高中数学柯西不等式与排序不等式.doc

3.1 3.2 柯西不等式
1.二元均值不等式有哪几种形式？
答案：及几种变式.
2.已知a、b、c、d为实数，求证
证法：（比较法）=….=

定理：若a、b、c、d为实数，则.

变式： 或
或.

定理：设，则

（当且仅当时取等号，假设）

变式：.
定理：设是两个向量，则.
等号成立？（是零向量，或者共线）

练习：已知a、b、c、d为实数，求证.
证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）
三角不等式：
① 定理：设，则.
变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

例1：求函数的最大值？
分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式

变式： → 推广：

例2：若，，求证：.
分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
要点：…
讨论：其它证法（利用基本不等式）

练习：已知，求的最小值.
解答要点：（凑配法）.
讨论：其它方法 （数形结合法）

练习：已知、，求证：.

例1：已知，求的最小值.

练习：若，且，求的最小值.

变式：若，且，求的最小值.

变式：若，且，求的最大值.

例2：若>>，求证：.
要点：

例3已知正数满足 证明
证明：利用柯西不等式

又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：
故
例4 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明
证明：由柯西不等式得，

记为的面积，则

故不等式成立。

练习：已知实数满足， 试求的最值
解：由柯西不等式得，有
即由条件可得，
解得，当且仅当 时等号成立，
代入时， 时

3.3 排序不等式
排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有
···+ (同序和)
+···+ (乱序和)
+···+ (反序和)
当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.
排序不等式的应用：
例1：设是n个互不相同的正整数，求证：
.
证明过程：
设是的一个排列，且，则.
又，由排序不等式，得
…
小结：分析目标，构造有序排列.

练习：已知为正数，求证：.

解答要点：由对称性，假设，则，
于是 ，，
两式相加即得.