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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,数学实验第四讲,微分方程,1/62,1),掌握微分方程求解三种解法：解析,法、数值解法以及图形表示解方法,;,2),学会使用,MATLAB,软件求解析解、数值解,和图形解；,3,）经过范例学习怎样建立微分方程模型和,分析问题思想；,实验目,2/62,一，建立微分方程,数学中有一大类问题，我们称之为微分方程，它是含有导数方程，比如,f,(,x,V(,x,),V,(,x,)=0,是一阶微分方程，而,F,(,x,y,y,y,(,n,),),=,0,是,n,阶微分方程，等等。,3/62,一，建立微分方程,微分方程在当代科学每一个领域都有广泛应用，比如力学，运动学，电学，经济学，生物学，自动控制，化学等等，都能够看到大量利用微分方程表示事物改变规律，这也表达了微分方程主要性。,在高等数学中我们对微分方程有一定认识，比如怎样求解一些简单微分方程，对于一些细心同学，可能想到对于复杂微分方程求解是一个主要问题，但,4/62,一，建立微分方程,是，可能忽略一个一样主要问题，那就是怎样建立微分方程。一样是方程，其建立过程一定程度上和前一部分方程建立有相同之处，但不一样之处是微分方程建立过程中普通会包括到改变率概念（往往和时间相关）。比如运动学中速度是位移对时间改变率，加速度是速度改变率，电学中电流是电量改变率，人口学中人口增加率是人口数对时间改变率等等。,5/62,一，建立微分方程,下面用一些常见问题说明微分方程建模基本方法。,例子,1,：放射性物质衰变。,物理学家发觉，放射性物质衰变速度和物质量成正比。,例子,2,：人口（生物数量）增加问题。,经过观察发觉，人口增加和现有些人口数量成正比。,6/62,一，建立微分方程,例子,3,：热传导问题。,牛顿定理表述热传导为：高温物体热量散失速度和温度差成百分比。,例子,4,：物体运动问题。,物体运动能够用牛顿三大定律描述。,例子,5,：万有引力定理。,开普勒发觉地球沿着以太阳为焦点椭圆 轨道运动，运动速度满足单位时间所扫过面积相等。,7/62,一，建立微分方程,例子,6,：传染病问题。,医学经验表明，传染病有几个关键要素，易感人群，带病人群，而传染往往经过两种人群接触造成，不禁和易感人群和带病人群相关，还有他们接触相关。,例子,7,：战争问题。,交战双方伤亡即使比较复杂，不过大致遵照这么一些规律，比如武器杀伤力，防御力，还有双方人数对比等原因。,8/62,二，微分方程解法,解析方法,对于一些比较简单微分方程，能够经过一些数学技巧解出，比如高等数学上接触一些方程：可分离变量方程，齐次方程，一阶线性微分方程，一些特殊二阶常系数微分方程等等。,数值方法,能得到解析解微分方程毕竟只是少数，对于从实际问题中提取大量微分方程，无法得到方程解析解，数值方法能够说是实际问题中必不可少伎俩。,9/62,二，微分方程解法,在介绍详细方法之前，有必要了解普通方程形式和对解要求。,常微分方程分成微分方程和微分方程组。比如：,F,(,x,y,y,y,(,n,),),=,0,是一个隐式高阶方程，而,是一阶微分方程组。,10/62,二，微分方程解法,关于微分方程解，就是满足方程一个函数族（或者一条曲线族）。我们又称其为微分方程通解。用得愈加广泛是满足特定条件解，我们称其为特解。比如,11/62,二，微分方程解法之解析方法,解析解,dsolve,(eqn1,eqn2,c1,var1,),微分方程组,初值条件,变量组,注意：,y,Dy,，,y D2y,自变量名能够省略，默认变量名,t,。,12/62,dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)symbolically solves the ordinary differential equation(s)specified by eq1,eq2,.using v as the independent variable and the boundary and/or initial condition(s)specified by cond1,cond2,.,The default independent variable is t.,The letter D denotes differentiation with respect to the independent variable;with the primary default,this is d/dx.A D followed by a digit denotes repeated differentiation.For example,D2 is d2/dx2.Any character immediately following a differentiation operator is a dependent variable.For example,D3y denotes the third derivative of y(x)or y(t).,Initial/boundary conditions are specified with equations like y(a)=b or Dy(a)=b,where y is a dependent variable and a and b are constants.If the number of initial conditions specified