大学物理学：6.2 刚体动力学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,各点绕轴作半径不同的圆周运动,2.,各转动平面垂直于转轴,3.,各点的,位移、速度、加速度,不同,但,角位移、角速度、角加速度,相同,z,A,B,A,B,刚体定轴转动的特点：,回顾,匀变速转动的公式：,表征刚体定轴转动的物理量：,角量与线量的关系：,运动学规律,刚体的转动惯量与哪些物理量有关？,.,与刚体质量有关。,.,与质量对轴的分布有关。,.,与轴的位置有关。,转动惯量：,平行轴定理,定理表述：,刚体绕平行于质心轴的转动惯量,J,，,等于绕质心轴的转动惯量,J,C,加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。,垂直轴定理,定理表述：,质量,平面分布,的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。,z,o,d,p,刚体作定轴转动时，,合外力矩,等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。,刚体定轴转动定律,解题方法及应用举例,1,.,确定研究对象。,2,.,受力分析,（,只考虑对转动有影响的力矩,）。,3,.,列方程求解,(,平动,物体列牛顿定律方程，,转动,刚,体列转动定律方程和角量与线量关系,),。,第一类问题：,已知运动情况和,J,，,确定运动学和动力学的联系,-,，从而求出,M,或,F,。,例,1,：,长为,l,、,质量为,m,的细杆，初始时的角速度为,0,，,由于细杆与桌面的摩擦，经过时间,t,后杆静止，,求,摩擦力矩,M,阻,。,解：,以细杆为研究对象，,只有摩擦阻力,产生力矩，由匀变速转动公式：,细杆绕一端的转动惯量,则摩擦阻力矩为：,第二类问题：,已知,J,和力矩,M,求,a,和,及,F,。,例：,质量为,m,1,和,m,2,两个物体，跨在定滑轮上,m,2,放在光滑的桌面上，滑轮半径为,R,，,质量为,M,，,求：,m,1,下落的加速度，绳子的张力,T,1,、,T,2,。,T,1,T,2,解：,受力分析,:,（,1,）,:,（,2,）,:,（,3,）,T,1,T,2,（,4,）,联立方程（,1,）,-,（,4,）求解得,讨论：,当,M,=,0,时,第三类问题：,已知运动情况 和力矩,M,，,求,未知刚体转动惯量,J,。,例：,测轮子的转动惯量,用一根轻绳缠绕在半径为,R,、,质量为,M,的轮子上若干圈后，一端挂一质量为,m,的物体，从静止下落,h,用了时间,t,求轮子的转动惯量,J,。,h,h,解：受力分析：,m：,M：,物体从静止下落时满足,联立方程,（,1,）,-,（,4,）,求解得：,对轴的力矩,刚体定轴转动定律,第一类问题：,已知运动情况和,J,，,确定运动学和动力学的联系,-,，从而求出,M,或,F,。,第二类问题：,已知,J,和力矩,M,求,a,、,及,F,。,第三类问题：,已知运动情况 和力矩,M,，,求,未知刚体转动惯量,J,。,小结,瞬时、同轴,外因,在功和能一章中我们研究了力对空间的累积效应,功,，在这节中要介绍力矩对空间的累积效应,力矩的功。,刚体转过,d,作用点的位移为,ds,法向力,F,n,不作功，只有切向力作功,。,6,4,定轴转动的动能定理,一 力矩的功,则,恒力矩作功,刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？,由功率的定义：,二 力矩的功率,三 刚体绕定轴转动的动能定理,其中力矩,则功,由力矩的功定义：,为刚体的,转动动能,刚体转动动能定理：,合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。,刚体定轴转动的动能定理,在保守力的作用下刚体可引入势能概念,重力势能,。,（是 对势能零点相对高度）,由质心定义，刚体质心对势能零点的相对高度,四 刚体的重力势能,1,.,确定研究对象。,2,.,受力分析，确定作功的力矩。,3,.,确定始末两态的动能，,E,k,0,、,E,k,。,4,.,列方程求解。,五 应用转动动能定理解题方法,解：,以杆为研究对象，,只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。,重力矩作功,：,例,1,：,一细杆质量为,m,，,长度为,l,，,一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。,始末两态动能：,由动能定理：,例,2,：,质量为,m,、,半径为,R,的圆盘，以初角速度,0,在摩擦系数为,的水平面上绕质心轴转动，,解：,以圆盘为研究对象，只有摩擦力矩作功。