居民行为分析.doc

第三章 选择理论 1
第一节 偏好与偏好假定 2
一、个人偏好关系 2
二、个人的决策过程 3
三、理性消费者的偏好假定 4
第二节 无差异曲线分析法 5
一、无差异曲线的导出 5
二、无差异曲线的性质 7
三、无差异曲线的特殊情况 8
第三节 效用与边际效用 11
一、效用与效用函数 11
二、边际效用 12
三、多种消费品的效用分析 14
四、效用与无差异曲线 15
第四节 预算约束 18
一、预算方程与可行集 18
二、价格和收入的变化 19
三、多重约束 22
第五节 消费者均衡 23
一、二商品常态均衡 23
二、两商品特殊均衡；角解 26
三、多种商品的常态均衡 28
第三章 选择理论
在第一章中，我们对经济学中的选择进行了一般性分析，这一章重点分析建立在偏好基础上的个人选择，即个人如何进行选择并做出决策。
在经济生活中，选择是人们必然面对的重要问题，具有不可回避性，而如何做出选择又是非常现实的方法问题。选择理论之所以在经济分析特别是微观经济分析中占有重要的地位，主要是因为：第一，借助选择理论，我们可以深入到居民需求曲线和供给曲线的背后，去探究居民面对价格的变化如何调整自己的经济行为，以及价格的变化如何影响需求曲线和供给曲线。第二，选择理论提供了一个分析框架帮助人们理解人类行为的共同特征和人类广泛的活动领域。第三，选择理论提供了一种分析方法帮助人们正确描述和判断经济生活中的经济问题和经济现象。第四，选择理论是科学决策的理论基础，科学的决策必然建立在科学的选择理论的基础之上。
研究选择理论，必须首先分析偏好，因为偏好是选择的基础，是进行科学选择的依据。
第一节 偏好与偏好假定
一、个人偏好关系
1、选择束
偏好（preferences）说明了个人面临各种可供选择的对象时，哪一个是值得或更值得去争取的这样一个问题。主体的选择对象可以是商品及其组合，也可以是行动及其组合。无论商品，行动以及它们的组合，都可以用一般化的概念¾选择束（choice bundle）来表示。换言之，选择束包含了相应的商品、行动或它们的组合。
例如，当个人面临两种商品的选择时，图3－1给出了几个可供选择的选择束，它们分别表示：

啤酒（瓶）

鸭蛋（只）

4 C
3 A
2 B

4 6 8
图3-1：消费者的选择束

A：三瓶啤酒和四个鸭蛋；
B：二瓶啤酒和六个鸭蛋；
C：四瓶啤酒和八个鸭蛋；
A、B、C分别代表了消费者的选择束。对于消费者，选择束也叫消费束。
再比如，当个人面临两种可供选择的行动（如学习和聊天）时，至少有下列三种选择束：
A：聊天，不学习；
B：学习，不聊天；
C：学习两小时，聊天两小时。
选择束是个人的选择对象。面对各种可供选择的选择束，个人必须做出判断：哪个更好？哪个更值得去争取？这就涉及到偏好问题。
2、偏好的表述
定义3-1：设X、Y代表两个不同的选择束，
X=(X1，X2，……，Xn），
Y=（Y1，Y2，……，Yn）。
微观经济学中通常用下列符号对它们的偏好关系进行描述：
（1）X Y：X至少和Y一样好或X不比Y差；
（2）X Y：X严格好于Y；
（3） X～Y：X和Y一样好，或X和Y无差异。
对选择束进行偏好排序，通常有两种方法，即综合式排序和字典式排序。
定义3-2：综合式排序（comprehensive range）是指综合比较选择束X和Y中的每一个元素，然后得出X和Y的偏好关系。
例如某甲在恋爱时对备选对象X和Y进行选择，一般会把两个备选对象的相貌、气质、家庭、学历、性格等许多因素进行综合考虑后再选择，这就是综合式排序。
定义3-3：字典式排序（Dictionary range）是指只对X和Y中的某一相同的元素进行比较，就可以得出X和Y的偏好关系。
例如，某甲对啤酒是如此喜爱，以至于其它物品都可有可无，这样，他的选择必然是有啤酒或啤酒多的那个选择束。英文字典以打头字母为顺序进行排列，故得此名。
二、个人的决策过程
居民或个人作为选择者，在进行消费决策时，必须回答二个问题：其一，该消费者要做什么或需要什么？这是对各种消费束进行偏好排序的过程。其二，该消费者能够做什么或允许做什么？这是对该消费者选择的内外部约束条件进行考察的过程。内部约束条件主要指消费者是否有足够的货币收入和消费时间等；外部条件主要指是否允许消费自己选定的消费束。例如，中国公民不允许私自携带枪支弹药，不允许消费毒品等，这些都是外部约束条件。
在此基础上，消费者把自己需要的消费束和面临的约束条件综合起来，选定自己的最优决策。个人作为消费者的决策过程如图3－2。
对消费束进行偏好排序，确定想要做什么。

