高中数学《函数的应用》测试题.doc

《函数的应用》测试题
　　一、选择题
1、某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，xN），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（　　）
　　　　A．180台　　　B．150台　　　　C．120台　　　 D．100台
2、1992年底世界人口达到54.8亿．若人口的年增长率为x%，2000年底世界人口为y亿，那么y与x之间的函数关系是:
A. B. C. D.
3、某种商品1995年提价25%，1998年要恢复成原价，则应降价（　　）
　　　　A．30%　　　　B．25%　 　　　C．20%　　　　 D．15%
4、某种商品进货单价40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售量就减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应定为每个（　　）
　　　　A．50元　　　　　B．60元　　　　　 C．70元　　　　　D．80元
5、按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币（　　）
　　　　A．2（1＋8％）3.5万 　　　　B．2（1＋8％）3（1＋2％）6万元
　　　　C．2（1＋8％）3＋2×2％×5万元　　　D．2（1＋8％）3＋2（1＋8）3（1＋2％）6万元
6、单摆的周期T(秒)与摆长l(米)的平方根成正比，若长为1米的单摆的周期为2秒，那么做一个周期为3秒的单摆时，摆线长为 
A.1.5米 B.米
C.2.25米 D.米
7、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别是60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的购买方式共有（　　）
　　　　A．5种　　　　B．6种　　　 　C．7种　　　　D．8种
8、某物体一天中的温度T是时间t的函数：T（t）＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃．t＝0表示12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度为（ ）
A. B. C. D.
9、等腰直角三角形ABC的周长为l（定值），它的斜边AC为x，写出这个等腰直角三角形的面积S与x间的函数关系式为（ ）．
A. ，x（0，l） B. ，x（0，l）
C. ，x（0，l） D. ，x（0，l）
10、某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是（ ）．
A. 2250 B.2270 C.2290 D.2310
11、如图（1）所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3min漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（min）的函数关系表示的图象只可能是（　　）

12、如下图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点Ｐ沿着A—B—C—M运动时，以点Ｐ经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（　　）

二、填空题
13．在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每封信应付邮资（分）表示为信重（0＜x≤40）克的函数，其表达式f（x）为________．
14、某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是_________．
15、某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数K（Q）＝40Q－，则总利润L（Q）的最大值是_________．
16、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，a3，…an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小．依此规定，从a1，a2，a3，…an中推出的a＝___________．
三、解答题
17、某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为1.2万元／辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量．
　　（1）求本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
　　（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，求投入成本增加的比例x的取值范围．

　18、WAP手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟）按30元记费；超过500分钟按0.15元/分钟记费．假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟记费．WAP手机上网不收通话费和漫游费．
问：（1）小周12月份用WAP手机上网20小时，要付多少上网费？
　 （2）小周10月份付了90元的上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？
　 （3）你会选择WAP手机上网吗？你是用那一种方式上网的？

19、某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50　km/h的速度返回A地．把汽车离开A地的路程x（km）表示为时间t（h）（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v　km/h表示为时间t（h）的函数，并画出函数图象．

20、如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．（1）写出这个梯形周长y，和腰长x间的函数式，并求出它的定义域．（2）求梯形周长的最大值.

21、某湖滨住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，计算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（下图阴影部分）铺花岗岩路面，造价为210元/m2，再在四个三角形空地上铺草坪，造价为80元/m2．问矩形宽为多少时，总造价最小？

22、我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性C14，动植物死亡后，停止了新陈代谢，C14不再产生，且原有的C14会自动衰变，经过5570年（叫做C14的半衰期），它的残余量只有原始含量的一半，经过科学测定知道，若C14的原始含量为a，则经过t年后的残余量与a之间满足a′＝a·e－kx．现测得出土的古莲子中C14残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．

