高中数学基础知识大全(全国新课标版).doc

高中数学基础知识大全（新课标版）
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…
2 .数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决
3.(1) 元素与集合的关系：,.
（2）德摩根公式： .
（3）
注意：讨论的时候不要遗忘了的情况.
（4）集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；
非空真子集有–2个.
4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
第二部分 函数
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；
⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、
绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
⑵是奇函数；是偶函数.
⑶奇函数在0处有定义，则
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性
6．函数的单调性:
⑴单调性的定义：
①在区间上是增函数当时有；
②在区间上是减函数当时有；
⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②复合函数法③图像法
注：证明单调性主要用定义法。
7．函数的周期性：
(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期：① ；② ；③；
④ ；⑤
(3)与周期有关的结论：
或 的周期为
8．基本初等函数的图像与性质：
㈠.⑴指数函数：；⑵对数函数:；
⑶幂函数： （ ；⑷正弦函数:；⑸余弦函数： ；
（6）正切函数：；⑺一元二次函数：（a≠0）；⑻其它常用函数：
① 正比例函数：；②反比例函数：；③函数
㈡.⑴分数指数幂：；（以上，且）.
⑵.①； ②；
③； ④.
⑶.对数的换底公式:.对数恒等式:.
9．二次函数：
⑴解析式：①一般式：；②顶点式：，为顶点；
③零点式： （a≠0）.
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；
ⅱ) ———上“+”下“－”；
② 对称变换：ⅰ)；ⅱ)；
ⅲ) ； ⅳ)；
③ 翻折变换：
ⅰ)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；
ⅱ)———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（||在下面无图象）；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧长公式：；扇形面积公式：。
2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P,设 则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5．⑴ 对称轴：令，得 对称中心：；
⑵ 对称轴：令，得；对称中心：；
⑶周期公式:①函数及的周期 (A、ω、为常数，
且A≠0).②函数的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).
6．同角三角函数的基本关系：
7．三角函数的单调区间及对称性：
⑴的单调递增区间为,单调递减区间为
，对称轴为,对称中心为.
⑵的单调递增区间为,单调递减区间为，
对称轴为,对称中心为.
⑶的单调递增区间为，对称中心为.
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①；；
.
②；.
③=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限
决定, ).
9．二倍角公式：①.
②（升幂公式）.
（降幂公式）.
10．正、余弦定理：
⑴正弦定理： （是外接圆直径 ）
注：①；②；③。
⑵余弦定理：等三个； 等三个。
11.几个公式:⑴三角形面积公式：①（分别表示a、b、c边上的高）；②.③
⑵内切圆半径r=； 外接圆直径2R=

第四部分 平面向量
1.平面上两点间的距离公式:，其中A，B.
2.向量的平行与垂直： 设=,=，且，则：
①∥=λ；
② ()·=0.
3.a·b=|a||b|cos<a,b>=xx2+y1y2；
注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；
②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。
4.cos<a,b>=；
5.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线。

第五部分 数列
1．定义：

⑵等比数列
2．等差、等比数列性质：
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③成AP ③成GP
④成AP, ④成GP,
3．常见数列通项的求法：
an=
S1 (n=1)
Sn－Sn-1 (n≥2)
⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（型）；⑶公式法：
⑷累乘法（型）；⑸待定系数法（型）转化为
（6）间接法（例如：）；（7）（理科）数学归纳法。
4．前项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。
5．等差数列前n项和最值的求法：
⑴最大值 ；⑵利用二次函数的图象与性质。
第六部分 不等式
1．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②变形：。
2．极值定理：已知都是正数，则有：
(1)如果积是定值，那么当时和有最小值；
(2)如果和是定值，那么当时积有最大值.
3.解一元二次不等式:若,则对于解集不是全集或空集时,对应的
解集为“大两边，小中间”.如:当,；
.
4.含有绝对值的不等式：当时，有：①；
②或.
5*.分式不等式：
（1）； （2）；
（3） ； （4）.
6*.指数不等式与对数不等式
(1)当时,；.
(2)当时,；
3．不等式的性质：
⑴；⑵；⑶；
；⑷；；
;⑸;⑹

第七部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；
⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；
⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或） ；
⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；
⑹对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑵古典概型：；
⑶几何概型： ；

第八部分 统计与统计案例
1．抽样方法：
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为；
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从
每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预
先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，
将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2．频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3．总体特征数的估计：
⑴样本平均数；
⑵样本方差 ；
⑶样本标准差=

第九部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止框）；② 输入、输出框；

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r =0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质数 n是质数 i=i+1
i=2
in或r=0? 否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型） ——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：① ②
IF 条件THEN IF条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件

新课标数学部分公式及结论
2.从集合到集合的映射有个.
3.函数的的单调性：
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，
则为减函数.
4*.函数的图象的对称性:
①的图象关于直线对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象关于点对称，
的图象关于点对称.
6．奇偶函数的图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原
点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
7．多项式函数的奇偶性：
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
8. 若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；
9. 几个常见的函数方程：
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数，，f(0)=1.
10*.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），或，或,
则的周期T=2a；
11.①等差数列的通项公式:,或.
②前n项和公式: .
12.设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则
①前n项的和；
②当n为偶数时，，其中d为公差；
③当n为奇数时，则，，，，
（其中是等差数列的中间一项）
13.若等差数列和的前项的和分别为和 ，则.
14.数列是等比数列，是其前n项的和，，那么（）=·.
15.分期付款(按揭贷款)：
每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).
16.裂项法：①； ②；
③ ；④.
17*．常见三角不等式:
（1）若，则.
(2) 若，则.
(3) .
18.正弦、余弦的诱导公式：
；.
即:“奇变偶不变,符号看象限”.如,.
19*.万能公式:；；（正切倍角公式）.
20*.半角公式:.
21.三角函数变换:
①相位变换:的图象的图象；
②周期变换:的图象的图象；
③振幅变换:的图象的图象.
22.在△ABC中，有
①；
②（注意是在中）.
24.若，则、、共线的等价条件是.
25.三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为、、,
则其重心的坐标是.
28*. 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则：
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
29.常用不等式：
(1)(当且仅当a＝b时取“=”号)．
(2)(当且仅当a＝b时取“=”号)．
(5).
（6）柯西不等式：
第 12 页