单片机原理与应用第三章第四章优品文档.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单片机原理与应用第三章第四章,第 三 章 行 列 式,一,、,概念,对任一,n,阶矩阵,用式,(3-1),(3-2),常称表达式,称为此,行列式的值,.,记作,det,A,而把相联系的那个数,把,A,的行或列称作是,det,A,的行或列,.,n,阶行列式,.,今后，,为,A,的,行列式,(determinant),表示一个与,A,相联系的数，,也一般称 这样有,n,行,n,列的表达式为,它的值不予严格区分,.,均指从表达式算出其值,.,但说到计算行列式，则通常,定义,1,对 的,n,阶矩阵,A,，把删去第,i,行及第,j,列后所得的,(,n,1),阶子矩阵称为对应,今后在不致引起混淆的情况下,将对行列式及,于元,a,ij,的,余子矩阵,，,并以,S,ij,记之,.,对,n,=2,3,用以下公式递归地定义,n,阶行列,式之值：,def,定义,2,一阶矩阵,a,ij,的行列式之值定义为数,a,11,det,a,11,def,a,11,（,3-3,）,例,1,设,按 计算,det,A,的值,这样，可以下式所示的规则来记,2,阶行列式,值的计算法：,+,（,3-4,）,例,2,设,计算,det,A,的值,用 写出计算,3,阶行列式值的公式为,（,3-5,）,其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,条虚线上的三个元素的乘积带负号,数和就是三阶行列式的展开式,.,并可以下表的形式记,3,阶行列式值的计算公式,.,+,+,+,每一,所得六项的代,根据,2,阶、,3,阶行列式的计算公式，可以一般,地指出：,n,个元之乘积,.,n,阶行列式的值是,n,！个不同项的代数和,其中的每一项都是处于行列式即不同行又不同列的,定义,3,对,n,阶矩阵,A,或,n,阶行列式,det,A,，,A,ij,def,(,-1,),i+j,det,S,ij,det,S,ij,为元,a,ij,对其,的,余子式,称,(,-1,),i+j,det,S,ij,为元,a,ij,对其,的,代数余子式,记作,A,ij,，,称,即,列式或者简称为子式，则定义可以说成r(A)是A,问：四阶以上行列式怎么求？,推论 1 对于 n n 齐次线性代数方程组 Ax=0,任一m n矩阵A经过有限次行初等,矩阵的最高阶数 k 为的秩(rank),记作r(A),并规定,如对 的 det A，有,式(如果存在的话)的值必为零.,于是,对齐次方程组,只需研究其,定理 11 对 n n 线性代数方程组 ,定义 2 一阶矩阵 aij 的行列式之值定义为数a11,依定理证明中的方式用行初等变换(今后就简称为,但说到计算行列式，则通常,如对 的,det,A,，有,等等,.,这样，可将,n,阶行列式值的定义写成,其中,A,1,k,是元,a,1,k,对,A,或,det,A,的代数余子式,.,(3-3,),问：四阶以上行列式怎么求？,问：下三角行列式怎么求？,问：矩阵的加法、数乘、转置、乘法、逆运算对应的行列式怎么求？,问：初等变换后行列式会怎么变？,问：上三角行列式怎么求？,定理（展开）,对,n,阶矩阵,A,，有,二,、,性质,两组等式表明行列式可按任意第,i,行或第,j,列 展开计算，,定理（展开）,对于,n,阶行列式,det,A,，有,（,3-6,）,(3-6,),而 是其,i,=1,的特例,.,推论（转置）,将行列式的各行依次换成同序号的列，,其值不变，,(det,A,),T,def,det,A,T,=det,A,即行列式经过转置，其值不变：,推论（数乘）,对,n,阶 矩阵,A,有,定理（加法）,若将,det,A,的某一列,(,或行,),a,i,写成两个向量之和，,a,i,=c,i,+,d,i,则,det,A,等于两个行列式之和，,结果，,这两个行列式分别是在,det,A,中用,c,i,及,d,i,代替,a,i,的,定理,(,乘法,),若,A,，,B,是两个同阶矩阵，则,定理,(,交换,),对换两列,(,或行,),的位置，行列式值反号,:,定理（数乘）,数,乘行列式,det,A,，等于用,乘它的某,一列,(,或行,),的所有元：,推论（倍加）,将行列式 的某一列,(,或行,),的任意,倍加,到另一列,(,或行,),去，值不变,.,推论,一列,(,或行,),元全为零的行列式值为零,.,推论,若有两列,(,或行,),元对应成比例，行列式,值为零,.,推论,有两列,(,或行,),全同的行列式，其值为零,.,例,计算,三、行列式值的计算,例,计算下列行列式：,行列式有什么用？,对,任一,n,阶矩阵,A=,a,ij,，用,adj,A,记与,转置伴随阵逆阵公式,1,转置伴随阵,定义,4,之同阶的转置伴随矩阵，有,(3-12),A,ij,T,adj,A,def,其中,A,ij,是元,a,ij,在,A,中的代数余子式的值,例,11,设,求,adj,A,.,定理,9,设,A,是,n,阶矩阵，,adj,A,为其转置伴随,矩阵，则有,今后，在遇到有关转置伴随阵的命题时应首,先想到这一基本的关系，即式,(3-13),或,(3-13,),.,(3-13,),可逆阵及其逆矩阵是矩阵论中的重要基础概,念,2,逆矩阵公式,利用行列式可给出判明可逆阵的一个简单的条,件,的基础上给出逆阵的一个公式,.,并在,定理,10,n,阶矩阵,A,为可逆阵的充分必要条件是,det,A,，,(3-14),此时有逆阵公式,例,12,判断矩阵,是否可逆？