高中数学椭圆及其标准方程教学案例.doc

椭圆及其标准方程
教学目标： 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，以及a，b，c三者的关系
教学重点：椭圆的定义及标准方程
教学难点：标准方程的推导
教学过程：
一、 引入
我们上两节课学习了方程与曲线的关系，一条曲线满足某个方程，我们就知道满足这个方程的点一定在这条曲线上，这条曲线上的点一定能满足这个方程，我们同时还学习了求一条曲线的方程一般步骤：建系，写出点的坐标的集合，建立方程，化简方程，检验。曲线在我们是生活中到处可见，其中有不少都是非常有规则的，具有一些特殊性质的曲线，今天我们将要学习一种特殊的曲线，在学习之前我们先来看一段小视频。
这个是我们神六飞行的一些片段，通过这个视频同学们可以看到神六绕地飞行的轨迹是一个椭圆，我们知道除了神六，我们太阳系里的行星绕太阳飞行的轨迹也是椭圆，椭圆在我们的生活中也是随处可见。
既然椭圆在生活中是如此的常见，人们是怎么准确的画出椭圆的呢？在画椭圆之前同学们回忆一下我们是怎样画圆的？定出圆心，半径长，绕着圆心画一圈就可以了，对比圆，椭圆会不会有相似的画法呢？
把细绳两端拉开一段距离，固定，拉紧绳子，移动笔尖，同学们想想，在这个过程中什么是不变的？（绳子长）
椭圆定义：
平面内到两个定点的F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
问：为什么这个常数要大于|F1F2|？如果没有这个限制会出现什么样的情况呢？
然后让学生来演示，我们可以看到当等于|F1F2|是轨迹是线段F1F2，当小于|F1F2|时，这样的M点不存在。
F1，F2两个点叫做椭圆的焦点，而这两点的距离叫做是椭圆的焦距。 为了书写方便我们规定|F1F2|=2c，MF1+MF2=2a，
椭圆也是一条曲线，他有没有方程呢?再回忆一下求曲线方程的一般步骤。
请学生回答求曲线方程的步骤
现在我们要求椭圆的方程，第一步就是要建系，我们应该怎样来建立坐标系呢？
让同学们讨论，最后得出

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案，如图2-27，推导出方程．

以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；

我们选择方案一来推导椭圆的方程
解  1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，
设两定点坐标为：
F1(-c，0)，F2(c，0)，
2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，

4)化简．
我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？
化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．
下面我们就一起来完成这部分计算．(师生共同完成)

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？
学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？

请结合图形找出方程中a、c的关系．
根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．
那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？

其中a与b的关系如何？为什么？
a＞b＞0，因为a与b分别是Rt△MOF2的斜边、直角边．
教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：
1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程
2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；
3)请学生猜想：若用方案二(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？

如果此处学生不能给出，教师将自行给出
师：请同学们课后进行推导验证．
师：此时方程中a与b的关系又如何？(结合图形请学生将条件a＞b＞0补上．)
师：像这种焦点在坐标轴上建立起来的椭圆的方程，我们称之为椭圆的标准方程。
师：下面我们来对比一下，椭圆两个标准方程的异同
 定 义
 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
 图 形

 方 程

 焦 点

 a,b,c之间的关系

结论：
教师引导学生得出：（1）在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
（2）在两种标准方程中，都有a>b>0
(3)椭圆的焦点总在长轴上,如焦点在X轴上，则焦点坐标为(c,0)，(-c,0) ；如焦点在Y轴上，则焦点坐标为 (0,c)，(0,-c)
（4）a,b,c始终满足关系式a2-b2=c2
例题与练习
例1：　 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．
分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．
解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵2a=10，2c=8．
∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3
因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1　 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]

由学生口答，答案为D．
例2：已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），且过点（5/2，3/2），求它的标准方程

练习2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）a=4，b=1，焦点在X轴上
（2）a=4，c=3，焦点y轴上
(四)小结
1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．