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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第四章 若干数学观点中数学文化,第二节 “类比”观点,第1页,1,一、什么是类比,类比，是依据两个（或两类）对象之间在一些方面相同或相同，从而推出它们在其它方面也可能相同或相同一个推理方法，也是一个观点。,类比推理是一个,“合情推理”,，不是证实，它,无法确保,已知相同属性与推出属性之间有,必定联络,。不过，它是取得新思绪，新发觉一个观点、一个伎俩。,第2页,2,二、插值问题中类比,1.问题：,有函数不知其式，在,x,处取值,a,，在,y,处取,b,值，在,z,处取值，问函数（解析式）为何？,2.类比：,有物不知其数，三三数之剩,a,，五五数之剩,b,，七七数之剩,c,，问物几何？,这是我们在前面“韩信点兵与中国 剩下定理”一节中已经处理问题。当初我们有一个成功方法,叫,“,单因子构件凑成法,”,。这种方法是：对每个要素分别做出一个构件，叫单因子构件，再把它们凑在一起，从而处理问题。,第3页,3,详细说是：先找到用3除余1、用5和7除均能除尽数70；再找到用5除余1、用3和7除均能除尽数21；找到用7除余1、用3和5除均能除尽数15；然后算出3，5，7=105。最终令,即为所求。,第4页,4,3插值问题解法,经过类比，发觉插值问题（有函数不知其式问题）与“有物不知其数问题”结构相同，所以能够考虑用“单因子构件凑成法”：,先作函数,p,(,x,),在 处值为1，在 处值均为0；,再作函数,q,(,x,),在 处值为1，在 处值均为0；,再作函数,r,(,x,)在 处值为1，在 处值均为0。,;,;,，；,那么，就是所求函数。,即,第5页,5,现问题：,有函数不知其式，在 处取值,a,，,在 处取,b,值,，,在 处取值,c,，,问函数（解析式）为何？,原问题解,现问题解,原问题：,有物不知其数，三三数之剩,a,，五五数之剩,b,，七七数之剩,c,，问物几何？,第6页,6,下面求,最简单是用多项式方法。比如设,p,(,x,)是一个多项式，则据条件 知，它有两个一次因式，可令，,再用条件 去求 。,同理，可求出,第7页,7,于是得:,经验证，它符合要求，称为,插值公式,。,即该函数在,a,b,c,三点，插进去都是预先指定值 。,它简单，明快，可顺利地推广到任意有限多个点插值情况。这么，就能够,用,一个,连续函数,去,拟合离散测量结果。,第8页,8,华罗庚由此联想到怎样处理含有类似结构各种问题。正是他把上述处理问题基本思想称为,“单因子构件凑成法”,，并概括成以下“合成标准”：,要做出含有平行、类似几个性质A，B，C一个数学结构，而A，B，C分别以某种 量刻划,，这时，可用“单因子构件凑成法”：先作B，C不发生作用，而A取单位量构件，再作C，A不发生作用，B取单位量构件；再作A、B不发生作用，C取单位量构件。然后用这些构件凑出所求结构。这个标准在有书里称为,“,孙子华标准,”,。表达了“,化繁为简,”思想。,第9页,9,现问题：,有函数不知其式，在 处取值,a,，,在 处取,b,值,，,在 处取值,c,，,问函数（解析式）为何？,原问题解,现问题解,原问题：,有物不知其数，三三数之剩,a,，五五数之剩,b,，七七数之剩,c,，问物几何？,思索题：,怎样用“类比”观点，推广“现问题”上述解答：,第10页,10,三、分割问题中类比,1问题,：,5个平面最多把空间分为几个部分？,平面相互尽可能,多,地相交，才能分割最多。假如5个平面全都平行，那末空间分成是6部分，就较少。但5个平面怎样相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从“抓三堆”趣味问题中学到数学思想，先把问题普通化，再把问题特殊化，逐步找规律。,2问题普通化：n个平面最多把空间分为几个部分？,记分为F(n)个部分;再令n=1,2,3,把问题特殊化。,第11页,11,3问题特殊化：,从简单情况做起，方便“类比”,4个平面情况不易想清楚了。但想到要使平面,相交最多,，才能把空间,分割最多,。平面相交最多，有,两个含义,，一是每个平面都与其它全部平面相交，且任意三个平面都只交于一点；二是每个平面都不过它以外任意三个平面交点。,第12页,12,由此我们想到了空间四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）情况，把四面体四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多部分呢？,到底现在把空间分成了几个部分呢？,暂难想象。由此我们想到去类比,“直线分割平面”情形。,第13页,13,4 类比3条直线分割平面情形,这也能够看成是把三角形三条边均延长为直线，看这3条直线把平面分为几部分。数一数，是7部分。这对我们有什么启示？