考虑内外部约束条件，确定能够做什么。

把偏好顺序和约束条件结合起来，做出最优选择

图3－2：个人的决策过程
这里的最优决策只具有理论分析上的意义。最优决策需要在信息完全的条件下做出，但搜寻完全信息需要付出巨大成本。例如，你要购买一件衣服，你不可能把世界上所有的衣服搜寻一遍后做出决策。因此，你的决策通常是次优决策。一般的选择行为也是这样。
三、理性消费者的偏好假定
对理性消费者而言，偏好关系必然衍生出几个共同认可的假定。
假定1：完备性假定（Completeness Assumption）
给定两个消费束X和Y，理性消费者能够确定哪一个是更好的或者两者无差异。即对于X和Y，总有：
X ³ Y 或 X £ Y
这就是完备性假定。如果消费者无法区分哪一个更好或两者无差异，我们就不能期待消费者做出理性的选择，特别在当外部环境不断变化时更是如此。因此，如果消费者的偏好不符合完备性假定，消费理论就无从建立。
假定2：反身性假定（Reflexivity Assumption）
给定两个相同的消费束X，消费者能够得出结论，X既不比它自身好，也不比它自身坏，X只能和它自身一样好。即对于消费束X，必有：
X £ X 且 X ³ X ，即X～X。
这就是反身性假定。如果消费者不能做出这样的结论，同样不能期待消费者做出理性的选择，消费理论也无从建立。
假定3：传递性假定（Transivity Assumption）
给定消费束X，Y，Z，如果X好于Y， Y好于Z，则X一定好于Z。即对于消费束X，Y，Z，如果X ³ Y， Y ³ Z ， 必有X ³ Z。
这就是传递性假定。 如果消费者不能得出这样的结论，消费者的财富就会无谓流失。例如，A. B两人都承认X ³ Y且Y ³ Z，用货币衡量的差额都是1分钱（尽管很小）。但A承认X ³ Z，但B却认为Z ³X。假定初始分配是，A拥有Z，B拥有X，Y。则A用Z换回B的X并得到1分钱的补偿（因为B认为Z比X好），再用X换回B的Y并得到1分钱的补偿（因为B认为X比Y好），再用Y换回B的Z并得到1分钱的补偿（因为B认为Y比Z好），再用Z换回B的X……，这样下去，B的财富就会源源不断流失到A的腰包里。如果是这样，B的行为就不能认为是理性的，消费理论也无从建立。
假定4：非满足性假定（Nonsatiation Assumption）
非满足性假定也叫单调性假定（Monotonity Assumption）。可以简单地表述成：对于非有害品，有好于无，多好于少。即给定X＝（X1，X2，…Xn）和Y＝（Y1，Y2，…，Yn）如果Xi=Yi，但Xj>Yj，i=1.2…n, i¹j，则必有X Y。 Xi， Yi分别表示消费束X、Y中的一个元素。
同样，如果消费者不能得出这样的结论，消费者的财富也会无谓流失。例如，A、B两人都承认消费束X和Y中的其它元素都相同，只有第j种非有害品不同，且Xj>Yj，假定这种非有害品单价只有1分钱（尽管很小），A认为XY，B 则认为XY，差价为一元。初始分配是A拥有Y，B拥有X。则A用Y换回X并得到1元补贴（因为认为Y比X好），再把X中多余的Xi剔除，使剩余的消费束与Y无差异。这样，A 就无偿占有了B 的部分财富。 图3－4能帮助我们更好地理解非满足性假定。
啤酒（瓶）
鸭蛋（只）

