福建省宁德市2015—2016学年度高一第二学期期末考试数学试卷及答案.doc

福建省宁德市2015—2016学年度高一第二学期期末考试数学试卷及答案
宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试
数学试题（A卷）
(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．
2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．
第I卷 （选择题 60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．
1．圆与圆的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．内含
2．已知半径为，弧长为的扇形的圆心角为，则等于
A． B． C． D．
3．已知直线，若，则实数的值为
A． B． C． 或 D．
4．用斜二侧法画水平放置的的直观图，得到如图
所示等腰直角.已知点是斜边的中点，
且，则的边上的高为
A． B． C． D．
5．直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于
A． B． C．或 D．或
6．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是
A． B．
C． D．
7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍，再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再向右平行移动个单位长度
8．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列判断正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若，则
9．设是平面内的非零向量，则下列结论正确的是
A．若与都是单位向量，则 B．若，则
C．若,则与的夹角是钝角 D．若，则
10．已知锐角满足，则的值为
A． B． C． D．
11．在三棱锥中，平面，，，分别是的中点，则与平面所成的角等于
A． B． C． D．
12．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别是
，则该四面体外接球的表面积是
A． B． C. D.

第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．
13．已知向量，且，则= .
正视图
侧视图
俯视图
14．已知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数的值等于 .
15．某正方体切割后得到一个多面体的三视图如
图所示（其中网格上小正方形的边长为1）,
则该多面体的体积为 .
16．已知函数（其中，
）的图象关于点
成中心对称,且与点相邻的一个最低点
为，则对于下列判断：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②函数为偶函数；
③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是 ．（写出所有正确判断的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.
17．（本题满分10分）
已知点和，直线的斜率为．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）若点在直线上，且为直角，求点的坐标.

18．（本题满分12分）
如图，矩形中，点为中点，点在边上．
（Ⅰ）若点是上靠近的三等分点，且，求的值．
（Ⅱ）当，，且取最大值时，求向量的模．

19. （本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，以为顶点，轴的非负半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的大小．

20．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面， ， ，，
，为中点．
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）线段上是否存在一点，使∥平面?
若存在，求的值；若不存在，说明理由．

21（本题满分12分）
已知向量，函数，
.
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围;
（Ⅱ）当函数取得最大值时，求的值.

22．（本题满分12分）
已知圆过点，且圆心在直线上，过点的直线交圆于两点，过点分别做圆的切线，记为.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.

宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试
数学试题（A）参考答案与评分标准
（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．
（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．
（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数.
（4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11.B 12．B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 0或1 15． 16．②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(本题满分10分)
解法一：（Ⅰ）∵直线的斜率, ………………………………1分
∴，∴, ……………………………………………………3分
∴直线的方程为
即.（或）…………………………………5分
（Ⅱ）设,由（Ⅰ）得，
∴，………………………………6分
又为直角
∴ …………………………8分
∴或,……………………………………………………………9分
∴或. ………………………………………………10分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设,由（Ⅰ）得，
①当且时，直线的斜率存在，由已知得，
， ………………………7分
， …………………………………………………8分
②当时，直线的斜率不存在，点，此时为直角
③当时直线的斜率不存在，点，此时不是直角 ……………………………………………………………………9分
综上所述，或. ………………………………………10分
解法三：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）为直角
点在以为直径的圆上， …………………………………6分
又，
圆的方程为， …………………………………8分
由得或
或………………………………………………10分
18．(本题满分12分)
解法一：（Ⅰ）如图，以为原点，所在的直线分别为轴,建立平面直角坐标系.设，则，…2分
∴, ………4分
又
∴
∴ …………5分
∴.……………………6分
（Ⅱ）由已知得 ………………………………………………7分
设,则， ……………………8分
…………………9分
又当或6时，取到最大值. ……………10分
当时，，，所以. ……11分
当时，，，所以. ……12分
解法二：（Ⅰ）由题意得：
………………………………………………………………2分
………………………………………………………………3分
…………………………………………………………4分
又
∴ ……………………………………………………………5分
……………………………………………………6分
（Ⅱ）设，
则 ………………………………7分
………………………………………………8分
又矩形中，