is less than the number of dependent variables,the resulting solutions will contain the arbitrary constants C1,C2,.,13/62,例,输入,：,y=,dsolve(Dy=1+y2),y1=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x),输出,：,y=,tan(,t,-C1),（,通解,，一簇曲线,）,y1=tan(x+1/4*pi),（,特解,，一条曲线）,二，微分方程解法之解析方法,14/62,例,常系数,二阶微分方程,y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x),y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x),输入：,x=dsolve(D2x-(1-x2)*Dx+x=0,x(0)=3,Dx(0)=0),上述两例计算结果怎样？由此得出什么结论？,例,非常系数,二阶微分方程,例,无解析表示式！,15/62,x=dsolve(Dx)2+x2=1,x(0)=0),例,非线性,微分方程,x=sin(t),-sin(t),若欲求解某个数值解，怎样求解？,t=pi/2;eval(x),二，微分方程解法之解析方法,16/62,输入：,x,y=dsolve(,Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y,),x,y=dsolve(,Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y,x(0)=0,y(0)=1,),例,MATLAB,软件实现,返 回,二，微分方程解法之解析方法,17/62,对于大量微分方程，只能得到其数值解，普通而言，得到解是方程一个特解近似。求微分方程数值解方法很多，比如：,欧拉法，龙格,库塔法等。,其基本思想就是经过已知点得到函数值，并用该函数值代替一个小区间上函数导数，得到在该区间上一条直线，并用该直线作为方程特解近似。有兴趣同学能够参考微分方程数值解方面著作。,二，微分方程解法,之数值方法,18/62,ode23,ode45,ode113ode15sode23s,由待解方程写成,m-,函数文件,ts=t,0,，,t,f,，,t,0,、,t,f,为自变量初值和终值,函数初值,ode23,：组合,2/3,阶龙格,-,库塔算法,ode45,：利用组合,4/5,阶龙格,-,库塔算法,自变量值,函数值,用于设定误差限,(,缺省时设定相对误差,10,-3,绝对误差,10,-6,),命令为：,options=odeset,（,reltol,rt,abstol,at,）,rt,，,at,：分别为设定相对误差和绝对误差,.,Matlab,软件计算数值解,t,，,x=solver,（,f,ts,x,0,options,）,19/62,1,）首先建立,M-,文件 （,weif.m,）,function,f=weif(x,y),f=-y+x+1;,2,）求解：,x,，,y=ode23(weif,0,1,1),3),作图形,:plot(x,y,r);,4),与准确解进行比较,hold on,ezplot(x+exp(-x),0,1),例,1,y,=-,y,+,x,+1,，,y,(0)=1,标准形式：,y,=,f,(,x,y,),范例,20/62,1,、在解,n,个未知函数方程组时，,x,0,和,x,均为,n,维向量，,m-,函数文件中待解方程组应以,x,分量,形式写成,.,2,、使用,Matlab,软件求数值解时，,高阶,微分方程必须等价地,变换成一阶,微分方程组,.,注意,:,21/62,注意,1,1,、建立,M,文件函数,function xdot=,fun,(t,x,),xdot=,f,1,(t,x,(1),x,(2),；,f,2,(t,x,(1),x,(2),；,2,、数值计算,（执行以下命令）,t,x=ode23(,fun,t,0,t,f,x,0,y,0,),注意：执行命令不能写在,M,函数文件中。,xd,(1)=,f,1,(t,x,(1),x,(2);,xd,(2)=,f,2,(t,x,(1),x,(2);,xdot=,xd,;%,列向量,22/62,比如：,令,注意,2,：,function xdot=,fun1,(t,x,),（,fun1.m),xdot=,f,(t,x,(1),x,(2),；,x,(1),；,t,x=ode23(,fun1,t,0,t,f,x,0,y,0,),M-,文件函数怎样写呢？,注意：,y(t),是原方程解。,x(t),只是中间变量。,假如方程形式是：,z=,f,(t,z,z)?,返 回,23/62,例,2 Van der pol,方程,：,令,y,1,=,x,(,t,),y,2,=,x,(,t,);,该方程是否有解析解？,范例,24/62,（,1,）编写,M,文件,(,文件名为,vdpol.m):,function yp=vdpol(t,y,);,global a;,yp=,y(2),;a*(1-,y(1),2)*,y(2),-,y(1),;,（,2,）编写程序以下,:,（,vdj.m,）,global a;,a=1;,t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0);,y1=y(:,1);%,原方程解,y2=y(:,2);,plot(t,y1,t,y2,-)%y1(t),y2(t),曲线图,pause,plot(y1,y2),grid,%,相轨迹图，即,y2(y1),曲线,这里使用了全局变量进行参数传递，对于改变参数,a,，能够在主程序中加以修改。