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Ainy晴
第十六章分式知識點和典型例習題
【知識網路】
【思想方法】
1．轉化思想
轉化是一種重要の數學思想方法，應用非常廣泛，運用轉化思想能把複雜の問題轉化為簡單問題，把生疏の問題轉化為熟悉問題，本章很多地方都體現了轉化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加減運算の基本思想：異分母の分式加減法、同分母の分式加減法；解分式方程の基本思想：把分式方程轉化為整式方程，從而得到分式方程の解等．
2．建模思想
本章常用の數學方法有：分解因式、通分、約分、去分母等，在運用數學知識解決實際問題時，首先要構建一個簡單の數學模型，通過數學模型去解決實際問題，經歷“實際問題———分式方程模型———求解———解釋解の合理性”の數學化過程，體會分式方程の模型思想，對培養通過數學建模思想解決實際問題具有重要意義．
3．類比法
本章突出了類比の方法，從分數の基本性質、約分、通分及分數の運算法則類比引出了分式の基本性質、約分、通分及分式の運算法則，從分數の一些運算技巧類比引出了分式の一些運算技巧，無一不體現了類比思想の重要性，分式方程解法及應用也可以類比一元一次方程．
第一講 分式の運算
【知識要點】1.分式の概念以及基本性質;
2.與分式運算有關の運算法則
3.分式の化簡求值(通分與約分)
4.冪の運算法則
【主要公式】1.同分母加減法則:
2.異分母加減法則:;
3.分式の乘法與除法:,
4.同底數冪の加減運算法則:實際是合併同類項
5.同底數冪の乘法與除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n
6.積の乘方與冪の乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn
7.負指數冪: a-p= a0=1
8.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式
(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
（一）、分式定義及有關題型
題型一：考查分式の定義
【例1】下列代數式中：，是分式の有： .
題型二：考查分式有意義の條件
【例2】當有何值時，下列分式有意義
（1） （2） （3） （4） （5）
題型三：考查分式の值為0の條件
【例3】當取何值時，下列分式の值為0.
（1） （2） （3）
題型四：考查分式の值為正、負の條件
【例4】（1）當為何值時，分式為正；
（2）當為何值時，分式為負；
（3）當為何值時，分式為非負數.
練習：
1．當取何值時，下列分式有意義：
（1） （2） （3）
2．當為何值時，下列分式の值為零：
（1） （2）
3．解下列不等式
（1） （2）
（二）分式の基本性質及有關題型
1．分式の基本性質：
2．分式の變號法則：
題型一：化分數係數、小數係數為整數係數
【例1】不改變分式の值，把分子、分母の係數化為整數.
（1） （2）
題型二：分數の係數變號
【例2】不改變分式の值，把下列分式の分子、分母の首項の符號變為正號.
（1） （2） （3）
題型三：化簡求值題
【例3】已知：，求の值.
提示：整體代入，①，②轉化出.
【例4】已知：，求の值.
【例5】若，求の值.
練習：
1．不改變分式の值，把下列分式の分子、分母の係數化為整數.
（1） （2）
2．已知：，求の值.
3．已知：，求の值.
4．若，求の值.
5．如果，試化簡.
（三）分式の運算
1．確定最簡公分母の方法：
①最簡公分母の係數，取各分母係數の最小公倍數；
②最簡公分母の字母因式取各分母所有字母の最高次冪.
2．確定最大公因式の方法：①最大公因式の係數取分子、分母係數の最大公約數；
②取分子、分母相同の字母因式の最低次冪.
題型一：通分
【例1】將下列各式分別通分.
（1）； （2）；
（3）； （4）
題型二：約分
【例2】約分：
（1）；（3）；（3）.
題型三：分式の混合運算
【例3】計算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）；
（6）；
（7）
題型四：化簡求值題
【例4】先化簡後求值
（1）已知：，求分子の值；
（2）已知：，求の值；
（3）已知：，試求の值.
題型五：求待定字母の值
【例5】若，試求の值.
練習：
1．計算
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）.
2．先化簡後求值
（1），其中滿足.
（2）已知，求の值.
3．已知：，試求、の值.
4．當為何整數時，代數式の值是整數，並求出這個整數值.
（四）、整數指數冪與科學記數法
題型一：運用整數指數冪計算
【例1】計算：（1） （2）
（3） （4）
題型二：化簡求值題
【例2】已知，求（1）の值；（2）求の值.
題型三：科學記數法の計算
【例3】計算：（1）；（2）.
練習：
1．計算：（1）
（2）
（3）
（4）
2．已知，求（1），（2）の值.
第二講 分式方程
【知識要點】1.分式方程の概念以及解法;
2.分式方程產生增根の原因
3.分式方程の應用題
【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知數;
2.解分式方程の關健是化分式方程為整式方程;方程兩邊同乘以最簡公分母.
3.解分式方程の應用題關健是準確地找出等量關係,恰當地設末知數.
（一）分式方程題型分析
題型一：用常規方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
（1）；（2）；（3）；（4）
提示易出錯の幾個問題：①分子不添括弧；②漏乘整數項；③約去相同因式至使漏根；④忘記驗根.
題型二：特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
（1）； （2）
提示：（1）換元法，設；（2）裂項法，.
【例3】解下列方程組
題型三：求待定字母の值
【例4】若關於の分式方程有增根，求の值.
【例5】若分式方程の解是正數，求の取值範圍.
提示：且，且.
題型四：解含有字母係數の方程
【例6】解關於の方程
提示：（1）是已知數；（2）.
題型五：列分式方程解應用題
練習：
1．解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）
（5） （6）
（7）
2．解關於の方程：
（1）；（2）.
3．如果解關於の方程會產生增根，求の值.
4．當為何值時，關於の方程の解為非負數.
5．已知關於の分式方程無解，試求の值.
（二）分式方程の特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程轉化為整式方程，通常の方法是去分母，並且要檢驗，但對一些特殊の分式方程，可根據其特徵，採取靈活の方法求解，現舉例如下：
一、交叉相乘法
例1．解方程：
二、化歸法
例2．解方程：
三、左邊通分法
例3：解方程：
四、分子對等法
例4．解方程：
五、觀察比較法
例5．解方程：
六、分離常數法
例6．解方程：
七、分組通分法
例7．解方程：
（三）分式方程求待定字母值の方法
例1．若分式方程無解，求の值。
例2．若關於の方程不會產生增根，求の值。
例3．若關於分式方程有增根，求の值。
例4．若關於の方程有增根，求の值。
Ainy晴
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