………………………………9分
又当或1时取到最大值…………………………10分
当时，,所以. ……………………………………11分
当时，,所以. ……………………………………12分
19．(本题满分12分)
解法一：（Ⅰ）由题意得， ………………………………………………1分
…………………………………………………………………3分
…………………………………………5分
…………………………………………6分
（Ⅱ）由题意得，， ……………………………………………7分
……………………………………………8分
……………………………………………………9分
………………………………………………………………10分
又是锐角 , ……………………………………………11分
……………………………………………………………………12分
解法二：（Ⅰ）由题意得， ………………………………………………1分
………………………………………………………………2分
， ………………………………………………………………… 3分
……………………………6分
（Ⅱ）由题意得，，………………………………………7分
…………………………………………8分
…………………………………………10分
又是锐角 ……………………………………………11分
……………………………………………………………………12分
20．(本题满分12分)
解法一：（Ⅰ）连接，
在中，， …………1分
又为中点，
…………………………………………2分
平面，平面,
， ………………………………………3分
， 平面， …………4分
又平面，平面⊥平面……5分
（Ⅱ）线段上存在一点，且时，∥平面.…………… 6分
证明如下：
连接交于点，在平面中过点作，则交于……7分
又平面，平面 ………………………………………8分
∴∥平面 ……………………………………………………………9分
四边形， ，
∴ ………………………………………………………………10分
∵，∴ ……………………………………………………11分
∴当时，∥平面 …………………………………………………12分
解法二：（Ⅰ）（同解法一）
（Ⅱ）线段上存在一点，且时，∥平面………………6分
证明如下：
连接，设，在线段上取点，使,连接. …7分
，
………………………………………………………………8分
又
…………………………………………………………………10分

又平面，平面 ……………………………………11分
∥平面
当时，∥平面 …………………………………………12分
（说明：其它解法相应给分）
21．(本题满分12分)
解：（Ⅰ） ……………1分

………………………………………………3分

…………………………………………………4分
由，
得，
∴函数的单调递减区间为 ……………5分
(说明：上述区间写成开区间，不扣分)
由已知得，即的取值范围为 ………………………6分
（Ⅱ） …………………………………7分

……………………………………………………………8分
（其中） ……………………………………………9分
当，即时，取到最大值……10分
此时， ………………………………………………11分
…………………………………12分
22．(本题满分12分)
解法一：（Ⅰ）设圆的方程为，则
………………………………………………2分
（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）
解得, ………………………………………………3分
∴圆的方程为 ………………………………………………4分
（Ⅱ）设，直线的交点
若为直线上任意一点，则
,得，
∵
∴，即处的圆的切线方程，……………5分
同理可得，在点处的圆的切线方程为 ………………6分
由直线过点
∴,, ……………………………………8分
∴点满足方程
即直线的方程为 ， ……………………………………10分
又直线过点
∴，即 ……………………………………………11分
∴直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为. 12分
解法二：（Ⅰ）设圆的方程为，则
………………………………………………2分
（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）
解得 ………………………………………………3分
圆的方程为 ………………………………………………4分
（Ⅱ）设，为直线上任意一点，
由,得，
∵∴，即处的圆的切线方程，
同理处的圆的切线方程分别为， ……………………6分
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为
由得
∴在点处的切线方程分别为，，
由得
此时切线的交点为, ……………………………………………7分
当直线的斜率为0时，直线的方程为
由得
∴在点处的圆的切线方程，
此时切线的交点为. ……………………………………………8分
∴直线的方程为. …………………………………………9分
②当直线的斜率存在时,直线的方程为，即，

由且,得 ……………………10分
∴

∴当直线的斜率存在时, 直线的交点坐标满足方程.
综上所述，直线的交点都在直线同一条直线上，且该直线方程为
. ………………………………………………………12分
解法三：（Ⅰ）设圆的方程为
弦的中点
又…………………………………………………………1分
∴的垂直平分线的方程：
即………………………………………………2分
圆心是的垂直平分线与直线的交点
∴由，得，即圆心……………………………3分
又半径
∴圆的方程为 ………………………………………………4分
（Ⅱ）同解法一

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