c· ·e

f· d·
b·
a·

图3-4 偏好排序
显然，对于消费束a. b. c. d. e. f. 有：
fa, 因为鸭蛋相同时，f有更多的啤酒；
fb，因为f有更多的啤酒和鸭蛋；
df，因为啤酒相同时，d有更多的鸭蛋；
ef, 因为d有更多的啤酒和鸭蛋。
但f和c，以及a 和b都无法比较，因为c和b的啤酒多，但鸭蛋少。
偏好与偏好假定为我们借助无差异曲线分析消费者行为提供了条件。
第二节 无差异曲线分析法
一、无差异曲线的导出
消费品的多样化和消费者需求的多层次性决定了消费者的选择具有多样化特点。换言之，在一定收入水平下，消费者可以购买数量繁多的商品，即消费束中包含的元素可能是很多的。为了使下面的分析简单化，我们假定消费者在两种商品（啤酒和可乐）之间进行选择。显然，这样的假定是非现实的，但在以后的分析中我们可以看到，这种只有两种商品的选择理论可以被用来说明多种商品的情况，因为这样的假定既不失一般性，又可以使分析大大简化。请注意，微观经济学中常常用这样的方法分析经济问题，因为非现实的假定往往并不是坏的假定。
假定消费者某甲对啤酒和可乐有不同的偏好，为达到一定的满足水平，他需要3瓶啤酒和4瓶可乐。现在和某甲商量，如果减掉1瓶啤酒，再给他多少瓶可乐，某甲才会同意（某甲的满足水平并没有变化）？某甲认为需要增加2瓶可乐。这样，某甲的消费束就从原来（3瓶啤酒，4瓶可乐）变为（2瓶啤酒，6瓶可乐）而满足水平没有变化，换句话说，某甲的两个消费束对他而言是无差异的，即在图3－5中，A～B。

可乐（瓶）
啤酒（瓶）

C
4 A
3
2 B
U0

0 3 4 6
图3-5：某甲的无差异曲线

同样也可以这样和某甲商量：如果增加1瓶啤酒，某甲愿意放弃多少可乐（某甲的满足水平没有变化）？某甲认为可以放弃1瓶可乐，这样，某甲的消费束就从原来的（3，4）变为（4，3）而满足水平没有变化，换句话说，某甲的三个消费束对他而言是无差异的，即在图3－5中，A～B且A～C，根据传递性假设，有A～B～C。
反复这样做，而且假定啤酒和可乐的变化单位可以无限小，我们可以找到许许多多和A无差异、因而也彼此无差异的消费束，把这些消费束代表的点连结起来，就形成了某甲消费啤酒和可乐的无差异曲线，如图3－5所示。
可见，无差异曲线说明，消费者可以在无差异曲线上选择任何消费束而得到同样的满足水平。
定义3-4：所谓无差异曲线（Indifference curve）是指在满足消费者效用水平不变的情况下，两种商品消费数量的依从关系，或者说，无差异曲线是指在满足消费者效用水平不变的情况下，消费者消费两种商品的消费束代表的点的轨迹。
显然在图3-5中，为满足消费者达到U0的效用水平不变，增加一种商品（可乐）的消费量，就可以减少另一种商品（啤酒）的相应的消费量，或者说，减少一种商品（可乐）的消费量，就必须增加另一种商品（啤酒）的相应的消费量。满足效用水平不变时，两种商品数量的依从关系就是无差异曲线。
需要指出，消费者一定的满足水平对应唯一的无差异曲线，把消费者不同满足水平的无差异曲线描绘出来，就形成了消费者的无差异曲线族，如图3－6所示，右上方的无差异曲线代表更高的满足水平。
啤酒
可乐

