次.现在需要了解居民区用水规律及水泵的工作功率.按照设计,当水塔的水位降至最低水位,约8.2米,水泵自动启动加水;当水位升高到一个最高水位, 约10.8米,水泵停止工作.
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率,表1是某一天的测量记录数据,测量了28个时刻,但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水,而无水位记录(表1中用//表示).
试建立合适的数学模型,推算任意时刻的用水率,一天的总用水量和水泵工作功率.
表1 原始数据(单位:时刻(小时),水塔中水位(米))
时刻t
0
0.921
1.843
2.949
3.871
4.978
5.900
水位
9.677
9.479
9.308
9.125
8.982
8.814
8.686
时刻t
7.006
7.928
8.967
9.9811
10.925
10.954
12.032
水位
8.525
8.388
8.220
//
//
10.820
10.500
时刻t
12.954
13.875
14.982
15.903
16.826
17.931
19.037
水位
10.210
9.936
9.653
9.409
9.180
8.921
8.662
时刻t
19.959
20.839
22.015
22.958
23.880
24.986
25.908
水位
8.433
8.220
//
10.820
10.597
10.354
10.180

问题7
某公司在一块方形100×100土地上露天采矿。由于是滑坡，坑边的坡度不能小于45°。现公司决定将问题作为长方体块处理，每个长方形块水平尺寸为25×25，铅直尺寸为12.5，在一个深层上挖四块，则在下一层可以挖一块，其俯视图如下：

图（1）
所有可挖的块，按已得的估计值，将各块含纯金属的百分数作为块的值，各块的值如下：

第一层 第二层
1.6
1.6
1.6
0.85
1.6
2.5
2.0
0.85
1.0
1.0
0.85
0.5
0.85
0.85
0.7
0.35
5.0
5.0
3.0
4.0
4.0
2.0
3.0
3.0
0.8
第三层 第四层
14.0
7.0
6.0
5.0
8.0
各层的块挖取费用为
层
一
二
三
四
块费用
3200
6500
9000
11000
挖取一块的收入同该块的值成正比；从一个值为100的块可得收入为230000。
试建立模型以帮助决定挖取哪些块，使收入减去挖取费用之差为最大。

问题8
某路政部门负责城市某条道路的路灯维护。更换路灯时，需要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡，向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请，还要向雇用的各类人员支付报酬等，这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更高，灯泡坏1个换1个的办法是不可取的。根据多年的经验，他们采取整批更换的策略，即到一定的时间，所有灯泡无论好及坏全部更换。
上级管理部门通过监察灯泡是否正常工作对路政部门进行管理，一旦出现1个灯泡不亮，管理部门就会按照折合计时对他们进行罚款。
(1) 路政部门面临的问题是，多长时间进行一次灯泡的全部更换，换早了，很多灯泡还没有坏；换晚了，要承受太多的罚款。试建立一个数学模型，求出更换周期的表达式。
(2) 现抽查某品牌灯泡200个，测的其寿命见下表，每个灯泡的更换价格(包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用)为80元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为0.02元/小时，应多长时间进行一次灯泡的全部更换。
(3) 考虑到没有坏的灯泡还有一定的回收价值(常数)，建立相应的数学模型，并求出更换周期的表达式。如该品牌每个未坏灯泡的回收价格为5元，计算最佳更换周期。