,始末两态动能：,摩擦力矩的功：,将圆盘分割成无限多个圆环,问：,圆盘转动几圈后静止。,每个圆环产生的摩擦力矩，,圆盘的面密度为：,圆环的质量为：,整个圆盘产生的摩擦力矩，,r,摩擦力矩的功：,由动能定理：,则转过的角度：,则转过的圈数：,其中,当系统中既有,平动,的物体又有,转动,的刚体，且系统中,只有保守力,作功，其它力与力矩不作功时，,物体系,的机械能守恒。,六 物体系的机械能守恒定律,例：,如图所示的物体系中，劲度系数为,k,的弹簧开始时处在原长,，,定滑轮的半径为,R,、,转动惯量为,J,，,质量为,m,的物体从静止开始下落,求,下落,h,时物体的速度,v,。,解：,在物体,m,下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。,选择弹簧原长为弹性,0,势点，物体下落,h,时为重力,0,势点。,求解得,有关物理量,力学规律,小结,定轴转动中的功能关系,转动动能,力矩作功,重力势能,刚体定轴转动的,动能定理,只有保守力作功，,机械能守恒,一、冲量矩,平动冲量：,冲量矩：,冲量矩，即力矩对时间的积累效应。,单位：,N m s,6,5,刚体对定轴的角动量守恒定律,二、角动量、角动量定理,由冲量矩定义：,其中,1,.,角动量,定义：,角动量,2,.,角动量定理,单位：,kgm,2,/s,方向：,与角速度方向一致。,该定理是力矩的时间积累作用规律。,注意几点,1,.,角动量与动量是两个不同的物理量，,角动量方向为,角速度的方向,，动量的方向为速度的方向。,3,.,对于变力矩，可用平均力矩代替。,2,.,恒力矩情况：,三、应用角动量定理解题方法,1,.,确定研究对象。,2,.,受力分析（考虑产生力矩的力）。,3,.,规定正向，确定始末两态的角动量,.,4,.,应用定理列方程求解。,解：,在力,F,冲击的瞬间，认为细杆还未摆起，重力不产生力矩，只有力,F,产生力矩，视为恒力矩。由角动量定理：,例,1,：,一冲击力,F,，,冲击一质量为,m,、,长为,l,、,竖直悬挂细杆的未端，作用时间为,t,求在竖直位置时杆的角速度。,例,2,：,在摩擦系数为,的,桌面上有细杆，质量为,m,、,长度为,l,，,以初始角速度,0,绕垂直于杆的质心轴转动，,问,细杆经过多长时间停止转动。,解：,以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。,确定细杆受的摩擦力矩,分割质量元,dm,细杆的质量密度为：,质元受的摩擦力矩,细杆受的摩擦力矩,始末两态的角动量为：,由角动量定理：,四、角动量守恒定律,条件：,角动量守恒定律,:,当刚体受到的合外力矩为,0,时，刚体的角动量守恒。,明确几点,.,对于刚体定轴转动，转动惯量,J,为常数，角速度,也为常数，,=,0,.,对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，,J,=C,，,例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。,再如：跳水运动员的“团身,-,展体”动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。,.,在非定轴转动时，的方向保持不变；,回转仪,例,：直升机尾部的竖直旋转尾翼,有关物理量,动力学规律,小结,刚体定轴转动中的动力学规律,转动惯量,冲量矩,角动量,角动量定理,角动量守恒定律,力矩,转动定律,6,6,进动（旋进）*,一 进动现象及其原理,由 ，与 的方向相同。,Lsin,O,Z,p,L,L+,dL,d,dL,G,O,L,Z,p,：自旋角速度,进动角速度：,二 进动角速度,Lsin,O,Z,p,L,L+,dL,d,dL,1,岁差：地球自转的旋进使春分点沿黄道向西缓慢运行，,25800,年为一周期。,三 进动实例,2,枪炮膛线,3,电子自旋,G,F,p,v,C,复习,刚体力学,规律类比,:,平动,转动 表格,一张,A4,纸 下周一交,预习,教材：,P106,例题,6-10,拓展书（习题课）,超：,P19 5,作业：,6.10,，,6.13,，,6.19,，,6.21,1,2,例,1,：,人与转盘的转动惯量,J,0,=60kgm,2,伸臂时臂长为,1,m,，,收臂时臂长为,0.2,m,。,人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量,m,=5kg,的哑铃。伸臂时转动角速度,1,=3 s,-1,求,收臂时的角速度,2,，机械能是否守恒？,1,2,解：,整个过程合外力矩为,0,，角动量守恒，,由转动惯量的减小，角速度增加。,在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。