U3
U2
U1
O
图3-6： 无差异曲线族
二、无差异曲线的性质
为进一步认识无差异曲线全貌，下面我们对无差异曲线的性质进行分析。
性质1：如果两种商品是非有害、非自由的经济物品，则无差异曲线的斜率为负。
性质1说明， 消费者的无差异曲线通常向右下方倾斜，即为了保持一定的满足水平，消费者可以用一定数量的某种商品Q1代替一定数量的另一种商品Q2，换言之，Q1和Q2在数量上具有一定的替代性。
我们用反证法给出如下证明：
如果无差异曲线斜率可以为正，如图3－7中AB段所示，
Q1

Q1B B
A
Q1A Q2A Q2B Q2
图3-7： 无差异曲线斜率为负
在无差异曲线上任取两点A（Q）和B（Q），
∵Q>，根据非满足性假定，必有BA，但由于A、B在同一条无差异曲线上，故有B～A，两者矛盾，所以，无差异曲线的斜率只能为负。证毕。
性质2：如果消费者是理性的，则对应不同满足水平的两条无差异曲线不可能相交，但也不一定平行。
同样用反证法给出如下证明：
设两条无差异曲线可以相交，如图3－8中U1和U2相交于A，在两条无差异曲线上任取两点B和C，

Q1
Q1C C

Q1B B

A

O QB2 Q2C Q2

图3-8：无差异曲线不可能相交
∵ ∴C>B （由非满足性假定得出）
∵A与B在同一无差曲线上，∴A～B
∵A与C在同一无差异曲线上，∴A～C
由传递性假设，A～B～C，即B～C，与前述结果矛盾，所以，无差异曲线不可能相交。证毕。
无差异曲线不相交，并不意味着一定平行，几何知识告诉我们，同一平面内的两条直线不相交则平行，但这一结论对曲线不成立，两条无差异曲线可以无限逼近，但可以永不相交，如图3－9所示
　　　　　　Ｑ１

U3

U2

U1
　　　　　　　　0　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　 　　
图３-９：无差异曲线可以不平行
性质3：右上方的无差异曲线代表更高的满足水平。
这是显而易见的，请读者应用偏好假设自行证明。
性质4：通常，两种经济物品的无差异曲线凸向原点。
这一性质留待下节证明，读者可以先进行思考。
三、无差异曲线的特殊情况
1.自由品的无差异曲线
自由品的重要特征是取之不尽，用之不竭，而且不存在替代关系，例如空气和阳光就是这样的自由品。但人们必须消费一定数量的空气和阳光才能生存，超过这一数量，也并不能给人带来更大的满足水平。假定消费者不会造成因过量消费空气和阳光而带来不适的情况，则消费者对空气和阳光的无差异曲线是一定范围内的平面，如图所示，Q1和Q2分别为消费者对空气和阳光的必要消费数量。阴影区内的各点都是无差异的。
　　　　　　　　　空气

　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　Ｑ１

0 Q2 阳光
图3-10： 消费两种自由品的无差异曲线
如果两种物品中有一种是自由物品，另一种为经济物品，则无差异曲线是一条平行于自由品数轴的直线。图3－11给出了消费者消费食品和阳光时的无差异曲线。Q2为阳光的基本数量。　　　　　 　
食品

　　　　　　　 　0　 　Ｑ２　　　　　　　　　阳光
　　　　　　 　 图３-１１：消费一种自由品的无差异曲线
　 如果食品的数量增加，无差异曲线将平行向上移动。
2. 有害品的无差异曲线
当消费者消费一种有害品和一种经济物品时，随着有害品的数量的增加，需要同时增加经济物品的数量来弥补有害品增加带来的满足水平的下降以维持满足水平不变。这时的无差异曲线的斜率为正。图3－12给出了消费者消费污染和保健品的无差异曲线图。
　　　　　　污染