,第14页,14,我们分析一下这7个部分特点：,一个是有限部分，在三角形内部，即；其余六个是无限部分，其中，与三角形有公共顶点，与三角形有公共边。,把它们加起来，于是1+3+3=7。,所以3条直线分割平面，最多分为7个部分。,第15页,15,5,类比考虑四面体四个面延展成4个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为1；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱（有6个部分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分空间总部分数为 1+4+6+4=15。,以下仍要考虑,这就是一开始提出问题：5个平面最多把空间分为几个部分？,第16页,16,这一问题在平面上类似问题是什么？是5条还是4条直线分割平面？又怎样类比？想不清楚了。对我们来说，,不如在“普通情形”下考虑问题,：n个平面分割空间和n条直线分割平面。,n条直线“处于普通位置”要求也能够说是：任何两条直线都相交；任何三条直线都不共点。,n个平面“处于普通位置”要求是：任两平面都相交，且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以外任意三个平面交点。,第17页,17,进而，我们再类比直线上问题:n 个普通位置点分割直线问题。这一问题结论比较清楚：,n个点最多把直线分为n+1个部分。,这对我们会有启发。,假如我们把极端情况有零个分割元素情况也考虑在内，那么被“分割”成部分数是1。,下列图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间已取得结果。,第18页,18,6.类比普通化,（解释记号 ，然后看图）,分割元素,个 数,被分成部分数,点分直线,直线分平面,平面分空间,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4,4,3,4,7,8,4,5,15,5,6,第19页,19,于是，我们得到了一系列待处理问题。弧立问题有时难于了解，而,处理系列问题有时比处理弧立问题好入手,。,现在，原问题“F(5)=?”已处于系列问题之中，比之原来情形，求解已经有进展。,第20页,20,7（用类比观点）猜测,观察上表中已得到结果，看看表中数字间有什么联络？其中有什么规律性？,从最右一列，先认为有“2方幂”规律，但8后边,表明这个猜测不对。重复求索结果，我们可能突然看到表中有,3 4；7 8,7 15,，,以及联想到,3+4=7，7+8=15,。,这是一个独特联络：表中已出现每个数都可由它“头上”数与“左肩”上数相加而得到。,第21页,21,表中已出现每个数都可由它“头上”数与“左肩”上数相加而得到。,分割元素,个 数,被分成部分数,点分直线,直线分平面,平面分空间,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4,4,3,4,7,8,4,5,15,5,6,第22页,22,这是我们处理原问题钥匙吗？我们猜测它确是规律。那我们把表按此规律，顺沿到N=5，原问题解就是F(5)=26,？,第23页,23,分割元素,个 数,被分成部分数,点分直线,直线分平面,平面分空间,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4,4,3,4,7,8,4,5,（,11,）,15,5,6,（,16,）,（,26,）,第24页,24,类比不是证实,但这种类比不是证实，只是合理猜测，是合情推理；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比、归纳方法去研究问题决定性步骤。,第25页,25,8分析、推理,我们分析从,“N=4 时直线分平面”,入手，我们已经经过“顺沿上表”猜测：4条直线最多把平面划分为11个部分。它是正确吗？我们在3条直线分平面 为7个部分基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来每条直线都相交，但又不过任意两条直线交点。如右图。我们数一下，现在确实把平面分成了11个部分。所以这猜测是正确，但它为何是正确呢？我们再作分析，增加一些理性认识，可能还能从中找到了解普通情形线索。,第26页,26,第27页,27,3条直线分平面为7个部分；4条直线就分平面为11个部分了，即增加了4部分；从3条直线添一条直线，为何分割平面恰好多出4部分？分析一下：新添直线与原来3条直线每条都相交，而且交在与原交点不一样点，这就交出了3个新交点，这3点把新添直线分为4段，每一段把它穿过（由前3条直线分成）那个区域一分为二，所以“平面分割”增加了4个部分，这就是“4”来历，而且这个分析表明，这个“4”也正是3点把直线分为4部分“4”，也就是“11”左肩上“4”。11=4+7原来是这么产生。