八年级数学下册一次函数与正比例函数讲义.doc

一次函数与正比例函数讲义

1．一次函数的定义
若两个变量x，y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量)．
谈重点 一次函数的条件
函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x，y的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式．
【例1】 下列函数中，是一次函数的是(　　)．
A．y＝7x2 B．y＝x－9
C．y＝ D．y＝
解析：
A
×
x的次数是2，不是1，所以它不是一次函数．
B
√
符合一次函数的一般形式．
C
×
含有自变量x的代数式不是整式，所以不是一次函数．
D
×
答案：B
2．正比例函数的定义
对于一次函数y＝kx＋b，当b＝0，即y＝kx(k为常数，且k≠0)时，我们称y是x的正比例函数．
辨误区 一次函数与正比例函数的关系
需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b＝0，且k≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．
【例2】 下列函数中，是正比例函数的是(　　)．
A．y＝－2x B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x2 D．y＝－
解析：
A
√
符合正比例函数的一般形式．
B
×
b＝1≠0，所以它不是正比例函数．
C
×
x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.
D
×
含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.
答案：A
辨误区 正比例函数的判断
要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b(k≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx(k≠0)的形式．
3．根据条件列一次函数关系式
列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．
点技巧 如何列函数关系式
列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．
【例3】 甲、乙两地相距30 km，某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地，并继续向乙地走．
(1)试分别确定甲、丙两地距离s1(km)及丙、乙两地距离s2(km)与时间t(h)之间的函数关系式．
(2)它们是什么函数．
分析：路程＝速度×时间，s2＝30－s1.
解：(1)s1＝4t，s2＝30－4t.
(2)两个函数都是一次函数，而s1＝4t还是正比例函数．
点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题．

4．一次函数与正比例函数的联系与区别
若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．
区别：
①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．
联系：
①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．
【例4－1】 在下列函数中，x是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1)y＝3x；(2)y＝；(3)y＝－3x＋1；(4)y＝x2.
分析：这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式．
解：一次函数是(1)y＝3x和(3)y＝－3x＋1.其中(1)y＝3x还是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数．
【例4－2】 已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式．
分析：设正比例函数解析式为y＝kx(k≠0)，要求出待定系数k，必须有x与y的一组对应值，所以关键是要将已知条件转化为具体的数值．因为当x＝0时，y＝0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x＝1时，y＝－2.这就是我们需要的等量关系．
解：设正比例函数解析式为y＝kx(k≠0)，
根据题意，当x＝1时，y＝－2.
代入函数解析式，得－2＝k.
故所求函数解析式为y＝－2x.

5．用一次函数解决实际问题
函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．
辨误区 写解析式，定自变量的范围
通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．
【例5】 一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L，行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.
(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；
(2)如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L时，老王行驶了多少千米？
分析：根据油箱中原有油9 L,1 h耗油1.5 L，则t h耗油1.5t L，得到行驶t h后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L，由此可得出函数关系式．
解：(1)Q＝9－1.5t，
由9－1.5t＝0，得到t＝6，
故t的取值范围为0≤t≤6.
(2)由3＝9－1.5t，得t＝4.
于是s＝vt＝60×4＝240(km)．
故老王行驶了240 km.