数字图像处理学：第4章 图像增强（第4－3讲）.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数字图像处理学,第,4,章 图像增强,(,第三讲,),4.3,图像尖锐化处理,(Image Sharpening),图像尖锐化处理主要用于增强图像的边缘及灰度跳变部分。通常所讲的勾边增强方法就是图像尖锐化处理。与图像平滑化处理一样，图像尖锐化处理同样也有空域和频域两种处理方法。,4.3.1,微分尖锐化处理,4.3.2,零交叉边缘检测,4.3.3,高通滤波法,在图像平滑化处理中，主要的空域处理法是采用邻域平均法，这种方法类似于积分过程，积分的结果使图像的边缘变得模糊了。积分既然使图像细节变模糊，那么，微分就会产生相反的效应。因此，微分法是图像尖锐化方法之一。,微分尖锐化的处理方法最常用的是,梯度法,。,由场论理论知道，数量场的梯度是这样定义的：,设一数量场,u,，,u=,u,(,x,y,z,),，把大小是在某一点方向导数的最大值，方向是取得方向导数最大值的方向的,矢量,叫数量场的梯度。,由这个定义出发，如果给定一个函数,f,(,x,y,),，在坐标,(,x,y,),上的梯度可定义为一个矢量,(4,40),由梯度的定义可知它有两个特点：,（）矢量,grad,f,(,x,y,),是指向,f,(,x,y,),最大增加,率的方向；,（）如果,G,f,(,x,y,),用来表示,grad,f,(,x,y,),的幅度，那么,(4,41),这就是说,G,f,(,x,y,),等于在,grad,f,(,x,y,),的方向上每单位距离,f,(,x,y,),的最大增加率。显然，式,(4,41),是一个标量函数，并且,G,f,(,x,y,),永远是正值。由于我们经常用到的是式,(4,41),，因此，在后续讨论中将笼统地称,“,梯度的模,”,为梯度。,在数字图像处理中，仍然要采用离散形式，为此用差分运算代替微分运算。式,(4,41),可用下面的差分公式来近似,(4,42),(4,43),在用计算机计算梯度时，通常用绝对值运算代替式,(442),，所以，有式,(443),所示的近似公式,图,4,26,示出了式,(4,43),中像素间的关系。应该注意到，对一幅,N,N,个像素的图像计算梯度时，对图像的最后一行，或者最后一列不能用式,(4,43),来求解，解决方法是对这个区域的像素在,x,=,N,y,=,N,时重复前一行和前一列的梯度值。,图,4,26,计算二维梯度的一种方法,关于梯度处理的另一种方法是所谓的罗伯特梯度（,Robert gradient,）法。这是一种交叉差分法。其近似计算值如下式,(4,44),(4,45),用绝对值近似计算式如下,式,(4,44),和,(4,45),式中像素间的关系如图,4,27,所示,图,4,27,罗伯特梯度法,由上面的公式可见，梯度的近似值都和相邻像素的灰度差成正比。这正象所希望的那样，在一幅图像中，边缘区梯度值较大，平滑区梯度值较小，对于灰度级为常数的区域梯度值为零。这种性质正如图,4,28,所示。由于梯度运算的结果，使得图像中不变的白区变为零灰度值，黑区仍为零灰度值，只留下了灰度值急剧变化的边沿处的点。,图,4,28,二值图像及计算梯度的结果,这个简单方法的缺点是使,f,(,x,y,),中所有平滑区域在,g,(,x,y,),中变成暗区，因为平滑区内各点梯度很小。,当选定了近似梯度计算方法后，可以有多种方法产生梯度图像,g,(,x,y,),。最简单的方法是让坐标,(,x,y,),处的值等于该点的梯度，即,(4,46),为克服这一缺点可采用阈值法（或叫门限法）。其方法如下式表示,(4,47),也就是说，事先设定一个非负的门限值,T,，当梯度值大于或等于,T,时，,则这一点就取其梯度值作为灰度值，如果梯度值小于,T,时则仍保留原,f,(,x,y,),值。这样，通过合理地选择,T,值，就有可能既不破坏平滑区域的灰度值又能有效地强调了图像的边缘。