浙江职高高二数学空间几何知识点及典型习题.doc

常考知识点及相应习题汇总
一、棱锥
1、正三棱锥
定义：正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
性质：1． 底面是等边三角形。
2． 侧面是三个全等的等腰三角形。
3． 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。
4. 常构造以下四个直角三角形（见图）：

说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
练习1：
1、三棱锥A—BCD的棱长全相等, E是AD中点, 则直线CE与直线BD所成角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D)
2、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ( )
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
3、侧棱长为2a的正三棱锥其底面周长为9a，则棱锥的高为 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这个正三棱柱有如下判断：①； ②与BC是异面直线；
③与BC所成的角的余弦为；④与垂直.
其中正确的判断是_______.
5、在正三棱锥中，。（1）求此三棱锥的体积；（2）求二面角的正弦值。

6、正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。
求（1）棱锥的侧棱长 （2）侧棱与底面所成的角的正切值。

2、正四面体
定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。
它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。
正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且都是等边三角形。
因此，正四面体又是特殊的正三棱锥。
性质：

练习2：
1、在正四面体中，如果分别为、的中点，那么异面直线与所成的角为　　 ( )
　 (A) 　　 (B) 　　 (C) 　　 (D)
3、正四棱锥
定义：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形且有公共顶点，顶点在底面的投影是底面的中心。三角形的底边就是正方形的边。
性质： （1）正四棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）；
（2）正四棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；
（3）正四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等；
（4）正四棱锥的侧面积：如果正棱锥的底面周长为c，斜高为h’，那么它的侧面积是 s=1/2ch‘

练习3：
1、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为，则侧面与底面的夹角为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( )
(A) 各侧面是正三角形 (C) 各侧面三角形的顶角为45度
(B)底面是正方形 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上
3、如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4、在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成 角的正切值为 ；

5、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，求①斜高与棱锥高之比②相邻两个侧面所成二面角的大小。

4、棱锥
定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
概念：棱锥的底面、棱锥的侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥的对角面; （棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面）
性质：1．棱锥截面性质定理及推论
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
推论1：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。
推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。
2．一些特殊棱锥的性质
侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心（外心），同时侧棱与底面所成的角都相等。
侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为α，则有S底=S侧cosα。

练习4
1、三棱锥中，底面，是直角三角形，则三棱锥的三个侧面中直角三角形有 （ ）
(A)２个 　 (B)３个 　 (C)至多２个 　 (D)２个或３个
2、正棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面所成二面角的度数为　　 （ ）
(A) 　　 (B) 　 (C) 　　 (D)与的取值有关
3、如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积（自上而下）为1:8:27，则这时棱锥的高被分成上、中、下三段之比为 （ ）
（A） 1:: (B) 1:: (C)1:: (D)1:1:1
4、已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为 ( )
A.2∶ 1 B.∶ 1 C.1∶ (-1) D.1∶ (-1)
5、三棱锥V-ABC的三条侧棱两两为300角，在VA上取两点M、N，VM＝6，VN＝8，用线绳由自M向N环绕一周，线绳的最短距离是 .
P

D

A

B

C

E

6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E为PC中点．（1）求证：PA∥平面EDB．（2）求EB和底面ABCD成角正切值．

A
B
C
D
P
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a，∠ABC=60°（1）求证平面PDC⊥平面PAC．
（2）求异面直线PC与BD所成的角的余弦值．

8、AB为圆O的直径，圆O在平面α内，SA⊥α，∠ABS=30o,P在圆周上移动（异于A、B），M为A在SP上的射影，
(Ⅰ)求证：三棱锥S—ABP的各面均是直角三角形；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面SPB；

9、三棱锥V－ABC的底面是腰长为5底边长为6的等腰三角形，各个侧面都和底面成450的二面角，求三棱锥的高．

习题答案：
练习1：1.A 2.C 3.A 4. ②③ 5.,
6、解：（1）过V点作V0⊥面ABC于点0，VE⊥AB于点E
∵三棱锥V—ABC是正三棱锥 ∴O为△ABC的中心
则OA=，OE= 又∵侧面与底面成60°角 ∴∠VEO=60°
则在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=
在Rt△VAO中，VA= 即侧棱长为
练习2：1.C
练习3：1.D 2.A 3.C 4. 2 5、（1）∶ ；（2）-arccos；
练习4：1、D 2、A 3、D 4、D 5．10 6、（2） 7．（2）8、略
9、解：过点V作底面ABC的垂线，垂足为O
　∵各个侧面和底面成450的二面角
　∴点O为三角形ABC的内心
设OD＝，则有

∴＝
∴三棱锥的高VO为

二、棱柱
定义：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面。
分类：
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底面垂直。
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。
直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。
长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体。
对角线的求法：由棱柱的三条棱长的平方的和的开方。
性质： 1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。
3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
练习题：1．如图：在正三棱柱中，，截面.① 求证：；② 若，求平面与平面所成锐二面角的度数.

