高中数学必修4三角函数的图像与性质.doc

三角函数的图像和性质
课 题
三角函数的图像和性质
学情分析
三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还
不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。
教学目标与
考点分析
1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；
2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．
教学重点
三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。
教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0)，π，0)，，(2π，0)．
(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数
性质　　
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)
对称中心：
(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：

无对称轴
对称中心：

周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间
；
单调减区间

单调增区间
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；
单调减区间
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
单调增区间

奇偶性
奇
偶
奇
两条性质
(1)周期性
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

双基自测
1．函数，x∈R(　　)．
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2．函数的定义域为(　　)．
A． B．
C． D．
3．的图象的一个对称中心是(　　)．
A．(－π，0) B．
C． D．
4． 函数f(x)＝cos的最小正周期为________．
考向一　三角函数的周期
【例1】►求下列函数的周期：
　　(1)；(2)

考向二　三角函数的定义域与值域
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
②形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【例2】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．
(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．

【训练2】 (1)求函数y＝的定义域；
(2) 的定义域
(3)已知的定义域为，求的定义域.

考向三　三角函数的单调性
求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．
【例3】►求下列函数的单调递增区间．
(1)，(2)，(3).

【训练3】 函数f(x)＝sin的单调减区间为______．

考向四　三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
【例4】►(1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是(　　)．
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
(2)若0＜α＜，是偶函数，则α的值为________．

【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.

难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．
【示例】► 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，则ω的值为________．
练一练：
1、 已知函数
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．

2、设函数的图象的一条对称轴是直线，则______．
课后练习：
三角函数的图象与性质·练习题

一、选择题
(1)下列各命题中正确的是                                   [    ]

(2)下列四个命题中，正确的是                               [    ]
A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数
B．y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数
C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)

(3)下列命题中，不正确的是                                 [    ]

D．函数y=sin|x|是周期函数
(4)下列函数中，非奇非偶的函数是                        [    ]

(5)给出下列命题：
①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2
②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b

以上命题中正确命题的个数是                              [    ]
A．1                                             B．2
C．3                                             D．4
  [    ]
A．sinα＜cosα＜tgα
B．cosα＞tgα＞sinα
C．sinα＞tgα＞cosα
D．tgα＞sinα＞cosα
(7)设x为第二象限角，则必有                          [    ]

      [    ]

二、填空题
(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．

的值是______．
(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．
(12)给出下列命题：
①存在实数α，使sinαcosα=1

⑤若α，β是第一象限角，α>β则tgα＞tgβ
其中正确命题的序号是______．
三、解答题
(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．

答案与提示
一、
(1)B
(2)D
(3)D
(4)B
(5)D
(6)D
(7)A
(8)D
提示

(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．

y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．

(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．

(5)①=-y(sinx+2)2+3  sinx=-1时，ymax=2
②当cosx=-1时，f(x)max=a-b

∴cosα＜sinα＜tgα

二、(9)[-2，2]  (10)2或3  (11)y=arctg(x+2)  (12)③④
提示

(11)C：y＝arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2)，∴y=arctg(x+2)

由390°＞45°，但tg390°=tg30°＜tg45°，故⑤不正确．
综上，③④正确．
三、

１３
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