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初中数学十字相乘法因式分解
要点：
一、型的因式分解
特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到：

因此：
利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式的分解因式
大家知道，。
反过来，就可得到：
我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成.
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。（1） （2）
分析：（1）的二次项的系数是1，常数项，一次项系数，这是一个型式子。
（2）的二次项系数是1，常数项，一次项系数
，这也是一个型式子，因此可用公式
分解以上两式。
解：（1）因为，并且，所以
（2）因为，并且，所以
[例2] 把下列各式因式分解。
（1） （2）
分析：（1）2的二次项系数是1，常数项，一次项系数，这是一个型式子。
（2）的二次项系数是1，常数项，一次项系数
，这也是一个型式子。
以上两题可用式子分解。
解：（1）因为，并且，所以
（2）因为，并且，所以
注意：（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同。
（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同。
[例3] 把下列各式因式分解。
（1） （2） （3）

解：（1）

（2）

（3）

[例4] 将分解因式。
分析：可将看成是一个字母，即，于是上式可化为二次项系数是1，常数，一次项系数，所以可用
式子分解。
解：因为，并且，所以

[例5] 把分解因式。
分析：多项式各项有公因式，第一步先提出各项公因式，得到：
，经分析它符合型式子，于是可继续分解。第二步，按型二次三项式分解，得到：

解：
[例6] 将分解因式。
解：

注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提出公因式。（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分解为止。

【模拟试题】
一. 填空题：
1. （ ）（ ） 2. （ ）
3. （ ） 4. （ ）（）
5. －（ ）（ ） 6. （ ）（ ）
7. （）（ ）
8. ，则
9. ，则 ，
10. 分解因式 。
二. 选择题：
1. 分解因式为（ ）
A. B. C. D.
2. 分解为（ ）
A. B. C. D.
3. 把分解因式为（ ）
A. B. C. D.
4. 把分解因式为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在下列二次三项式中，不是型式子的是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题：
1. 将下列各式因式分解。
（1） （2） （3）1）

（3） （4） （5）
2. 将下列各式因式分解。
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

3. 因式分解。
（1） （2）

4. 已知，求的值。

5. 已知（，），求的值。

6. 已知，求的值。

试题答案
一.
1. ； 2. 3. 4.
5. ； 6. ； 7. ；6
8. 9. ； 10.

二.
1. A 2. D 3. B 4. B 5. B

三.1. 解：
（1）（2）
（3）
2. 解：（1）

（2）
（3）
3. 解：（1）
（2）
4. 解：
（1）

（2）
5. 解：
∴ 或 当时，（1）
（2）当时，
6. 解：
当时，
当时，
7. 解：