若可逆则求出,A,-,1,当系数行列式,时，有惟一解,定理,11,对,n,n,线性代数方程组,称自由项全为零的线性代数方程组为,齐次,方程组,从这个定理可得关于,n,n,齐次线性代数,方程组的两个明显推论,推论,1,对于,n,n,齐次线性代数方程组,Ax,=0,当,det,A,时，只有一组零解（未知数全取零值,的解）,齐次方程组的零解也称为,平凡解,，,推论,2,若,n,n,齐次线性代数方程组,Ax,=0,有,非零解，则必,det,A,0,x,i,不全为零的那种解为,非平凡解,或,非零解,而称各个,利用行列式判断线性方程组解的情况有以下两方面局限性：,1,、系数矩阵是方阵,2,、行列式不等于零时有唯一解，等于零呢？,第,4,章 矩阵的秩和,线性代数方程组的解,矩阵的秩,若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行,理性地描述一般齐次线性方程组的通解以及非其,任一m n矩阵A经过有限次行初等,m n 矩阵为梯矩阵(echelon matrik):,任何一个矩阵是否可以化成这一类矩阵？,利用行列式判断线性方程组解的情况有以下两方面局限性：,问：下三角行列式怎么求？,如对 的 det A，有,定理(乘法)若 A，B 是两个同阶矩阵，则,为 A 的行列式(determinant),一列(或行)的所有元：,推论2 设A是任一 m n矩阵,而B是m(或)n阶,对 的 n 阶矩阵 A，把删去第 i,推论（转置）将行列式的各行依次换成同序号的列，,化的过程中秩会怎么变？,问：四阶以上行列式怎么求？,能得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数.,概念,定义,1,对,m,n,矩阵,A,称其一切非退化方子,列式,或者简称为,子式,，则定义可以说成,r,(,A,),是,A,的一,切的非零子式的最高阶数,.,矩阵的最高阶数,k,为的,秩,(rank),记作,r,(,A,),并规定,若将,A,的任一方子矩阵的行列式称为,A,的,子行,r,(,O,)=0,.,即若,r,(,A,)=,k,则,A,至少有,一个取非零值的,k,阶子式,，,而任一,k,+1,阶子,式,(,如果,存在的话,),的值必为零,.,例,1,求下列矩阵的秩,:,(1),(2),(3),.,如何求秩,有没有一类矩阵的秩很容易求出？,任何一个矩阵是否可以化成这一类矩阵？,化的过程中秩会怎么变？,我们想到是否有类似于任何一个行列式可以化成上三角行列式来求值类似的方法,4.1.2,计算,定义,2,称对,k,=1,2,m-,1,满足以下两个条件的,m,n,矩阵为,梯矩阵,(echelon matrik):,1.,若第,k,行是零,(,即该行的元全为零,),，则第,(,k+,1),行必为零,.,2.,若有第,(,k,+,1,),行是非零行，则其行的首非零元,所在的列号，必大于第,k,行首非零元所在的列号,.,为梯矩阵,并求出,r,(,A,),.,例,2,说明,定理,1,任一,m,n,矩阵,A,经过有限次行初等,变换后秩不变,.,推论,1,任一,m,n,矩阵,A,经有限次列初等变换,后,秩不变,.,推论,2,设,A,是任一,m,n,矩阵,而,B,是,m,(,或,),n,阶,满秩,矩阵,则必有,(,或,),(4-3),定理,2,任一,m,n,矩阵,A,必可通过有限次行,初等变换而化为梯矩阵,.,例,对矩阵,依定理证明中的方式用行初等变换,(,今后就简称为,行初等变换法,),将其化为梯矩阵,.,以上两个定理可以简洁地表述为,:,等价矩阵的秩,相等,;,任一矩阵必有与之等价的梯矩阵,.,为计算矩阵,A,的秩,可归结为求一个与,A,等价的梯矩阵,然后由,数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到,r,(,A,).,齐次方程组,第二节,线性代数方程组的解,非齐次方程组,4.2,线性代数方程组的解,一个存在解的线性代数方程组称为是相容的,否则就是不相容或矛盾方程组,.,理性地描述一般齐次,线性,方程组的通解以及非其,次方程组相容的条件及相容显性代数方程组解的结,利用矩阵的概念可,构,.,或写成矩阵,-,向量形式,其中,m,n,矩阵,A,=,a,ij,为方程组的系数矩阵,x,T,=,x,1,x,2,x,n,是,n,维未知数向量,而,m,维零向量,0,是取自由,(4-4),(4-4,),4.2.1,齐次方程组,m,n,的齐次线性代数方程组为,项,(,或右端项,),向量,.,因为齐次方程组,所以总是相容的,.,在何种情况下有非平凡解,以及在有非零解的条件,下,怎样表示出其所有的解,.,有个明显的平凡解,，,即零解,于是,对齐次方程组,只需研究其,能得出其任一解的通解式中含有,n-r,(,A,),个,任意常数,.,从定理看出，齐次方程组若有非平凡解，则必,有无限多个解,.,定理,3,方程组,要条件是系数矩阵之秩,r,(,A,),小于未知数个数,n,且在,存在非平凡解的充分必,例,4,求下列齐次方程组的通解：,4.2.2,非齐次方程组,一般的,m,n,非齐次线性代数方程组的矩阵,-,向,量形式为,(4-5),称,m,n,矩阵,A,=,a,ij,为其系数矩阵，分块形式的,m,(,n,+1),矩阵,为方程组的,增广矩阵,，,x,=,x,1,x,2,x,n,T,是,n,维的未知数向量,b,=,b,1,b,2,b,m,T,是,m,维自由项,(,或右端项,),非零向,量,.,之具有相同系数矩阵的方程组,或者,称与,感谢观看,