,基于上述思路的另一种作法是给边缘处的像素值规定一个特定的灰度级,L,G,，,即,(4,48),这种处理会使图像边缘的增强效果更加明显。,当只研究图像边缘灰度级变化时，要求不受背景的影响，则用下式来构成梯度图像,(4,49),式中,L,B,是规定的背景灰度值。,另外，如果只对边缘的位置感兴趣，则可采用下式的规定产生图像。,(4,50),计算方法框图如图,4,25,所示。,图,4,25,梯度法尖锐化处理计算框图,一种典型的边缘增强图像。,图,4,26,图像尖锐化处理的例子,（,a,）是原像,（,b,）是,soble,算子处理的结果,（,c,）是拉普拉斯算子处理结果,（,d,）是个向异性处理结果,4.3.3 Canny,算子,坎尼（,Canny,）算子是,1986,年,John Canny,在,IEEE,上发表的“,A Computational Approach to Edge Detection”,这篇文章中提出的。文章中还给出了边缘检测的三条准则，即,Canny,准则,(,Cannys,Criteria),。并在此基础上提出了一个实用算法。,Canny,准则的目的就在于：,在对信号和滤波器做出一定假设的条件下利用数值计算方法求出最优滤波器并对各种滤波器的性能进行比较。,1,边缘检测的,Canny,准则,Canny,算子是一阶算子，其方法的实质是用一个准高斯函数作平滑运算，然后以带方向的一阶微分算子定位导数最大值，它可用高斯函数的梯度来近似，在理论上很接近,4,个指数函数线性组合形成的边缘算子,。,根据边缘检测的有效性和定位的可靠性，,Canny,研究了最优边缘检测器所需的特性，推导出最优边缘检测器的数学表达式。对于各种类型的边缘，,Canny,边缘检测算子的最优形式是不同的。,边缘增强算子有三个共同要求，即：,1,）,.,优良的信噪比；即对边缘的错误检测率要尽可能低：也就是说将非边缘点判别为边缘点及将边缘点判为非边缘点的概率要低。,2,）,.,优良的定位性能；即检测出的边缘位置要尽可能在实际边缘的中心。,3,）,.,对同一边缘仅有唯一响应；即单个边缘产生多个响应的概率要低，虚假边缘响应应得到最大抑制。,Canny,算子的三条准则的数学形式可分析与表述如下：,假定滤波器的有限冲击响应为,h,(,x,),，,x,-,W,W,设要检测边缘的曲线为,G,(,x,),，并且假设它的边缘就在,x,=0,处，噪声为,n,(,x,),，,1,）,.,优良的信噪比：,优良的信噪比是指将非边缘点判别为边缘点及将边缘点判为非边缘点的概率降到最低。由于这两个概率都随着信噪比提高而单调下降，所以第一个准则就等价于求,h,(,x,),，使得检测后的图像在边缘点的信噪比最大化。,经过,h,(,x,),滤波后，边缘点处的图像信号的响应可用卷积积分表示：,（,4,57,）,因为滤波器为有限冲激响应，并且噪声是功率谱为常数的白噪声，那么利用帕斯伐尔公式,可得到滤波器对噪声,n,(,x,),的均方根响应为：,（,4,58,）,这里的是 单位长度上均方噪声的振幅。,Canny,第一个准则的数学表达式就是：,（,4,59,）,2,）,.,定位准则：,设检测出的边缘位置在,x,0,（实际的边缘在,x,=0 ),符合下述条件我们确定为边缘点：,（,1,）、对算子响应的局部极大点标志为边缘点，即算子响应的一阶导数在边缘点应为零,（,2,）、,H,n,(,x,),表示滤波器单独对噪声的响应，,（,3,）、,H,G,(,x,),是滤波器单独对边缘的响应。,（,4,）、假设滤波器总的响应在,x,=,x,0,处有一个局部的的极大值。,则有：,（,1,）,.,在,所以有,处取得最大值，,（,2,）,.,在,取得最大值，所以,(3).,于是,即,（,4,60,）,从而,这里，,E,(,x,),是,x,的期望。因为越小定位越精确，所以定位准则的数学表达式定义为,（,4,61,）,我们的目标是求一个函数，使得下面这个式子达到最大值,（,4,62,）,3,）,.,在理想情况下，我们用滤波器对噪声响应的两个峰值间的距离来近似滤波器对一个边缘点响应的长度。