规模经济和垄断竞争下的D—S模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,规模经济和垄断竞争下的D,S模型,第三组：张晓 袁璐 余佳莹 黄蓉 田银欢 王立斌,一、模型的微观基础,1.已知效用函数 ,预算约束 ,证明：在约束效用最大点，价格比率 /一定等于边际效用比率 。,证,(1.1),(1.2),(1.1)中的 ,及（1.2）中的,由（1.1）,由（1.2），,于是，,2.给定一个柯布-道格拉斯生产函数 .预算约束,证明成本最小时的输入比率为,证：利用拉格朗日函数法,，,由(2.1)及(2.2),整理，,（2.2）,（2.1）,由于 及 ,所以，,(2.3),3.对于一个线性的柯布-道格拉斯生产函数 ,证明：,(资本产出弹性)，(劳动产出弹性),。,证 由产出弹性定义，,及,因为,求边际函数，,求平均函数,然后，用平均函数分别去除边际函数，得到弹性,，,4.,方程 2.3（及 ）给出了广义柯布-道格拉斯生产函,数最小成本输出比率。证明：任何广义柯布-道格拉斯生产函数有单一替代弹性，即,=1。,证 替代弹性被定义为：由于价格比 微小的变化率所引起的最低成本比,的变化率。,(4.1),因为（2.3）中的,和为常数，而PK和PL为自变量，K/L可以视为PK/PL的函数,注意到（4.1）的第二个比率中，,=边际函数、平均函数，首先（2.3）的边际函数为,然后，两边同时除以 ，求（2.3）的平均函数，,代入（4.1），,5.利用（2.3）给出的柯布-道格拉斯生产函数的最低成本比率（）,检验答案，其中,证 因为 ，由（2.3）,资本和劳动必须以16K：15L的比率使用。,二、,CES 生产函数,CES,生产函数,不变替代弹性生产函数(Constant Elasticity of Substitution，缩写为CES)，是指在生产要素投入之间具有不变的替代弹性这样一类生产函数。其一般形式为,式中，Q代表产出,K为资本投入,L为劳动投入。,A、,、,为参数，它们满足A0、0,1、,-1的条件。,CE,S生产函数有两个重要特性：,（1）它是一次齐次的；,（2）它有不变的替代弹性,。,1.已知CES函数,回忆问题1的结论：如果函数达到最优，则价格比等于边际产品之比。（a）证明CES生产函数的替代弹性为常数，（b）确定的取值范围。,证明：（a）根据提示，函数达到最优投入的条件是价格比等于,边际产量之比,利用广义幂函数法则求,式的一阶导数，,为了计算方便，令,则,根据式，,函数达到,最优投入的条件是,价格比等于边际产量之比,由于,和,为常数，正如问题4一样，将,K/L,视为,P,L,/P,K,的函数。我们知道函数的边际函数与平均函数之比为替代弹性，,则边际函数为,平均函数为,由式，,（b,）由（a）得 ，而,的取值范围是-1，,若-11;,若=0,，则,=1,；,若,0 ,则,1,(1),将预算约束代入（1）式,结论：产品种类越丰富，也就是说消费者偏好尽可能多的产品，效用也越大。,(2),2.消费者效用最大化,根据上式，构建拉格朗日函数：,分别对产品变量i和j求偏导：,对于产品i,对于产品j,两式相除可得：,(3),对两边分别取对数：,结论：不仅是产品之间的替代弹性也是需求的价格弹性。,(4),(5),对（3）式两边同乘P,i,为了求出j产品的需求函数，对产品i在0到n的区间上进行积分：,(6),结论：p,j,自身价格越高，这Y,j,的消费越少，P为综合价格，综合价格越高，对Y,j,的需求越大。,将（7）式代入（6）式，,定义综合价格指数：,(7),(8),对（6）式改写为：,两边同时对j产品在0到n上进行积分：,3.间接效用,(9),结论：间接效用随着综合价格的上升而下降,。,因为对称性假设p,i,=p,我们可以将（7）式改写为,：,结论：综合价格指数随着产品种类的增加而上升，进而引起间接效用的增大。,生产者市场均衡,假定有,n,个厂商生产不同的产品，每个厂商对其所生产的产品具有垄断性。,对于厂商,j,有如下成本函数,：,其中,(10),该成本函数具有以下特征：,a.劳动投入是影响产量的唯一因素，劳动报酬等于工资率,w,。,b.厂商具有不变的固定成本F和边际成本c。,c.成本函数是次加性的，即存在规模经济。,也就是说对于每一种产品只有唯一一个生产商。,1.利润最大化问题（,PMP,）,考虑到消费者的需求，每一垄断厂商将设定一个 价格。,对于垄断厂商,j,其利润函数为：,(11),因此，厂商,j,的利润最大化问题可表示为,：,Max,s.t.,对上式求 的导数（,FOC,）,：,（,12,）,结论：,a.每个垄断厂商面临着同样的均衡价格,b.当价格高于边际成本时，厂商即可获利。利润随着替代弹性的增大而减少，当替代弹性趋于无穷大时，厂商的均衡价格就,等于边际成本，也即为垄断竞争的最优均衡。,而这正与我们之前所熟知的垄断厂商的定价规则一致：,是替代弹性的绝对值。,2,.均衡产出,首先，我们用公式（,12,）来重新改写公式（,11,）的利润函数：,假设厂商自由进入（边际厂商的净收益为零），每个垄断厂商都是零利润经营，即,整理上式我们可得均衡产出式：,等式（,13,）表明对于所有的垄断厂商均衡产出是一样的。,由于效用函数和成本函数都是对称的，在市场均衡时，每个厂商具有相同的均衡产量、面对同样的均衡价格,。,（,13,）,3.均衡产品种类,为了得到均衡的产品种类，我们假设劳动力市场是确定的：,对（,14,）两边同乘,w,后作变形可得：,这个表达式可以直观的看出，因为劳动投入是影响产出的唯一因素，所以总收益等于总成本。,（,14,）,将（,13,）带入（,14,）我们可以得到,：,（,15,）,结论：当y,i,增大，需求弹性减少时，企业数目增大。,4.规模效应,这个模型所展示的规模效应，可表示为：,将（,13,）和（,15,）带入（,16,）得：,（,16,）,这里,人均产量：,结论：随着劳动力的增加，生产者福利将增大。,（,17,）,