常微分方程§5.1存在唯一性定理.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,存在性与唯一性,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 线性微分方程组,1/33,5.1,存在唯一性定理,2/33,一、线性微分方程组相关概念,1,线性微分方程组定义,定义,形如,微分方程组,称为,一阶线性微分方程组,.,3/33,称为,(5.1),通解,.,4/33,2,函数向量和函数矩阵相关定义,(1),n,维函数列向量定义为,注,:,对向量或矩阵代数运算性质,对于以函数作为元素矩阵一样成立,.,5/33,(2),函数向量和矩阵连续,微分和积分概念,可微函数,可微,可积函数,可积,此时,它们导数与积分分别定义为,6/33,注,:,关于函数向量与矩阵微分,积分运算法则,和普通数值函数类似,.,7/33,(3),矩阵向量范数,定义,8/33,(4),向量或矩阵序列敛散性,(,一致收敛,),(,一致收敛,).,(,一致收敛,),(,一致收敛,).,9/33,假如,上,一致收敛,.,10/33,11/33,12/33,3,一阶线性微分方程组向量表示,对一阶线性微分方程组,:,则,(5.1),可写成,13/33,(1),定义,1,(2),定义,2,初值问题,14/33,例,1,验证向量,是初值问题,解,:,显然,15/33,4 n,阶线性微分方程初值问题与一阶线性微分方程 组初值问题关系,对,n,阶线性微分方程初值问题,若令,:,16/33,则有,:,而且,:,即方程,(5.6),可化为,17/33,18/33,显然,:,19/33,且,:,20/33,实际上,由,知,21/33,即,且,即初值问题,(5.6),与,(5.7),解等价,即给出其中一个初问题解,可结构另一个初值问题解,.,22/33,例,2,将初值问题,化为与之等价一阶微分方程组初值问题,.,解,:,设,则有,即有,也即,23/33,注,:,每一个,n,阶线性微分方程可化为,n,个一阶线性微,分方程组成方程组,反之却不成立,.,如,:,方程组,不能化为一个二阶微分方程,.,24/33,二、存在唯一性定理,1,存在唯一性定理,25/33,2,存在唯一性,定理证实,证实共分五步完成,第一步,26/33,第二步,证实向量函数,在区间,上有定义且连续,命题,27/33,第三步,由,考虑向量函数项级数：,28/33,设,则,29/33,第四步,设,即,30/33,证实积分方程连续解唯一性,.,第五步,31/33,n,阶线性微分方程解存在唯一性,定理,推论,32/33,作业,P184 1,2(b),3,33/33,