保健品
　　　　　　图３-１２：消费者消费一种有害品和一种经济物品的无差异曲线
当消费者消费两种有害品时，有害品数量的增加会使消费者的状况更加恶化，对于有害品，消费者的非满足性假定不能成立，应该修正为：无比有好，少比多好。可见，无差异曲线离开原点越远，消费者的满足水平越差。同时，有害品之间又有一定的替换性，这是因为减少一种有害品，同时相应增加一定数量的另一种有害品，可以使消费者维持既定的满足水平。图3－13给出了消费者消费两种有害品时的无差异曲线，请注意，此时的无差异曲是凹向无点的（其解释留待下一小节讨论）。显然，C>B>A
　　　　　　垃圾　　　　　　　　　Ａ

　　　　　　　　　　　　　　Ｂ
　　　　　　　　　　　Ｃ　　　　　　　　　　　

　　　　　　　0　　　　　　　　　　　　　　　　 污染
　　 　　 图３-１３：消费两种有害品的无差异曲线

3. 完全替代品的无差异曲线
定义3－1：充分替代品（Perfect substitutes）是指可以以固定比例彼此替代的两种或多种商品。
例如，面额为10元的人民币和面额为1元的人民币总可以1比10的比例互相替代（假定不考虑携带不便）这对持币人（消费者）来讲是完全替代品。图3－14给出了这种情况下的无差异曲线，这是一条斜率为负的直线。在维持满足程度不变的前提下，消费者总是可以以恒守不变的比例（1：10）把两种面额的货币进行兑换。
10元面额（张）

8 A

4 B

2 C
D

0 40 60 80 1元面额（张）
图3-14： 完全替代品的无差异曲线
完全替代的产品在现实生活中并不多见，严格说来，上例中的两种面额货币并不是严格的完全替代品，特别是当数额较大时，消费者携带10元面额的货币更加方便。
无差异曲线的斜率反映了两种商品替换的比例：
4.完全互补品的无差异曲线
定义3－2：完全互补品（Perfect Complements）是指必须以固定比例搭配起来才能满足消费者某种需求的两种或多种商品。
左鞋（只）

3 C U3

2 B U2
A
1 U1
o
1 2 3 右鞋（只）
图3-15： 完全互补品的无差异曲线
例如，人们穿的左鞋和右鞋，眼镜的镜片和镜框等可看成是完全互补品，它们必须分别以1：1和2：1的恒定比例结合起来才能满足消费者的需求。完全互补品的无差异曲线是直角线，图3－15给出消费1只左鞋、1只右鞋，2只左鞋、2只右鞋和3只左鞋、3只右鞋的满足程度，除此以外的点如D点（2只左鞋和1只右鞋）的满足程度依然和A点的满足程度相等，因为多余的1只左鞋没有任何价值。
上例中不同满足水平的无差异曲线的直角点都在同一条射线OA上，OA的斜率反映了两种商品配合的比例。
无差异曲线的特殊性分别背离了前面给定的无差异曲线的性质，原因是消费品的范围和性质被放宽了。
无差异曲线分析法是微观经济学中重要的分析方法，是消费者选择理论的基础，提请读者应该很好地掌握。
由于完全互补品的严格互补性，它们往往被同一个生产者在同一时间内进行生产，而且被在同一地点进行销售。
第三节 效用与边际效用
在上面的分析中，我们始终用“满足程度”来衡量消费者的心理感觉，读者也许会问，消费者消费的物品可以量化，消费者的满足程度可以量化吗？如果可以，我们就可以借助更精确的数学分析对消费者的消费行为进行分析。本节就要解决这些问题。
一、效用与效用函数
1.效用
定义3－3：经济学中所说的效用（utility）是指经济物品为经济主体带来的满足程度。
效用与经济物品的数量和性质有关，根据非满足性假定，数量越多，效用越大；但经济物品的性质对消费者效用的影响无法准确给出，在烈日炎炎的沙漠中，水比电视机有更大的效用，而当你坐在家中欣赏NBA篮球赛时，通常电视机比水有更大的效用。
效用也与消费者的主观心理感觉有关。这一因素决定着几种消费品怎样影响着消费者的总体效用，换句话说，各种消费品对总体效用的贡献分别占多大比例，这是由消费者的主观心理感觉决定的。
我们把消费束中的每一种消费品对消费者产生的满足程度相加，就得到消费者的总效用（Total Utility）。
2. 效用函数
定义3－4：效用函数（Utility Function）是指消费者的总效用与其消费的各种商品的数量的函数关系。
例如，消费者消费n 种商品，其数量分别为Xi ，i=1…n，则其效用函数为：
U＝U（X1, X2,…Xn）
效用函数的形式由消费者的主观心理即偏好所决定。图3－16给出了消费者消费一种商品时的效用曲线。
U
Um

