高中数学必修4三角函数的图像与性质.doc

三角函数的图像和性质
课 题
三角函数的图像和性质
学情分析
三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还
不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。
教学目标与
考点分析
1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；
2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．
教学重点
三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。
教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数
性质　　
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)
对称中心：
(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：

无对称轴
对称中心：

周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间
；
单调减区间

单调增区间
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；
单调减区间
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
单调增区间

奇偶性
奇
偶
奇
两条性质
(1)周期性
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

双基自测
1．函数，x∈R(　　)．
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2．函数的定义域为(　　)．
A． B．
C． D．
3．的图象的一个对称中心是(　　)．
A．(－π，0) B．
C． D．
4． 函数f(x)＝cos的最小正周期为________．
考向一　三角函数的周期
【例1】►求下列函数的周期：
　　(1)；(2)

考向二　三角函数的定义域与值域
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
②形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【例2】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．
(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．

【训练2】 (1)求函数y＝的定义域；
(2) 的定义域
(3)已知的定义域为，求的定义域.

考向三　三角函数的单调性
求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．
【例3】►求下列函数的单调递增区间．
(1)，(2)，(3).

【训练3】 函数f(x)＝sin的单调减区间为______．

考向四　三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
【例4】►(1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是(　　)．
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
(2)若0＜α＜，是偶函数，则α的值为________．

【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.

难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．
【示例】► 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，则ω的值为________．
练一练：
1、 已知函数
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．

2、设函数的图象的一条对称轴是直线，则______．
课后练习：
三角函数的图象与性质·练习题

一、选择题
(1)下列各命题中正确的是                                   [    ]

(2)下列四个命题中，正确的是                               [    ]
A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数
B．y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数
C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)

(3)下列命题中，不正确的是                                 [    ]

D．函数y=sin|x|是周期函数
(4)下列函数中，非奇非偶的函数是                        [    ]

(5)给出下列命题：
①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2
②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b

以上命题中正确命题的个数是                              [    ]
A．1                                             B．2
C．3                                             D．4
  [    ]
A．sinα＜cosα＜tgα
B．cosα＞tgα＞sinα
C．sinα＞tgα＞cosα
D．tgα＞sinα＞cosα
(7)设x为第二象限角，则必有                          [    ]

      [    ]

二、填空题
(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．

的值是______．
(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．
(12)给出下列命题：
①存在实数α，使sinαcosα=1

⑤若α，β是第一象限角，α>β则tgα＞tgβ
其中正确命题的序号是______．
三、解答题
(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．

答案与提示
一、
(1)B
(2)D
(3)D
(4)B
(5)D
(6)D
(7)A
(8)D
提示

(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．

y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．

(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．

(5)①=-y(sinx+2)2+3  sinx=-1时，ymax=2
②当cosx=-1时，f(x)max=a-b

∴cosα＜sinα＜tgα

二、(9)[-2，2]  (10)2或3  (11)y=arctg(x+2)  (12)③④
提示

(11)C：y＝arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2)，∴y=arctg(x+2)

由390°＞45°，但tg390°=tg30°＜tg45°，故⑤不正确．
综上，③④正确．
三、

１３
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