因为输出信号中相邻两个极大值点的距离是相邻两个零交叉点距离的,2,倍，,Rice,给出了高斯噪声在函数滤波后输出信号中相邻两个零交叉点的距离,（,4,63,）,其中，,，,所以噪声在,h,(,x,),滤波后两个相邻极大值点的距离为,:,这里,W,是滤波器,h,(,x,),的半宽度。所以在,2,W,长的区域里出现最大值个数的期望为，,显然，只要固定了,k,，就固定了,2,W,长区域中,出现最大值的个数。这就是第三个准则,。,注意到，如果,h,(,x,),满足这个准则，那么由,也满足这个准则。假设,W,与,w,成比例，也就是说对于给定的,k,，第三个准则的结果与,h,(,x,),的空间尺度无关。,2,Canny,算子的计算实现,Canny,将他总结出的三个判据用数学的形式表示出来，然后采用最优化数值方法，得到给定边缘类型的最佳边缘检测模板。对于二维图像，需要使用若干方向的模板分别对图像进行卷积处理，再取最可能的边缘方向。,对于阶跃型的边缘，,Canny,推出的最优边缘检测器的形状与高斯函数的一阶导数类似，而根据二维高斯函数的圆对称性和可分解性，可以很容易的计算高斯函数在任意方向上的方向导数与图像的卷积。,根据,Canny,的定义，中心边缘点为算子,G,n,，设二维高斯函数,在某一方向,n,上的一阶方向导数为,其中，,是方向矢量，,是梯度矢量与图像,f,(,x,y,),的卷积在边缘梯度方向上的区域中的最大值,。,这样，就可以在每一点的梯度方向上判断此点强度是否为其最大值来确定该点是否为边缘点。,将图像,f,(,x,y,),与,G,n,作卷积，同时改变,n,的方向，,G,n,*,f,(,x,y,),取得最大值时的,n,就是正交于检测边缘的方向。由,（,4,64,）,因此，对应于极值的方向,n,（,4,66,）,在该方向上,有最大输出响应，此时，,（,4,67,）,二维次最优阶跃边缘算子是以卷积,G,n,*,f,(,x,y,),为基础的，边缘强度由,决定，而边缘方向为,可以使用分解的方法来提高速度，即把的二维滤波卷积模板分解为两个一维的行列滤波器,其中，,将上面的 与 分别与图像卷积，得到输出,M,(,x,y,),反映了图像点,(,x,y,),处的边缘强度，,是图像点,(,x,y,),的法向矢量,。,根据,Canny,的定义，中心边缘点是算子,G,n,与图像,f,(,x,y,),的卷积在边缘梯度方向上的最大值，这样就可以在每一个点的梯度方向上判断此点强度是否为其邻域的最大值来确定该点是否为边缘点。,当一个像素满足以下三个条件时，则被认为是图像的边缘点：,（,1,）该点的边缘强度大于沿该点梯度方向的两个相邻像素点的边缘强度；,（,2,）与该点梯度方向上相邻两点的方向差小于,4,度；,（,3,）以该点为中心的邻域中的边缘强度极大值,小于某个阈值。,如果（,1,）和（,2,）同时被满足，那么在梯度方向上的两相邻像素就从候选边缘点中取消，条件（,3,）相当于用区域梯度最大值组成的阈值图像与边缘点进行匹配，这一过程消除了许多虚假的边缘点。,3,Canny,边缘检测算法,1,双阈值技术,Canny,还提出一种对噪声估计的实用方法。假设边缘信号较大值的响应比较少，而噪声较小值的响应很多，那么阈值就可以通过滤波后的图像的统计累积直方图得到。,但是，仅仅有一个阈值并不充分，由于噪声影响边缘信号响应只有差不多一半大于这个阈值，由此造成了斑纹现象,(,Steaking,),，也就是说边缘是断的。,如果把这个阈值降低，往往会出现错误的“边缘”。为了解决这个问题，,Canny,提出了一种双阈值方法。前面利用累计统计直方图得到一个高阈值,T,1,，然后再取一个低阈值,T,2,。,如果图像信号的响应大于高阈值，那么它一定是边缘；如果低于低阈值，那么它一定不是边缘；如果在低阈值和高阈值之间，就看它的,8,个邻接像素有没有大于高阈值的边缘。