,解：,两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为,0,，系统角动量守恒。,共同角速度,例,2,：,两个共轴飞轮转动惯量分别为,J,1,、,J,2,，,角速度分别为,1,、,2,，,求,两飞轮啮合后共同的角速度,。啮合过程机械能损失。,其中,啮合过程机械能损失,思考题：,均匀细棒,oA,可绕通过其一端,o,而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示,.,今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下列情况哪一种说法是正确的,?,(D),角速度从大到小,角加速度从小到大,.,(C),角速度从大到小,角加速度从大到小,.,(B),角速度从小到大,角加速度从小到大,.,(A),角速度从小到大,角加速度从大到小,.,A,例,：,长为,L,，,质量为,M,的匀质杆，悬挂在水平轴,O,，,杆由水平位置无初速度摆下，在铅垂位置与质量为,m,的物体,A,作完全非弹性碰撞后沿水平面（,）滑动,求,：,A,滑动距离。,解,：,考虑三个阶段：,1,设杆下摆至铅垂位置时的角速度为,，由转动动能定理：,A,L,O,2,杆与,A,组成系统在碰撞过程中，动量守恒吗？,外力对,O,轴的力矩为零,对,O,轴角动量守恒,设碰撞后杆的角速度为,A,L,O,3 A,为研究对象，设,A,滑过距离为,S,，,由质点动能定理：,考虑,：,1,杆与物体,A,分离后上摆的角度,2,杆与物体,A,碰撞后反弹回来,例,：,摩擦离合器由,A,、,B,两飞轮组成，,J,A,，,J,B,，,C,为摩擦片，开始,A,轮转速度为,0,，,B,轮静止。,求,：,两轮,啮合后的角速度并讨论机械能有何变化？,解：,A,、,B,为一系统，,C,接触后产生切向摩擦,摩擦内力矩，系统角动量守恒：,机械能损失为：,例,：,宇宙飞船对中心轴的,J=2,10,3,kgm3,，,它以,=0.2rad/s,的角速度绕中心轴旋转，宇航员利用两个切向控制喷管使飞船休止旋转，喷管距轴线,r=1.5m,。,两喷管的喷气流量恒定共为,q=2kg/s,，,喷气速率,u=50m/s,求,：,应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。,解,：,设喷射气体质量为,m,且远小于飞船质量，,喷射前：,dt,内喷出气体,dm,对轴角动量：,因为：,u,远大于飞船外径速率,所以：,喷气全过程总角动量：,系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即,L,0,=L,1,.,故得：,即,：重力矩作功等于刚体重力势能增量的负值。进而导出适用于刚体定轴转动的功能原理，机械能守恒定律。,例,：一质量为,m,，,长为,L,的均匀细棒,OA,，,可绕光滑轴在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆求细棒摆到竖直位置时其中心点,C,和端点,A,的速率。,解,：,方法,1,，由,.,o,c,A,.,A,可求得,方法,2,：用刚体的转动动能定理,可计算出,.,o,c,A,.,A,方法,3,：应用机械能守恒定律,选,.,o,c,A,.,A,例,：均匀圆盘（,R,、,M,）,的滑轮绕滑轮的轻绳一端系质量为,m,的物体。开始系统处于静止，求物体下降距离为,h,时，滑轮的角速度和角加速度。,解,：受力分析,分别应用动能定理,设物体下落,h,时，滑轮角速度 ，物体的速率,R,T,R,h,m,M,或把滑轮与物体作为一个整体由动能定理,可得同样结果。,解出,五、质点的角动量定理和角动量守恒定律,1,、质点的角动量,O,x,y,z,方向：右手定则确定,O,x,y,z,大小：,质点,m,相对于参考点,O,的,角动量为,:,注意：,1),B,A,2,）角动量与参考点的选取有关,o,o,m,m,o,m,说明：,均对同一参考点；,质点的角动量定理,3,、,质点的角动量守恒定律,2,、质点的角动量定理,例,3,：,彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？,近日点,远日点,解：,在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。,由质点的角动量定义：,即,即,近日点,远日点,近日点,r,小,v,大，远日点,r,大,v,小，,这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。,z,o,d,p,对轴的力矩,刚体作定轴转动时，,合外力矩,等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。,刚体定轴转动定律,