《函数的应用》测试题
参考答案
　　一、选择题
1B解析：由25x≥3000＋20x－0.1x2，得x2＋50x－30000≥0．代入验证知150适合。
2A解析：该题与年份有关，可用归纳的方法求解．本题主要考查数学建模以及分析归纳能力．
3C解析：设1995年提价前的价格为a，1998年要恢复成原价应降价x．
　　于是有a（1＋25%）（1－x）＝a，解得，即应降价20%，故选C．
　4C解析：设此商品最佳售价为每个（50＋x）元，则此时可销出（50－x）个，于是获利为（50＋x）（50－x）－40（50－x）＝－x2＋40x＋500＝－（x－20）2＋900．因此，当x＝20时，获利最大．故商品最佳售价为每个50＋20＝70（元）．故选C．
5B解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故只有选B．
6C 解析：设T=k,则2=k,即k=2∴T=2,由3=2得l==2.25(米).
7C解析：题设共有5个条件，用字母分别表示有关量，将条件数学化，转化为不等式的有关问题．
8D解析：由条件可知上午8时t取－4，代入即得．
9D解析：直角边为　，所以面积为．
10A解析：设原价为x，由条件得1.4×0.8x－x＝270，解得x＝2250．
11B解析：H的变化由慢到快，故选B．
　12A解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，
　　当0≤x≤1时，y＝·x·1＝x；
　　当1＜x≤2时，y＝1－（x－1）－（2－x）－＝－x＋；
　　当2＜x≤2.5时，y＝（－x）×1＝－x．
　　则y＝图形为A．
二、填空题
13填：
14填：（xN*）
解析：设新价为b，则售价为b（1－20%），因为原价为a，所以进价为a（1－25%）．根据题意，得b（1—20%）－a（1－25%）＝b（1－20%）·25%．　　化简，得．
　　∴y＝b·20%·x＝·20%·x，　　即（xN*）．
15填：2500万元
　解析：总利润L＝总收入K－总支出（生产成本＋固定成本）．
　　所以．
故当Q＝300时，总利润最大值为2500万元．
6填：
解析：依题意所求。应使y＝（a－a1）2＋（a－a2）2＋…＋（a－an）2最小，把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值．因为y＝na2－2（a1＋a2＋…an）＋（a12＋a22＋…＋an2），所以当时　，y有最小值．∴为所求．
三、解答题
17解：（1）出厂价为：1.2（1＋0.75x），投入成本：1＋x，年销售量：1000（1＋0.6x）．
　　∴y＝［1.2（1＋0.75x）－（1＋x）］1000·（1＋0.6x）
　　＝（0.2－0.1x）1000·（1＋0.6x）＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）．
　　（2）由于上年度利润为200万元，所以－60x2＋20x＋200＞200．
　　∴－60x2＋20x＞0．∴0＜x＜．
　　∴x的取值范围为（0，）．
18解：设使用WAP手机上网的时间为x分钟，由已知条件可知，当上网时间不超过60分钟时，以每分钟0.5元递增计费；当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时，一律按30元收费；超过500分钟时，在30元基础上，再增加0.15元/分钟．故所付上网费
　　y=
　　（1）当x=20×60=1200（分钟）时，应将1200代入第三段解析式，得y=135，小周要付135元上网费；
　　（2）90元已经超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得x=900，小周这个月用手机上网900分钟；
　　（3）现在直接用电脑上网一般每月60元，从图形可以看出，上网时间较短时，用手机上网较合算，上网时间较长时，用电脑上网更合算．

19解析：由题意易知：汽车与A地的距离x（km）与时间t（h）之间的函数关系式是

　　车速v（km/h）与时间t（h）的函数关系式及图象略．
20解析：（1）要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2x，因此，只需用已知量和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式．设腰长AD＝BC＝x，作DE⊥AB，垂足为E．连结BD，那么∠ADB是直角，故有AD2＝AE×AB，即，
∴．
∴周长y满足关系式．
　　又由条件易求得定义域为{}．
（2）由（1）得，当且仅当时，梯形周长的有最大值，最大值为.
21解析：设AD＝x，AM＝y，则x2＋4xy＝200，　　∴．
　　∴总造价．
　即．当，即时，Q最小，最小值为118000元．

22解：a′＝a·e－kx，即，两边取对数，得．　　①
　　又知C14的半衰期是5570年，即t＝5570时，，
　　所以，即，代人①式，并整理得
　　，这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879，代入公式，得．即古莲子约是1040年前的遗物．

备选题：
1、容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为（　　）
　　　　A．·m％　　　　　　　　　B．　·m％
　　　　C．·m％　　　　　　　　　 D．·m％
1B解析：·m％
2、某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（　　）
　　　　A．5～7km　　　　　　　　　　　B．9～11km
　　　　C．7～9km　　　　　　　　　　　D．3～5km
　答案：A
3．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20％，B产品连续两次降价20％，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为（　　）
　　　　A．不亏不赚　　　　　　　　　　B．亏5.92元
　　　　C．赚5.92元　　　　　　　　　 D．赚28.96元
　　答案：B
4、某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（　　）（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
　　　　A．5　　　　　　　　　　　　　 B．10
　　　　C．14　　　　　　　　　　　　　D．15
　　答案：C
5、某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）

　5解析：由于d0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．
　　答案：D
6、一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没有注水部分的总量y随时间x变化的关系式为___________．
　　解析：设满池为1，则有水的部分为1－y，于是，即占总池量的．
　　答案：，x[0，10]
7、有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．

　　解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（200－4x）m，
　　则矩形面积为S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50），
　　∴x＝25时，S有最大值2500m2．
答案：2500
8、如图所示，铁路上AB段长100km，工厂C到铁路的距离CA为20km．现打算从AB上某一点D处向C修一条公路．已知铁路每吨每公里的运费与公路每吨每公里的运费之比为3：5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处?
解析：设DA长为x千米，铁路、公路每吨每公里的运费分别为3a元和5a元，从B往D到C的总费用为y．则，即．令，则，平方整理得16x2－6ux＋10000－u2＝0（*）．
由，得，∴|u|≥80．
又∵u＞＝0，∴u≥80，将u＝80代入（*）式，得x＝15．
答案：D点应选在距A15km处．