,所以，应用,Canny,算子提取边缘时，首先将图像通过高斯卷积进行平滑，接着对这个有着很高的一阶导数的平滑过的图像在其高光区域应用一个简单的二维一阶导数算子（有点类似,Roberts,交叉算子）。,边缘在梯度数量图像中呈现屋脊状，随后算子沿着这些屋脊的最大值开始进行边缘的追踪，并将不在屋脊最大值的像素设为,0,值，这样就可以输出一条很细的边缘线，这就是非最大值抑制。,边缘追踪的过程采用了滞后策略，由,T,1,和,T,2,两个阈值（,T,2,T,1,）控制，从屋脊大于,T,1,的点开始追踪，随后沿着两个方向继续进行追踪，直到某个点的高度值小于,T,2,停止。这一滞后有助于保证噪声边缘不被掺杂到多重边缘片断中去。,2,多尺度技术,滤波器的尺度选择一直是边缘检测的一大难题。所谓滤波器的尺度在离散情况下就是指模板宽度,W,。如果,W,越大，则检测出的边缘的效果就越好,噪声的影响越少，但是定位就变的越不准确。,因此，就提出了尺度空间的概念，也就是利用多个尺度进行边缘检测。这是因为,:,A.,在现实世界中的任何度量都是在一定尺度下,进行的；,B.,尺度的大小会影响到度量结果，这里的模板,宽度,W,就是如此；,C.,信息包含在不同尺度中，因此，要很好地求出边缘就需要在多个尺度下进行检测；,D.,小的“孔径”并不一定就比大的尺度提供更多的信息。,而在连续滤波器中，尺度指的是不同滤波器的一些参数。这些参数决定了它们当,x,+,时的衰减速度，比如说高斯函数的参数等等。用多个不同尺度的滤波器检测边缘的时候，对同一边缘来说检测出的边缘的位置是不同的，这时就选择尺度最小的滤波器的结果。,因为理论分析表明尺度小的时候得到的滤波器定位比较好。具体实现时可以这样做：先用最小的滤波器去检测边缘并把边缘标记出来，然后估计一下一个较大的滤波器检测到的这个边缘的位置,(,把检测结果和高斯函数做平滑,),。,然后用一个较大的滤波器和原来的图像做卷积，如果在刚才预测的地方检测到边缘了，那么只有它的振幅远远大于低尺度滤波器时才接受这个边缘。,在此基础上，,Canny,设计了一个边缘检测算法。,1,）、首先用,2D,高斯滤波模板进行卷积以消除噪声,;,2,）、利用导数算子,(,比如,Prewitt,算子、,Sobel,算子,),找到图像灰度沿着两个方向的偏导数,(,G,x,G,y,),，并求出梯度的大小：,4,）、一旦知道了边缘的方向，我们就可以把边缘梯度的方向大致地分为四种（水平，竖直，,45,度方向，,135,度方向）。,3,）、利用,2,）的结果计算出梯度的方向,也就是把,0,180,o,分为,5,个部分：,0,22.5,o,以及,157.5,o,180,o,算做是水平方向；,22.5,o,67.5,o,算做,45,o,方向；,67.5,o,112.5,o,算是竖直方向；,112.5,o,157.5,o,记为,135,o,方向。,需要记住的是：这些方向是梯度的方向，也就是可能的边缘方向的正交方向。通过梯度的方向,我们就可以找到这个像素梯度方向的邻接像素；,5,）、非最大值抑制：遍历图像，若某个像素的灰度值与其梯度方向上前后两个像素的灰度值相比不是最大的，那么这个像素值置为,0,，即不是边缘；,6,）、使用累计直方图计算两个阈值。凡是大于高阈值的一定是边缘；凡是小于低阈值的一定不是边缘；如果检测结果大于低阈值但又小于高阈值，那就要看这个像素的邻接像素中有没有超过高阈值的边缘像素：如果有的话那么它就是边缘，否则它就不是边缘；,7,）、还可以利用多尺度综合技术做得更好。,4,Canny,连续准则存在的问题,Canny,准则是一个连续准则，也就是说是在假设图像和滤波器都是一个连续函数的情形下给出的。但实际上数字图像是离散的，滤波器也应该是离散的。,在实际中就需要把连续的滤波器离散化以选择合适的模板。这就产生了问题：多大宽度的模板最合适？在连续域所谓最优的滤波器在离散的数字图像上还是不是最优的？