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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,15.2.1 平方差公式,南门学校八年（1）（2）班,1/37,探究,2,:,计算以下多项式积,你能发觉什么规律?,(x+1)(x-1)=,;,(m+2)(m-2)=,;,(2x+1)(2x-1)=,;,想一想:这几道题目有什么共同特点?,从计算结果你能发觉什么规律?,猜测,:(a+b)(a-b),=,?,=,x,2,-1,2,x,2,-9,m,2,-4,=,m,2,-2,2,4,x,2,-1,=,(,2x,),2,-1,2,a,2,-b,2,a,2,-ab+ab-b,2,(a+b)(a-b),=,=a,2,-b,2,2/37,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,特征:,两个数和,这两个数差,这两数平方差,3/37,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,特征:,两个二项式相乘,4/37,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,特征:,相同,5/37,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,特征:,相反数,6/37,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,特征:,平方差,7/37,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,特征:,(相同项),2,-(相反项),2,8/37,平方差公式,(a,+,b)(a,-,b)=a,2,-b,2,两个数,和,与这两个数,差,积,等于这两个数,平方差,.,公式结构特征:,(1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一,项完全相同，另一项互为相反数.,(2)右边是乘式中两项平方差(相同项,平方减去相反项平方).,(3)公式中a,b能够代表数,字母,单项式或者多项式.,9/37,2、,判断以下式子是否可用平方差公式。,考考你,(1)(-a+b)(a+b)(2)(-a+b)(a-b),(3)(a+b)(a-c),(4)(2+a)(a-2),（5）,（6）(1-x)(-x-1),（7）(-4k,3,+3y,2,)(-4k,3,-3y,2,),是,否,是,是,是,是,否,10/37,【例1】利用平方差公式计算：,(1)(3x+2)(3x-2),(2)(b+2a)(2a-b),(3)(-x+2y)(-x-2y),(4)(a-b+c)(a-b-c),例题解析,11/37,分析,:,(3x+2)(3x-2),3x,3x,a,a,2,2,b,b,(,+,),(,-,),=,a,2,-,b,2,=,(3x),2,-,2,2,你知道吗？,用公式关键是识别两数,完全相同项 a,互为相反数项 b,12/37,解:,(3x+2)(3x-2),=,(3x),2,3x,3x,-,2,2,2,2,=9x,2,-4,(b+2a)(2a-b);,b,-b,+2a,2a,=(,2a,+,b,)(,2a,-,b,),2a,2a,=,(2a),2,=4a,2,b,2,b,b,-,b,2,要认真呀！,位置改变！,(3)(-x+2y)(-x-2y),=(-x),2,-(2y),2,=x,2,-4y,2,13/37,例题解析,例题,学一学,例1,利用平方差公式计算：,(1),(5,+,6,x,)(5,6,x,)；,(2),(,x,+,2,y,)(,x,2,y,);,(3),(,m,+,n,)(,m,n,).,解:,(1),(5,+,6,x,)(5,6,x,),=,5,5,第一数,a,5,2,平方,6,x,6,x,第二数,b,平方,要用括号把这个数整个括起来，,注意,当“第一(二)数”是一分数或是数与字母乘积时,再平方;,(),2,6,x,=,25,最终结果又要去掉括号。,36,x,2,;,(2),(,x,+,2,y,)(,x,2,y,),=,x,x,x,2,(),2,2,y,2,y,2,y,=,x,2,4,y,2,;,(3),(,m,+,n,)(,m,n,),=,m,m,m,(),2,n,n,n,2,=,m,2,n,2,.,14/37,拓 展 练 习,本题是公式变式训练，以加深对公式本质特征了解,利用平方差公式计算：,(,4,a,1)(4,a,1),(,用两种方法,),利用平方差公式时，,要紧紧围绕公式特征，,找出相等“项”和符号相反“项”，然后应用公式,法一,利用加法交换律，,变成公式标准形式。,(,4,a,1)(4,a,1),=,=,(,1),2,(4,a,),2,=,1,16,a,2,。,法二,提取两“,”号中“,”号，,变成公式标准形式。,(,4,a,1),(4,a,1),=,(4,a,+,1),(,4,a,1),(4,a,1),=,(4,a,),2,1,计算时千万别忘了你提出“,”号、添括号；,注意,=,1,16,a,2,。,(,4,a,1)(4,a,1 ),1,4,a,1,+,4,a,(4,a,+,1)(4,a,1),15/37,纠 错 练 习,(1),(1+2x)(1,2x)=1,2x,2,(2),(2a,2,+b,2,)(2a,2,b,2,)=2a,4,b,4,(3),(3m+2n)(3m,2n)=3m,2,2n,2,本题对公式直接利用，以加深对公式本质特征了解,指出以下计算中错误：,2x,2x,2x,第二数被平方时，未添括号。,2,a,2,2,a,2,2,a,第一 数被平方时，未添括号。,3m,3m,3m,2n,2n,2n,第一数与第二数被平方时，,都未添括号。,16/37,3.请你判断以下计算对不对？为何？,(x,2,+2)(x,2,-2)=x,4,-2 (),(4x-6)(4x+6)=4x,2,-36 (,),(2x+3)(x-3)=2x,2,-9 (),(4)(5ab+1)(5ab-1)=25a,2,b,2,-1 (,),(5)(mn-1)(mn+1)=mn,2,-1 (),17/37,小试牛刀,例2 计算：,102 98;,(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);,18/37,102 98,动 脑筋！,谁是a?,谁是b?,102,=(,100+2,),98,(,100-2,),=,100,2,-,2,2,=10000-4,=9996,19/37,(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5),动 脑筋！