另外，当,a,取值比较大时，曲线非常陡峭，不能使用,ode45,求解，这是使用,ode15s,。,25/62,蓝色曲线,y,（,1,）；,（原方程解）,红色曲线,y,（,2,）；,计算结果,范例,26/62,范例,27/62,例,3,考虑,Lorenz,模型：,其中参数,=8/3,，,=10,，,=28,解：,1,）编写,M,函数文件,(lorenz.m);,2),数值求解并画三维空间相平面轨线；,(ltest.m),范例,28/62,1,、,lorenz,.m,function,xdot=,lorenz,(t,x),xdot=8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*(x(2)-x(3);-x(2)*x(3)+28*x(2)-x(3);,2,、,ltest.m,x0=0 0 0.1;,t,x=,ode45,(,lorenz,0,10,x0);,plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+,),pause,plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on,计算结果以下列图,范例,29/62,图中，,x,1,图形为实线,(,蓝），,x,2,图形为,“,*,”,线（绿），,x,3,图形为,“,+,”,线（红）,.,取,t,0,，,t,f,=0,，,10,若自变量区间取,0,，,20,、,0,，,40,，计算结果以下,范例,30/62,曲线呈震荡发散状,三维图形混沌状,ltest.m,31/62,观察结果,1,、该曲线包含两个,“,圆盘,”,，每一个都是由螺线形轨道组成。一些轨道几乎是,垂直,地离开圆盘中一个而进入另一个。,2,、伴随,t,增加，,x(t),先绕一个圆盘几圈，然后,“,跳,”,到另一个圆盘中。绕第二个圆盘几圈，又跳回原来圆盘。并以这么方式继续下去，在每个圆盘上绕,圈数是随机。,思索：该空间曲线与初始点,x,0,选择相关吗？,32/62,1,）,x0=0 0.1 0.1,;t0,tf=0,30;,解向量,y,2,）,x00=0.01 0.11 0.11,;t0,tf=0,30;,解向量,x,y x=(y1-x1,y2-x2,y3-x3).,注：这是这两个向量必须是同维数，而且所取时间节点应该相同。处理方法是将,t0,tf,直接定义为以下形式，比如,0,：,0.1,：,30,。,33/62,三，微分方程建模实例,1,追击路线问题：,一艘缉私舰雷达发觉距,c,km,处有一艘走私船正以匀速,a,沿直线行驶。缉私舰马上以最大速度,b,追赶，若用雷达进行跟踪，保持船瞬时速度方向一直指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上时间。,34/62,0,(c,0),x,y,D,R,假设,1,、建立坐标系；,2,、缉私船在,(c,0),处发觉走私船在,(0,0),处；,3,、走私船逃跑方向为,y,轴方向；,4,、,t,时刻，走私船抵达,R(0,at),缉私舰抵达,D(x,y),；,1,追击路线问题,35/62,0,(c,0),x,y,D,R,y,x,(0,at),化简：,对,t,求导,化简：,（,1,）,1,追击路线问题,36/62,(2),结合,(1),、,(2),得到以下微分方程：,是否存在解析解？,1,追击路线问题,37/62,1,）当,a b,时，,k=a/b b,时，显然缉私船不可能追上走私船。,讨论,当,a=b,时呢？,思索,考虑数值求解法,1,追击路线问题,38/62,敌艇逃跑速度：,a=60,公里,/,小时；,缉私舰追击速度：,b=80,公里,/,小时,缉私舰发觉敌艇时相距：,c=500,公里；,计算得：,k=(a/b)=0.75;,编程计算，并画出追击路线和追击所花费时间。,假设,1,追击路线问题,39/62,转化成一阶微分方程组,40/62,2.Zhui.m,x,y=ode23(,zhuiji,500,1,0,0);,y1=y(:,1);,plot(x,y1),1.Zhuiji.m,function,f=zhuiji(x,y),f=y(2);0.75*sqrt(1-y(2)2)/x;,MATLAB,程序,1,追击路线问题,41/62,262.7,时间：,其中,a=60(,公里,/,小时,),(,小时,),1,追击路线问题,缉私舰追击路线,敌艇逃跑路线,42/62,思索,1,、在本问题求解过程中，假定了走私艇逃跑方向是正北方向，而初始缉私艇位置在,x,轴正向。假如放宽这个假定，也就是当这个夹角是任意角度时，怎样建立方程进行求解。,2,，假如有多个走私艇在一个位置上进行交易，而缉私艇向该方向追赶。这些走私艇向不一样方向四散逃走，问怎样安排追赶路线？,1,追击路线问题,返 回,43/62,范例：,2,地中海鲨鱼问题,意大利生物学家,Ancona,曾致力于鱼类种群相互制约关系研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕捉几个鱼类捕捉量百分比资料中，发觉鲨鱼百分比有显著增加（见下表）。,44/62,但为何鲨鱼百分比大幅增加呢？生物学家,Ancona,无法解释这个现象，于是求援于著名意大利数学家,V.Volterra,，希望建立一个,食饵,捕食系统,数学模型，定量地回答这个问题,.,因为战争使打鱼量下降，食用鱼增加，显然鲨鱼也随之增加。