,第一，这种连续准则虽然可以比较很多滤波器的性能，但是对一些离散滤波器它是无法使用的，比如说,Sobel,等滤波器。,第二，,Torre,和,Poggio,证明了数字图像的导数是一个病态问题。所以直接从连续域中分析然后再把连续滤波器离散化这样得到的滤波器从理论上不够恰当。,第三，连续域和离散域之间一个很大的区别在于离散域中的有频谱重叠现象,(Spectrum Overlapping),。这也导致了离散域和连续域的性质有很多不同。因此，这些问题还需要进行深入研究，以便使坎尼（,Canny,算）子边缘提取算法更加完善。,4,3,4 Prewitt,算子,1970,年，,Prewitt,提出了一个边缘检测算子，,两个卷积形成了该算子，图像中的每个像素都用这两个核作卷积，一个核对垂直边缘影响最大，另一个对水平边缘影响最大。两个卷积的最大值作为该点的输出值。,Prewitt,算子使用两个有向算子,(,一个水平的，一个是垂直的，一般称为模板,),如下：,-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,-1,0,1,-1,0,1,-1,0,1,即：,如果我们用,Prewitt,算子检测图像,M,的边缘的话，我们可以先分别用水平算子和垂直算子对图像进行卷积，得到的是两个矩阵，在不考虑边界的情形下也是和原图像同样大小的,M,1,，,M,2,，他们分别表示图像,M,中相同位置处的两个偏导数。,然后把,M,1,，,M,2,对应位置的两个数平方后相加得到一个新的矩阵,G,，,G,表示,M,中各个像素的灰度的梯度值,(,一个逼近,),。然后就可以通过阈值处理得到边缘图像。总的过程是：,我们可以这样解释这些模板：,假设图像的灰度满足下面这个关系：,则梯度是（）。,显然，当前,3,3,邻域内像素值为,定义垂直算子和水平算子形如：,之所以这样定义是为了满足对称性和电路设计的需要。,利用这两个模板对当前像素进行卷积，得到的方向导数为,:,因此当前像素处的梯度的大小为,显然要有：,2(2a+b)=1,如果我们取,a=b=1/6,则得到的模板就是,1/6,乘,Prewitt,算子。,4,3,5,经典的,kirsch,算子,1971,年，,R.Kirsch,提出了一种边缘检测的新方法：它使用了,8,个模板来确定梯度和梯度的方向，是一种最佳匹配的边缘检测。用分别与图像的各对应元素相乘，去计算该结果的最大值作为中央像素的强度边缘。,8,个卷积核形成了,Krisch,算子，图像的每个像素都用这,8,个掩模进行卷积，每个掩模都对某个特定边缘方向作出最大响应，所有,8,个方向的最大值作为该点的输出值。最大响应掩模的序号构成了边缘方向的编码。,假设，原来的,33,子图像如下：,则边缘的梯度大小为：,其中，,上面的下标如果超过,7,就用,8,去除取余数。,注意到,k=0,，,1,，,.7,，其实就是使用了,8,个模板，如下：,在进行边缘提取时,将上述模板分别与图像中的一个,33,区域相乘,选取输出值为最大的模板。然后，把这一最大输出值作为中央像素点上的边缘强度，把取得最大值的边缘模板的方向,(,的取值如图,4,33,所示,),，作为其边缘方向。,假设图像中一点,(,),及其八邻域的灰度如图,4,34,所示，并设,q,k,(,=0,1,7),为图像经过,kirsch,算子第个模板处理后得到的方向上的边缘强度，则,(,),的边缘强度为,(,)=max,q,k,(,=0,1,7),，,而相应的边缘方向,(,)=k|,q,k,为最大值,。,图,4,33,边缘方向 图,4,34,窗口设置示意图,该算法处理所需的运算量可以这样估计，首先，分析图中的任一点,A,的计算量。计算,A,点的灰度值所需运行的加法运算次数为,PA,=78,56,（次），乘法运算次数为,MA,=28,16,（次）。由此，处理一幅,的图像所需的运算量为：加法运算次数为,56,N,2,次,乘法运算次数为,16,N,2,次。,