抽查的200个某品牌灯泡寿命 (单位: 小时)
3898.2 3981.8 4152.1 3996.2 4122.7 3930.4 4000.8 3921.7
4058.7 3974.9 4048.0 4066.8 3992.2 4088.9 4230.9 4052.5
3998.8 4091.3 4005.6 3889.3 4048.5 3999.5 3972.4 4127.6
4186.3 3947.7 4010.3 3919.2 4068.0 3763.5 4099.0 4021.9
4026.2 4121.3 3972.5 3986.7 3872.9 3833.6 3929.6 4028.1
3945.9 3866.6 4107.3 3928.8 3998.9 3999.9 3975.1 4039.7
3973.6 3833.6 3897.1 4024.3 3874.3 3965.3 3905.9 3882.5
3897.9 3959.8 4017.4 3988.4 4106.4 3975.5 3848.2 4001.0
4007.1 4031.7 4050.0 4127.8 3945.2 4026.1 3998.7 3942.0
4213.6 3974.2 3859.0 4177.0 4032.6 3888.1 4062.0 4127.0
3910.4 4013.5 3986.1 3883.7 4118.4 3998.5 4053.6 3928.4
3934.4 4031.4 4010.7 4184.8 3972.5 4221.3 4150.9 3805.5
3831.9 3942.6 3981.4 4000.9 4083.7 3927.8 3927.9 3979.9
3998.0 4027.9 4105.8 4062.2 3824.9 4069.7 4081.1 4063.6
4131.0 4032.7 3932.7 3985.1 3755.1 4047.3 4011.7 3940.9
3934.5 3891.9 3995.2 4037.9 3967.0 3950.0 3996.4 3982.5
3904.3 4129.3 4044.1 4128.1 3950.2 3888.1 4080.8 4004.1
3924.4 3991.1 3799.1 4108.4 3901.9 3931.2 4133.9 3909.1
3958.7 3949.4 4162.0 4008.1 3891.9 3887.5 4173.6 4193.7
4163.5 3874.4 3978.6 3980.1 4030.7 3942.8 3902.2 3955.3
4108.2 4237.3 4022.9 3973.3 4070.2 3951.2 4186.2 4110.7
3877.2 3933.0 4134.1 4038.8 4039.3 3829.3 4022.8 4068.6
3936.3 3899.7 3981.4 3894.6 3992.8 4027.9 4137.3 4018.0
3945.8 4163.4 4082.5 4023.1 4067.2 3949.2 4085.6 4026.9
4062.5 3895.3 4153.6 4043.4 3808.3 4047.0 4127.4 4063.9

问题9
针对因饮酒驾车造成严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局发布了《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值及检验》国家标准，标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车。
一司机在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
1. 对司机碰到的情况做出解释；
2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
1）  酒是在很短时间内喝的；
2）  酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
5. 根据你做的模型并结合国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据
1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量及在体液中的含量大体是一样的。
2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
时间(小时)
0.25
0.5
0.75
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
酒精含量
30
68
75
82
82
77
68
68
58
51
50
41
时间(小时)
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

酒精含量
38
35
28
25
18
15
12
10
7
7
4

问题10
某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，工龄，学历，教学情况。具体情况如下表1，请设计一个数学模型，合理分配这30套住房。

人员
职称
工龄
学历
教学
人员
职称
工龄
学历
教学
P1
1
30
3
1
P26
3
8
2
1
P2
1
25
2
2
P27
3
5
2
2
P3
1
21
2
2
P28
3
9
2
2
P4
1
20
3
1
P29
3
5
2
3
P5
1
19
2
2
P30
3
6
1
2
P6
1
15
1
3
P31
3
4
2
1
P7
2
14
1
2
P32
3
3
2
2
P8
2
16
2
2
P33
3
2
3
2
P9
2
13
2
2
P34
3
5
2
1
P10
2
8
2
1
P35
3
4
2
2
P11
2
10
3
3
P36
3
6
3
3
P12
2
9
3
1
P37
3
8
1
2
P13
2
8
2
3
P38
3
5
1
1
P14
2
12
2
2
P39
3
3
2
2
P15
2
13
3
1
P40
3
4
2
1
P16
2
11
2
2
P41
3
1
2
2
P17
2
10
3
3
P24
3
5
2
1
P18
2
7
2
2
P43
3
2
2
2
P19
2
8
3
1
P44
3
3
3
3
P20
2
9
3
2
P45
3
6
1
1
P21
2
10
2
2
P46
3
4
2
2
P22
2
11
2
2
P47
3
2
2
1
P23
2
13
2
2
P48
3
6
1
1
P24
2
10
2
2
P49
3
3
2
2
P25
2
8
3
3
P50
3
1
2
2

