No.28全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

2011冲刺全国高中数学联赛模拟试卷（一）
命题人：曾鹏
一 试
一．填空题
1. 不等式的解集为

2. 对于任意实数a，b，不等式恒成立，则
常数C的最大值是 ．
P(x,y)

3. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为2011米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是 。

A

y

x

O

4.等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积，则当 时，有最大值．

5. 若是定义在R上的连续函数，且，则

6. 设、、是直角三角形的三条边长，且，其中，，则的值等于 ．

7.由曲线,,,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,,的点组成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为,则与的大小关系为

8. 在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有 种配备新式武器的方案。
二.解答题
9. 　已知a > 0 ,函数f ( x) = ax - bx2 .求：
(1) 当b > 0 时,若对任意x ∈R,都有f ( x) ≤1 ,证明: a ≤2 b ;
(2) 当b > 1 时,证明:对任意x ∈[0 ,1 ] ,| f ( x) | ≤1 的充要条件是
b - 1 ≤a ≤2 b ;
(3) 当0 < b < 1 时,讨论:对任意x ∈[0 ,1 ] ,| f ( x) | ≤1 的充要条件.

10. 在轴同侧的两个圆：动圆和圆 外切（），且动圆与轴相切，求
（1）动圆的圆心轨迹方程L;
（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。

11.

二试
一. 设凸四边形ABCD 的对角线交于点O. △OAD、△OBC 的外接圆交于点O、M ,直线OM 分别交△OAB 、△OCD 的外接圆于点T、S . 求证:M 是线段TS 的中点.

二.设x为偶数，求方程x2011 +x-1=4y2011 +4y2010 +2011y+2010 的整数解（x,y）。

　三.设x 、y 、z 是正实数, 且满足x + y + z = 1. 求证:

2011冲刺全国高中数学联赛模拟试卷（一）答案：
1.

2.1003

3.【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P。设机器人改变方向的点为A，，。则由已知条件有 ，以及
.
所以有

即所求平面图形为弓形，其面积为 平方米。

4.12

5.【解析】，故为0.

6.4

7.设,则过A的两个截面都是圆环,面积分别是和
,于是.

8.【解】： 设20个岗位按先后排序为1，2，，… ，20，且设第k种新式武器设置的序号为 。令，，，，，
，则有
（*）
其中，。
作代换 ，，从而有
（**）
其中。
设I为的正整数解的全体，为I中满足的解的全体。则

上式成立的原因是，因为没有同时满足，，的的正整数组。所以.

9. 【解析】

10. 【解】（1）由可得

由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为,
则有
整理得到动圆圆心轨迹方程 .……（5分）
【另解】 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程
，即…………………（5分）
（2）联立方程组 ①
②
消去得 ，
由 整理得
③
从③可知 。 故令，代入③可得

再令，代入上式得
…………………（10分）
同理可得，。可令代入③可得
④
对④进行配方，得
对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，
所以。令，则 .
所以 …………………………………（15分）
仅当时，为完全平方数。于是解得
. …………………（20分）

11.【解析】

二.答案略

三.

四.

浪迹天涯

12