第二章线性有界算子.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.,判断下面定义的变换，哪些是线性的,?,哪些,不是？,（,1,）在,R,3,中，,x=(a,1,a,2,a,3,),T,Tx=(a,2,1,a,2,+a,3,a,2,3,),T,;,第二章 线性有界算子,（,2,）给定,A,0,R,nn,XR,nn,TX=A,0,X-XA,0,;,（,3,）线性空间,R,n,x,中，,T(f(x,)=f(x+1)(fR,n,x,2.,在,R,3,中，,x,1,=(-1,0,2),T,x,2,=(0,1,2),T,x,3,=(3,-1,0),T,是,一组基，线性变换,T,关于该基的象,Tx,1,=(-5,0,3),T,Tx,2,=(0,-1,6),T,Tx,3,=(-5,-1,9),T,。,求,T,在该基下的矩阵。,1,3.,已知线性变换,T,在基,下的,矩阵为,求,T,在基,1,=(1,0,0),T,2,=(0,1,0),T,3,=(0,0,1),T,下的矩,阵。,4.,设,T,是线性空间,V(F),上的线性变换，证明：,T,的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。,证明：设,1,，,2,，,，,s,为,T,的所有不同的特征,值，相应的特征向量分别为,x,1,x,2,x,s,.,2,5.,设,U,V,是线性赋范空间,T:UV,是线性有界算,子,证明,:N(T)=,xU|Tx,=,是,U,中闭子空间。,7.,设,k(x,y,),在区域,0 x,y1,上连续，,证明：,T:C0,1 C0,1,是线性连续算子。,3,8.,设,X,Y,是,R,上的线性赋范空间,证明,:L(X,Y),是,R,上的线性空间。,9.,设,V,是线性赋范空间,T:VV,是线性算子,.,证明,:T,在,V,上连续,T,在,V,上一致连续,.,10.,设,X,Y,为线性赋范空间,T:XY,是线性有界,算子,且是满射,.,若存在正数,b,使对一切,xX,有,4,11.,设,X,是,Hilbert,空间，,TL(X,X),证明,:,(1),当,T,是正规算子时有,(2),当,T,是自共轭算子时,T,必为正规算子,.,12.,设,X,是,Hilbert,空间，,UL(X,X),证明,:,(1)U,是酉算子,U,*,U=UU,*,=I;,(2)U,为酉算子时必为正规算子,;,(3)U,为酉算子时,|U|=1.,5,13.,设,M,是,Hilbert,空间,H,的闭子空间,P:HM,是,正交投影算子,x,0,H,证明：,yM,yPx,0,有,|x,0,-Px,0,|x,0,-y|,即,14.,证明：正交投影算子是自共轭算子。,证明：设,P,是,Hilbert,空间,H,上的正交投影算子，,15.,设,P,1,P,2,是,Hilbert,空间,H,上的正交投影算子，,证明：,P,2,P,1,是,H,上的正交投影算子,6,16.,设,T,是,Hilbert,空间,H,上的有界线性算子，证,明：,T,是正交投影算子,T=T,*,T,。,17.,设,T,是,Hilbert,空间,H,上的正交投影算子，证,明：,7,