说明：1、职称中的1，2，3分别表示高级、中级、初级；
2、学历中的1，2，3分别表示研究生、本科、专科；
3、教学中的1，2，3分别表示好，一般，差。

问题11
药物进入机体后，在随血液输送到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终被排除体外。药物在血液中的浓度，即单位体积血液中药物的含量，称为血药浓度。血药浓度的大小直接影响到药物的疗效。因此，药物动力学研究的主要对象是血药浓度随时间变化的规律—药时曲线。通过建立符合药时曲线的数学模型，确定模型中的参数，这些参数反映了药物在体内的药理作用。
下面是一组口服某种药物300mg, 对不同患者随时间变化的血液浓度(ug/ml)分布情况：
时间
浓度
0.5
1
1.5
2
2.5
3
4
5
6
7
8
9
10
患者1
2.78
3.51
4.22
5.10
5.32
5.21
4.65
4.02
3.21
3.11
2.57
1.88
1.12
患者2
2.65
2.98
4.08
5.21
5.42
5.31
4.54
4.20
3.12
2.97
2.32
1.65
1.01
患者3
2.38
3.48
3.99
4.89
5.06
5.18
5.11
4.97
3.86
3.03
2.76
1.82
1.34
患者4
2.98
3.65
4.94
5.35
5.20
5.11
4.78
4.15
3.69
3.07
2.87
2.01
1.41
患者5
2.47
3.37
4.14
4.77
5.22
5.56
5.15
4.96
4.01
3.65
3.01
2.48
1.82
患者6
1.43
2.61
3.54
4.90
5.31
5.20
4.93
4.41
3.88
3.03
2.75
2.08
1.92
患者7
2.58
3.54
4.32
5.21
5.33
5.21
4.64
4.23
3.42
2.96
2.37
1.97
1.02
患者8
2.20
3.42
4.35
5.21
5.65
5.33
4.85
4.21
3.51
3.05
2.67
1.80
0.98
患者9
2.18
3.31
4.02
4.99
5.32
5.25
4.84
4.12
3.31
3.01
2.66
1.98
1.22
患者10
2.38
3.01
4.55
5.22
5.38
5.13
4.75
4.12
3.41
3.01
2.35
1.84
1.10
患者11
1.79
2.98
3.28
4.39
5.06
5.28
5.14
4.97
4.06
3.53
3.16
2.22
1.35
患者12
2.38
3.15
4.94
5.35
5.20
5.11
4.78
4.15
3.69
3.07
2.87
2.01
1.41
患者13
2.47
3.37
4.14
4.77
5.22
5.56
5.15
4.96
4.01
3.65
3.01
2.48
1.82
患者14
1.88
3.01
4.14
5.38
5.21
5.12
4.81
4.24
3.48
3.13
2.45
1.58
0.98
患者15
2.18
3.34
4.13
5.08
5.30
5.22
4.44
4.03
3.12
2.66
2.26
2.01
1.32
患者16
1.67
2.49
3.65
5.27
5.17
4.97
4.64
4.10
3.32
2.95
2.11
1.65
0.82

1．试建立该药物浓度随时间变化的数学模型。
2．如果两次服药的浓度符合简单的叠加原理，并且服用不同剂量的药物其浓度相应地成比例。假设只有200mg和300mg两种剂量, 要使血液中药物浓度大约维持在 4—8之间，给出两次服药的合适间隔。
3．若两次服同类药物，第二次服药的浓度只有80%的效应，其它及上述条件相同。要使血液中药物浓度一天都大约维持在 4—8之间，给出一天服药合适的给药时间间隔。

问题12
某市平均日产生活垃圾约为1000立方米（以压缩后体积计），现欲建一垃圾填埋场，将垃圾挖坑后填埋，再在表面覆盖一米厚的土层以恢复植被。现在需要就建场预算中涉及购置设备及征用土地问题作出决策。考虑挖坑及填埋设备的购置和土地征用中的经济问题，市政当局希望给出花钱最少的预算。现已知下列情形：
1.挖出不用的土方可被建筑工程使用，无须处理，但须运上地面，
并须留出填埋覆盖用土。
2.每套挖掘及填埋机械需购置费用150万元，使用寿命十年。
3.填埋场预计使用五十年。
4.压缩后的垃圾由汽车直接抛入垃圾填坑中，无须作功。
5.现征地费用为20万元/亩，根据统计资料知，此前三年地价涨幅
为平均10% /年。
6.机械使用柴油，效率为30%。在平地作业时，将一立方土移动一
米需作功100KJ，但随挖掘深度加大，每增加一米深度，其效率在原
有基础上下降10%。
7.当前银行贷款年利率为5%，存款利率为3%。
8.填埋后的场地将用于公益(如建立公园、绿地等)。
问题：
1、 试按市政当局要求，建立数学模型，为该项目计算出最佳的挖掘深度，评价模型优缺点；
2、 作出征购土地，购买机械的方案及预算。

11 / 11