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发觉规律信心。,第28页,28,分割元素,个 数,被分成部分数,点分直线,直线分平面,平面分空间,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4,4,3,4,7,8,4,5,（,11,）,15,5,6,（,16,）,（,26,）,第29页,29,9再类比得普通情形公式及,我们再类比分析n=4时平面分空间情况。这时我们不轻易在平面黑板上作立体图了，只能借助于刚才四面体延展那个图来想像。不过我们能够,从思维上、语言上类比,刚才情形。,第30页,30,我们在3个平面分空间为8个部分基础上，再添加一个平面，这个平面与原来3个平面都相交，而且又不过原来3平面交点，从而不过原来任两平面交线，这就交出了3条新直线，这3条直线把新添加平面分为7个部分（就是上面“类比普通化”大表格中“7”），每一部分把它穿过（由前3个平面分成）区域一分为二，所以“空间分割”增加了7个部分，而原有8个部分，这就是15=7+8来历。,第31页,31,分割元素,个 数,被分成部分数,点分直线,直线分平面,平面分空间,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4,4,3,4,7,8,4,5,（,11,）,15,5,6,（,16,）,（,26,）,第32页,32,这里n=3到n=4过渡，并没有任何特殊地方，我们能够完全类似地分析由 n-1向 n过渡时发生情况，得到普通表示式。,与段落“,8,”类似地能够得到公式：,与段落“,9,”类似地能够得到公式：,这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波那契数列递推公式有区分，但思想精神是相通。,第33页,33,我们只再叙述一遍较为复杂,公式,得到过程,。它实际上只要在上面叙述中，,把“3个平面”换为“n-1个平面”，把“8个部分”换为“F(n-1)个部分”，把“3条新直线”换为“n-1条新直线”，把“7个部分”换为“f(n-1)个 部分”，把“15”换为“F(n)”就完成了。,简单说，是在“往前数三屏”叙述中，做下边f(n-1)代换：,第34页,34,n个平面把空间最多分为F(n)个部分，求F(n)，不厌其繁地详细说一遍，就是：,我们在n-1个平面分空间为 F(n-1)个部分基础上，再添加一个平面，这个平面与原来 个平面都相交，而且又不过原来任3个平面交点，从而不过原来任两平面交线，这就交出了 n-1条新直线，这 n-1条直线把新添平面分为 f(n-1)个部分，每一部分把它穿过（由前 n-1个平面分成）区域一分为二，所以，“空间分割”增加了 f(n-1)个部分，而原有 F(n-1)个部分，,所以现在，空间共被分割成“部分数”是,第35页,35,这就是推出这一公式逻辑推理过程。,另一公式,逻辑推理过程，请同学自己完成。,第36页,36,分割元素,个 数,被分成部分数,点分直线,直线分平面,平面分空间,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4,4,3,4,7,8,4,5,（,11,）,15,5,6,（,16,）,（,26,）,第37页,37,10.推出显公式 及,上边得到还只是递推公式、关系公式，我们希望深入得到像,L,(,n,)=,n,+1,那样、关于,f,(,n,),及,F,(,n,)显公式，即直接用,n,解析式来表示,f,(,n,),及,F,(,n,)。,下边技巧是惯用。,利用f(0)=1 及递推公式,得到下面一系列等式，然后等号两边分别相加,第38页,38,1）直线分平面情形 2）平面分空间情形,第39页,39,第40页,40,11另法：用数学归纳法证实显公式,另一个方法是：用不完全归纳法总结出（或者说 “猜出”）显公式，再用数学归纳法去证实该显公式。,1）直线分平面情形 （略）,2）平面分空间情形 （略）,第41页,41,趣题,填骨牌：,用个 矩形骨牌挤满 矩形盒，有多少种方法？以下列图。,（,矩形骨牌,）,（,矩形盒,）,第42页,42,用个 矩形骨牌挤满 矩形盒，有多少种方法？以下列图。,第43页,43,提醒,问题普通化,问题特殊化,猜测规律,证实规律,第44页,44,问题普通化,n,2,第45页,45,问题特殊化,分别考虑,n=1、n=2、n=3,情况,第46页,46,答,:(1),；,(2)，；,(3)，；,第47页,47,猜测规律,证实规律,第48页,48,答 案,其规律是：所求方法种数，逐次为缺了第一项斐波那契数列，即,1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144,本题 n=10,所以答案是：,用个 矩形骨牌，挤满 矩形盒，共有89种方法。,第49页,49,本节结束,谢谢！,第50页,50,
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