0 Xm1 X1
图3-16 ： 总效用曲线
起初，消费者的效用随X1的增加而增加，达到最大值Um时开始下降，这是因为X1过多时反而变成了有害品（例如，鸭蛋不能吃太多，否则难受），从而使总效用出现下降趋势。
二、边际效用
1. 边际效用的经济意义
消费者每追加一个鸭蛋，就能增加一些效用，这就是“边际”的含义，微观经济学中对边际效用的定义是：
定义3－5：消费追加的那个消费品带来的效用增量叫边际效用（Marginal Utility）。
例如，消费者吃了三个鸭蛋后，共得效用25单位，再追加第四个鸭蛋，带来5单位效用，使总效用增加到30单位，这第四个鸭蛋的边际效用就是5单位。
2.边际效用递减规律
通常，消费者消费每一单位消费品的效用是不等的。例如，对于一个饥肠辘辘的消费者，第一个鸭蛋的效用会很大，第二个次之，第三个又比第二个小，直到再追加一个鸭蛋对消费者无所谓。换句话说，随着鸭蛋消费数量的增加，鸭蛋对消费者的边际效用是递减的。通常，其它商品的消费也符合这一规律，经济学中把这一现象称为边际效用递减规律（The law of Diminishing Marginal Utility），也叫戈森第一定律（Gossen’s first law）。
大多数商品符合边际效用递减规律，但也有极个别商品的边际效用是递增的，例如，集邮爱好者收集一套邮票时，如果把每枚邮票看成是一种无差异商品，则边际效用是递增的。
3. 边际效用递减规律的数学表示
根据效用函数U＝U（X）（一种消费品的情况）的含义和边际效用的定义，边际效用可以用数学形式表示为：MU＝ΔU/DX，如果消费品X可以无限细分，则效用函数连续可微，此时，MU＝dU/dX。
边际效用递减规律说明，随着消费品X数量的增加，边际效用MU是减少的，即dMU/dx<0或d2U/dx2<0 。
4. 总效用与边际效用的关系
（1） 总效用是边际效用的累加，把每一单位消费品的边际效用累加起来，就是总效用。图3－17说明了消费者消费鸭蛋的边际效用和总效用的关系。

鸭蛋（只） 边际效用 总效用
0 0 0
1 10 10
2 7 17
3 5 22
4 3 25
5 1 26
6 0 26
图3-17：总效用是边际效用的累加
（2）边际效用为0时，总效用最大。
这是因为，尽管边际效用是递减的，但只要边际效用大于0，总效用就会增加，但当边际效用为负时，总效用开始下降。边际效用为0时，总效用达到最大。
这一结论可以用数学方法进行如下证明：
U＝U（X）最大化的必要条件是dU/dX=0，充分条件是d2U/dX2<0，故充分条件满足，由边际效用的定义可知，MU＝dU/dX＝0 图3－18也说明了这样的关系。
（3）边际效用递减规律决定了总效用曲线是一条下凹（或上凸）的曲线，这是由于，总效用曲线的斜率就是边际效用，所以，边际效用递减必然导致总效用曲线下凹。用数学可以证明为：
边际效用递减ÞdMV/dX<0Þd2U/dX2<0Þ曲线下凹。
需要指出，通常的理性消费者的消费数量不会超过X0点，这里为便于解释，在图上做出了边际效用为负的情况。
U
Um

