资源描述
全等三角形
一．选择题（共11小题）
1．（2019•安顺）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
2．（2019•大邑县模拟）如图，已知AB＝DC，需添加下列（ ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝BO B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．BO＝CO
3．（2019•邹城市一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1，D1E1E2B2，A2D2C2D2，D2E3E4B3，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，…，在x轴上已知正方形A1，B1，C1，D1，的边长为1，∠OB1C1＝30°，B1C1∥B2C2∥B3C3，…，则正方形AnBn∁nDn的边长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019•阜阳模拟）如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
5．（2019春•临安区期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
6．（2019•晋江市一模）如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．（2018秋•鼓楼区期末）如图，已知△ABC的3条边和3个角，则能判断和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
8．（2019•张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2019•宜春二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
10．（2019•常州二模）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+β＝180°
11．（2019•长沙模拟）如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
二．填空题（共7小题）
12．（2019•齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．
13．（2019•邵阳）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）
14．（2019•襄阳）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是 （只填序号）．
15．（2019•东城区二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝ °．
16．（2019•平谷区一模）如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是 （填出一个即可）．
17．（2019•福建三模）如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝ ．
18．（2019春•雁塔区校级月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有 个．
三．解答题（共8小题）
19．（2019•铜仁市）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．
20．（2019•长安区三模）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，AB＝6，AC＝4．如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．
（1）求证：BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于 时，点A与点D1之间的距离最小．
21．（2019•安顺）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系 ；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
22．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠C＝∠BAD；
（2）求证：AC＝EF．
23．（2019•兰州）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．
24．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC≌△ECB；
（2）求证：OB＝OC．
25．（2019春•盐湖区校级月考）已知，如图∠C＝∠DBE＝∠DFB＝90°，AB＝DE，CE＝EB
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若EB＝3cm，求AB的长．
26．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．
全等三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2019•安顺）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选：A．
2．（2019•大邑县模拟）如图，已知AB＝DC，需添加下列（ ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝BO B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．BO＝CO
【解答】解：A、添加AO＝BO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加∠ACB＝∠DBC不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加AC＝DB可利用SSS判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、添加BO＝CO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（2019•邹城市一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1，D1E1E2B2，A2D2C2D2，D2E3E4B3，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，…，在x轴上已知正方形A1，B1，C1，D1，的边长为1，∠OB1C1＝30°，B1C1∥B2C2∥B3C3，…，则正方形AnBn∁nDn的边长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠OB1C1＝30°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，
∴D1E1＝C1D1sin30°＝，
则B2C2＝，
同理可得：B3C3＝＝，
故正方形AnBn∁nDn的边长是：（）n﹣1，
故选：D．
4．（2019•阜阳模拟）如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【解答】解：过O作OE⊥AC于E，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，
∴OB＝OE＝OD，
∵BD＝4，
∴OB＝OE＝OD＝2，
∴点O到边AC的距离是2，
故选：C．
5．（2019春•临安区期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB′＝100°，
∴∠BCB′＝∠ACB′﹣ACB＝30°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，
故选：C．
6．（2019•晋江市一模）如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：∵△MNP≌△MEQ，
∴点Q应是图中的D点，如图，
故选：D．
7．（2018秋•鼓楼区期末）如图，已知△ABC的3条边和3个角，则能判断和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【解答】解：如图：
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△EFD（SAS）；
在△ABC和△MNK中，
，
∴△ABC≌△MNK（AAS）．
∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙或丙．
故选：B．
8．（2019•张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝8，DC＝AD，
∴CD＝8×＝2，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离为2．
故选：C．
9．（2019•宜春二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
故选：B．