2．已知三棱柱的底面是边长为1的正三角形，
，顶点 到底面和侧面的距离相等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积．

3、在正三棱柱A1B1C1—ABC中，AA1=AB=a，D是CC1的中点，F是A1B的中点.(Ⅰ)求证：DF‖平面ABC；（Ⅱ）求证：AF⊥BD；

4． 已知：如图，直棱柱ABC－A’B’C’的各棱长都相等，D为BC中点，CE⊥C’D于E
（1）求证：CE⊥平面ADC’ (2)求二面角D－AC’－C的平面角的大小

5、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点. （1）求证：AB1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

6、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点。
（1）求证：面ABB1A1⊥面AC1M；（2）求证：A1B⊥AM；（3）求证：面AMC1∥面NB1C　
A
C
B
A
1
C
1
B
1
M
N

答案：
1．解：① 在截面内，过E作，G是垂足
∵面，∴EG⊥侧面 取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC，得BF⊥AC ∵，∴BF⊥侧面，得BF∥EG
BF、EG确定一个平面，交侧面于FG ∵，
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，∴BE = FG ∵，∴，；∵，∴，即 ，故
② 分别延长CE、交于点D，连结
∵，∴，又 ，
∴，即
∵，即是在平面上的射影，根据三垂线定理，得 ∴是二面角的平面角
∵ ∴ ， 即所求二面角为45°
2．解：作AO⊥平面A1B1C1，O为垂足
（12）∵∠AA1B1=∠AA1C1=450
∴O在∠C1A1B1的平分线上
连结A1O并延长交B1C1于D1点
∵A1C1=A1B1 ∴A1D1⊥B1C1
∴A1A⊥B1C1
∴BB1⊥B1C1
∴四边形BB1C1C为矩形
取BC中点D，连结AD DD1
∵DD1//BB1
∴B1C1⊥DD1又B1C1⊥A1D1
∴B1C1⊥平面A1D1DA
∴平面A1ADD1⊥平面B1C1CB
过A作AN⊥DD1，则AN⊥平面BB1C1C
∴AN=AO
∵四边形AA1D1D为□
∴A1D1=DD1 ∴

4、(2) 5、（1）略 ；（2） ；（3）arctan；
6、证明：（1）∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱 ∴AA1⊥面A1B1C1　　　∴AA1⊥C1M
∵BC＝A1C1，M是A1B1的中点　　∴C1M⊥A1B1　
　又AA1
A1B1
（2）

三、正方体、长方体
练习题：
1.棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线DD1与BC1之间的距离为( )
A．a B． c． D．
2．正方体的棱长为１，为的中点，为底面的中心，则与平面所成角的正切值为
(A) (B) 　　 (C) 　　 (D)以上皆非
3．设长方体的三条棱长分别为，若其所有棱长之和为２４，一条对角线的长度为５，体积为２，则为
(A) 　　 (B) 　　 (C)　 (D)
4.长方体的表面积为,所有棱的总长度为,则长方体的对角线的长度是 ( )
A. B. C. D.
5．如图在正方形ABCD—A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为底面ABCD的中点，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．与P点位置有关

6．如图，在长方体中，
，分别过BC、
的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积
分别记为，。
若，则截面的面积为 ( )
(A) (B) (C) (D)

7．如右图，正方体中，是异面线段和的中点，则和的关系是
A．相交不垂直 B．相交垂直C．平行直线 D．异面直线
8．如图在正方形ABCD—A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为底面ABCD的中点，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．与P点位置有关
9．长方体全面积为24cm2，各棱长总和为24cm，则其对角线长为 cm.
10．正方体的表面积为m，则正方体的对角线长为
11．长方体中，，，为的中点．
(1)求证：平面；(2)求二面角的正切值；
(3)求三棱椎的体积．

12. 在正方体中，（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角。

13. 如图，在正方体中，分别是、的中点.（1）证明：；（2）求直线与所成的角；（3） 证明：平面平面.

14. 如图，在长方体中，，点为上的点，且。（1）求证：平面； （2）求二面角的大小（结果用反余弦表示）。

15.已知在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG =．（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦值；
（3）求二面角F—EG—C1的大小（用反三角函数表示）．

16．如图，在正方体中，分别是、的中点.（1）证明： (2)求直线与所成的角；
（3）证明：平面平面.

答案：1、A 2．B 3．A 4.A 5．C 6.C 7.D 8．C 9. 10、
11．解（1）： （12）AA1=2 ∴A1E⊥AE
又AE⊥A1D1 ∴AE⊥平面A1D1E
（2）取AA1中点F，过F作FP⊥AD1 ∵EF⊥平面AA1D1D FP⊥AD1 ∴EP⊥AD1
∴∠FPE即为E-AD1-A1的平面角
在Rt△AA1D1中，可求
（3）∵EF//C1D1 ∴EF//平面AC1D1
∴VA-C1D1E =VE-AC1D1 =VF-AC1D1 = -AFD1
==
12. 13. 90 14. arccos15.
16．解：① ∵是正方体，∴　面．又面，∴　．
② 取AB中点G，连结、FG．易证是平行四边形．∴．
设与AE交于点H，（或其补角）是AE与所成的角．
∵　E是的中点， ∴　Rt△≌Rt△ABE，，
∴　90°，即AE与所成的角为90°．
③ 由①知，由②得，∵，∴面AED．
∵　面，∴　面面．

四、二面角
1．二面角内一点到平面和棱的距离之比为，则这个二面角的平面角是度．
2．已知E是正方体的棱的中点，则二面角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
3.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是 ( )
A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定
4．已知等边三角形的边长为1，沿边上的高将它折成直二面角后，点到直线的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知E是正方体的棱的中点，则二面角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，二面角的平面角为， ,，，。（1）求的长；（2）求直线与所成的角。

7. 如图，已知四棱锥P——ABCD中，底面ABCD为正方形，
侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点. （1）求证：PA//平面EDB； （2）求证：平面EDB⊥平面PBC； （3）求二面角D—PB—C的大小.

8.如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.
(1) 求异面直线PA与CD所成的角；
(2) 求证：PC∥平面EBD；
(3) 求二面角A—BE—D的大小（用反三角函数表示）.

答案：1．900或1500 2.B 3. B 4、 B 5、 B 6. arctan
7. arctan 8. arctan