,y,y,y,y,2,2,=,y,2,-,2,2,1,5,-(y,2,+4y-5),=y,2,-4-y,2,-4y+5,=-4y+1,20/37,随堂练习,(1),(,a,+,3,)(,a,3,)；,(2),(2,a,+,3,b,)(2,a,3,b,);,1,、,口答：,(3),(,1+,2c,)(,1,2c,);,(4),(,1,+,5m)(,1,5,m,),接纠错练习,(5),(,2,x,+3,y,)(,2,x,+3y,);,(6),(,a,2b)(a,2b,).,(7),(,200+2,)(,200 2,);,(8),(,0.1a+,2b)(,0.1,a,2b,),(9),(,20+2,)(,20 2,);,(10),(,0.1a+,2b)(,0.1,a,2b,),21/37,思维快车,1、,(,x+2,)(,x-2,)=,2、(,1+3a,)(,1-3a,)=,3、(,x+3y,)(,x-3y,)=,4、(,-2+x,)(,x+2,)=,5、(,x-1,)(,-x-1,)=,6、(,2y+3z,)(,2y-3z,)=,7、(7,n,+,1)(7,n,-,1,)=,8、(,5+3,)(,5-3）=,x,2,-,4,1,9a,2,x,2,9y,2,x,2,-,4,4y,2,9z,2,7,2n,-,1,2,(-1+x)(,-1-x,),=,1-x,2,计算:,22/37,我能行!,利用平方差公式计算：,1、(m+n)(-n+m)=,2、(-x-y)(x-y)=,3、(2a+b)(2a-b)=,4、(x,2,+y,2,)(x,2,-y,2,)=,5、51 49 =,m,2,-n,2,位置改变,y,2,-x,2,符号改变,4a,2,-b,2,系数改变,x,4,-y,4,指数改变,2499,无中生有,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,23/37,变式一,(,3X2)(,3X2),变式二,(,3X,2)(3X2),变式三,(,3X2)(3X,2),=(-3x),2,-2,2,变一变，你还能做吗？,=(-2),2,-(3x),2,=2,2,-(3x),2,24/37,随堂练习,1.利用平方差计算:,(1)(3a+2b)(3a-2b),(2)(a,5,-b,2,)(a,5,+b,2,),(3)(a+2b+2c)(a+2b-2c),(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2),25/37,【例2】计算：,(1)10298,(2)(a+3)(a-3)(a,2,+9),(3)(x-1)(x+1)(x,2,+1)(x,4,+1)(x,8,+1),(4)(2+1)(2,2,+1)(2,4,+1)(2,8,+1)(2,16,+1),例题解析,26/37,补充练习,1.以下多项式相乘，正确有(),(1)(a+b-c)(a-b+c)=a,2,-(b-c),2,(2)(a-b+c)(-a+b-c)=b,2,-(a+c),2,(3)(a-b+c)(a-b-c)=a,2,-(b-c),2,(4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c),2,-a,2,A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个,A,27/37,2、巧算：99101 10001,3、计算：,100,2,-99,2,+98,2,-97,2,+.+2,2,-1,2,4、已知：(m+35),2,=13302921,求(m+45)(m+25)值。,28/37,5.将以下各式变形为可利用平方差公式,计算形式：,1)(a+2b+3)(a+2b-3),2)(a+2b-3)(a-2b+3),3)(a-2b+3)(a-2b-3),4)(a-2b-3)(a+2b-3),5)(3a-5b-2c)(-3a-5b+2c),6)(x+y+m+n)(x+y-m-n),(a+2b)+3(a+2b)-3,a+(2b-3)a-(2b-3),(a-2b)+3(a-2b)-3,(a-3)-2b(a-3)+2b,(-5b)+(3a-2c)(-5b)-(3a-2c),(x+y)+(m+n)(x+y)-(m+n),29/37,5.计算：,1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y),2)3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x),3)4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1),4)(x+)(x,2,+)(x-),解：,1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y),=(y,2,-4)(9-y,2,),=y,2,-4 9+y,2,=2y,2,-13,30/37,5.计算：,1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y),2)3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x),3)4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1),4)(x+)(x,2,+)(x-),解：,2)3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x),=3x(x,2,-1)-x(4-9x,2,),=3x,3,+3x 4x+9x,3,=6x,3,-x,31/37,5.计算：,1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y),2)3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x),3)4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1),4)(x+)(x,2,+)(x-),=-16y,2,+1+12y,2,-12y-9,=-4y,2,-12y-8,解:,3)4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1),=-4(4y,2,-)+3(4y,2,+2y-6y-3),32/37,5.计算：,1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y),2)3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x),3)4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1),4)(x+)(x,2,+)(x-),解：,4)(x+)(x,2,+)(x-),=(x+)(x-)(x,2,+),=(x,2,-)(x,2,+),=x,4,-,33/37,例题解析,说明,:平方差公式也能够逆用,即:a,2,-b,2,=(a+b)(a-b),34/37,(1)图中阴影部分面积为_.,(2)将阴影部分拼成右图一个长方形,这个长,方形长是_,宽是_,面积是_.,(3)比较(1)(2)结果即可得到:,(a+b)(a-b)=a,2,-b,2,如图15.3 1,在边长为,a,正方形中挖掉一个边长为,b,小正方形(ab).则,a,2,-b,2,(a+b)(a-b),(a+b),(a-b),探究,1,:,35/37,1.试用语言表述平方差公式,(,a,+,b,)(,a,b,),=,x,2,b,2,。,两数和与这两数差积，等于它们平方差。,2.应用平方差公式 时要注意一些什么？,利用平方差公式时，要紧紧围绕公式特征，找出相同,“项”和符号相反“项”，然后应用公式；,变成公式标准形式后，再用公式。,或提取两,”号中“,”号，,要利用加法交换律，,3.对于不符合平方差公式标准形式者，,小结,36/37,再见,37/37,