MU X（鸭蛋）

O X0 X（鸭蛋）

图3-18： 总效用与边际效用的关系

三、多种消费品的效用分析
给定消费者消费n种消费品的消费束X＝X（X1， X2，……Xn），其效用函数为：U＝U（X1, X2，…Xn）是对上述情况（只有一种消费品）的拓展。
1. 边际效用
MUi＝¶U/¶Xi（i=1.2…n），即第i种消费品的边际效用，其经济意义是：在其它消费品数量不变时，追加一单位第i种商品为消费者带来的效用增量。MUi可正，可负，也可以为0。
边际效用递减规律即戈森第一定律可以表示为：

此式的经济意义是：在其它消费品数量不变的情况下，随着消费品i的数量的增加，其边际效用是递减的。
2. 互补品、替代品和独立品
互补品，替代品和独立品分别可以由二阶导数 来描述。
对于互补品，
必有
这是由于：

即 或 其经济意义是：
在其它商品数量不变时，第j种商品数量的增加会使第i种商品的边际效用提高，显然互补品具有这样的特点。例如啤酒和花生米互为互补品，当花生米的数量增加时，啤酒也会变得有滋有味，反之也是如此。
越大，两种商品的互补性越强。
对于替代品，必有
<0 ( )
这是由于：
<0 或 其经济意义是：
在其它商品的数量不变时，第j种商品数量的增加会使第i种商品的边际效用下降，或第i种商品数量的增加会使第j种商品的边际效用下降。显然，替代品具有这样的特点，例如，啤酒和白酒互为替代品，当白酒消费量增加时，啤酒就会变得无关紧要，反之也是如此。
的绝对值越大，两种商品的替代性越强。
对于独立品（两种互不相关的商品），必有
=0 ( ) 这是由于：
=0 或 其经济意义是：
在其它商品的数量不变时，一种商品数量的增加不影响另一种商品的边际效用。显然，独立品具有这样的特点。例如，花生米和西服可以看成是独立品，当花生米的消费数量变化时，并不会改变西服的边际效用，反之也是如此。
四、效用与无差异曲线
1. 无差异曲线的数学形式
前面的分析已经指出，消费者可以通过变换两种商品的数量来维持其效用不变。由于效用也就是消费者的满足程度，因此，当消费者效用不变时，两种消费品的函数关系正好反映了消费者的无差异曲线。换句话说，给定效用函数，U＝U（x1,x2），U＝U0＝const。则由U0＝U（x1 x2）所确定的函数形式x2= x2 (x1)就是消费者在效用为U0时的无差异曲线。如图3－19所示。不同的效用水平对应不同的无差异曲线，在图3－19中，U1>U0>U2 ，右上方的无差异曲线代表较高的效用水平。
X2
X2=X2(X1)

U1=150

U0=100
U2=50
0 X1
图3-19： 无差异曲线的数学形式
例如，消费者的效用函数为U＝x1 x2，效用为100单位的无差异曲线为x2=100/ x1（x¹0）。
2.无差异曲线的斜率与边际替代率
无差异曲线说明，为维持消费者效用不变，增加或减少一单位的某种商品，必须减少或增加相应数量的另一种商品，边际替代率反映了这一替代比率。
定义3－6：维持效用水平不变时，消费者愿意用一单位的商品x1替换商品x2的数量称为x1 对x2的边际替代率（Marginal Rate of Substitution）用数学表示为：
MRS1.2 ＝－ 如果x1和x2都是可以无限细分的商品，则有
MRS1.2=－，负号表示x1和x2的变化方向相反，即边际替代率用正数来表示更加方便。 正好反映了无关异曲线x2=x2 (x1) 的斜率，因此，边际替代率就是无差异曲线斜率的负值。
如图3－20所示：MRS1.2=－
X2

U0

α
0 X1
图3-20：边际替代率
3. 边际替代率递减规律
消费者消费两种商品并维持效用不变时，每增加一单位的某种商品，必须放弃
的另一种商品的数量即边际替代率会如何变化呢？图3－21可以帮助我们说明这一问题。

X2
A