10．（2019•常州二模）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+β＝180°
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴β+（180°﹣α）＝90°，
整理得，α＝2β．
故选：B．
11．（2019•长沙模拟）如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【解答】解：由作图可知，OE＝OD，DC＝EC，
在△ODC与△OEC中
，
∴△ODC≌△OEC（SSS），
故选：A．
二．填空题（共7小题）
12．（2019•齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是 AB＝DE （只填一个即可）．
【解答】解：添加AB＝DE；
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
故答案为：AB＝DE．
13．（2019•邵阳）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是 AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD ．（不添加任何字母和辅助线）
【解答】解：∵∠A＝∠A，AD＝AE，
∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；
添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；
添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，
故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；
14．（2019•襄阳）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是 ② （只填序号）．
【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB
∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；
若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；
若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．
故答案为：②．
15．（2019•东城区二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝ 90 °．
【解答】解：在△DCE和△ABD中，
∵，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为：90．
16．（2019•平谷区一模）如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是 答案不唯一，如BD＝DC （填出一个即可）．
【解答】解：可以添加条件：BD＝DC．
理由：∵BD＝CD；
又∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E＝∠CFD＝90°；
∴在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
故答案是：答案不唯一，如BD＝DC．
17．（2019•福建三模）如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝ 6 ．
【解答】解：如图，作EG⊥AO于点G，
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC＝3，
∴EG＝EC＝3，
∵∠AFE＝30°，
∴EF＝2EG＝2×3＝6，
故答案为：6．
18．（2019春•雁塔区校级月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有 4 个．
【解答】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故答案为：4
三．解答题（共8小题）
19．（2019•铜仁市）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．
【解答】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD．
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD＝CE．
20．（2019•长安区三模）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，AB＝6，AC＝4．如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．
（1）求证：BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于 2 时，点A与点D1之间的距离最小．
【解答】（1）证明：由图1可知，△ACB≌△DBC，
∴AB＝CD，AC＝BD，∠ABC＝∠DCB，
∴AB∥CD，
由平移的性质可知，CD＝C1D，CD∥C1D，
∴AB＝C1D，AB∥C1D，
∴四边形BD1C1A为平行四边形，
∴BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）解：当点C于点B重合时，点A与点D1之间的距离最小，
∴△DBC沿射线BC方向平移的距离＝BC＝＝2，
故答案为：2．
21．（2019•安顺）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系 AD＝AB+DC ；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）AD＝AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE＝∠BAE
∵AB∥CD
∴∠F＝∠BAE
∴∠DAF＝∠F
∴AD＝DF，
∵点E是BC的中点
∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF
∴△CEF≌△BEA（AAS）
∴AB＝CF
∴AD＝CD+CF＝CD+AB
（2）AB＝AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）
∴AB＝GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG＝∠FAG，
∵∠BAG∠G，
∴∠FAG＝∠G，
∴FA＝FG，
∵CG＝CF+FG，
∴AB＝AF+CF
22．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠C＝∠BAD；
（2）求证：AC＝EF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴△ABD≅△ADE ∴∠ADB=∠ADE， ∴ AD⊥BC
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠DAC＝90°
∴∠C＝∠BAD
（2）∵AF∥BC
∴∠FAE＝∠AEB
∵AB＝AE
∴∠B＝∠AEB
∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE
∴△ABC≌△EAF（ASA）
∴AC＝EF
23．（2019•兰州）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
24．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC≌△ECB；
（2）求证：OB＝OC．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中，
∴△DBC≌△ECB（SAS）；
（2）证明：由（1）知△DBC≌△ECB，
∴∠DCB＝∠EBC，
∴OB＝OC．
25．（2019春•盐湖区校级月考）已知，如图∠C＝∠DBE＝∠DFB＝90°，AB＝DE，CE＝EB
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若EB＝3cm，求AB的长．
【解答】证明：（1）∵∠C＝∠DBE＝∠DFB＝90°，
∴∠ABC+∠DEB＝90°，∠D+∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC与△EDB中
，
∴△ABC≌△EDB（AAS）；
（2）∵△ABC≌△EDB，
∴CB＝AC＝3cm，
∵CE＝EB＝3cm，
∴BC＝6cm，
∴AB＝cm．
26．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，
∴∠AEG＝∠CFH，
在△AGE和△CHF中，，
∴△AGE≌△CHF（AAS）；
（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AH、CG，如图所示：
由（1）得：△AGE≌△CHF，
∴AG＝CH，
∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴线段GH与AC互相平分．
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