,战争为何使鲨鱼数量增加？是什么原因？,想,2,地中海鲨鱼问题,45/62,x,1,(,t,),x,2,(,t,),分别是,食饵、捕食者,在,t,时刻数量；,r,1,r,2,是,食饵、捕食者,固有增加率；,1,是捕食者掠取,食饵,能力，,2,是,食饵对,捕食者供养能力；,1,、符号说明：,食饵,捕食系统数学模型,捕食者存在使食饵增加率降低，假设降低程度与捕食者数量成正比，即,2,、基本假设：,46/62,食饵对捕食者数量,x,2,起到增加作用，其程度与食饵数量,x,1,成正比，即：,综合以上和，得到以下模型：,模型,(,一,),：不考虑人工捕捉情况,食饵,捕食系统数学模型,47/62,该 模型反应了在没有些人工捕捉自然环境中食饵与捕食者之间制约关系，没有考虑食饵和捕食者本身阻滞作用，是,Volterra,提出最简单模型,.,给定一组详细数据，用,matlab,软件求解。,食饵：,r,1,=1,1,=0.1,x,10,=25;,捕食,(,鲨鱼,),：,r,2,=0.5,2,=0.02,x,20,=2;,食饵,捕食系统数学模型,48/62,1,、建立,m-,文件,shier.m,以下：,function dx=shier(t,x),dx=zeros(2,1);,dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);,dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);,2,、建立主程序,shark.m,以下：,t,x=ode45(shier,0 15,25 2);,plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*),plot(x(:,1),x(:,2),编制程序以下：,食饵,捕食系统数学模型,49/62,求解结果：,图,2,反应了,x,1,(t),与,x,2,(t),关系。,图,2,图,1,x,1,(t),x,2,(t),食饵,捕食系统数学模型,50/62,食饵,-,捕食者模型数值解曲线,初值：,2,x,2,(t),最大值,28.4,x,1,(t),最大值,99.3,25,周期点,10.7,食饵,捕食系统数学模型,51/62,食饵,-,捕食者模型相图（,x,1,x,2,）,p,重心,相轨线是封闭曲线等价于,x,1,(,t,),x,2,(,t,),是周期函数。,重心坐标怎样计算？,(25,10),食饵,捕食系统数学模型,52/62,模型（二）考虑人工捕捉情况,假设人工捕捉能力系数为,e,，相当于食饵自然增加率由,r,1,降为,r,1,-e,，捕食者死亡率由,r,2,增为,r,2,+e,，所以模型,(,一,),修改为：,设战前捕捉能力系数,e=0.3,战争中降为,e=0.1,其它参数与模型,(,一,),参数相同。观察结果会怎样改变？,53/62,即计算,1,）当,e=0.3,时：,2,）当,e=0.1,时：,分别求出两种情况下鲨鱼在鱼类中所占百分比。,画曲线：,plot(t,p,1,(t),t,p,2,(t),*),食饵,捕食系统数学模型,54/62,function,dx=shier1(t,x),dx=zeros(2,1);,dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2);,dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1);,t1,x=ode45(,shier1,0 15,25 2);,t2,y=ode45(,shier2,0 15,25 2);,x1=x(:,1);x2=x(:,2);,x3=x2./(x1+x2);,y1=y(:,1);y2=y(:,2);,y3=y2./(y1+y2);(shark1.m),plot(t1,x3,-,t2,y3,*,),function,dy=shier2(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=y(1)*(0.9-0.1*y(2);,dy(2)=y(2)*(-0.6+0.02*y(1);,Matlab,编程实现,55/62,结论：战争中鲨鱼百分比比战前高！,e=0.1,e=0.3,食饵,捕食系统数学模型,56/62,试验内容,1,、求微分方程解析解,并画出它们图形，,y=y+2x,y(0)=1,0 x1;,y+y=cos(x),y(0)=1,y(0)=0;,2,、求方程,y,=y-2x/y,y(0)=1,数值解,(0 x1),。,57/62,3,、,Rossler,微分方程组：,当固定参数,b=2,c=4,时，试讨论随参数,a,由小到大改变（如,a(0,0.65),而方程解改变情况，而且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？,试验内容,返 回,58/62,一横截面积为常数,A,，高为,H,水池内盛满水，,由池底一横截面积为,B,小孔放水。设水从小,孔流出速度为,v=(2gh),0.5,，求在任意时刻,水面高度和将水放空所需时间。,时间,t,高度,h,。,(,要求，建立模型,选择适参数值并给出数值解。,),4,、水流出时间,试验内容,59/62,两种相同群体之间为了争夺有限同一个食物起源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱种群灭亡，而竞争力较强种群到达环境允许最大数量。,试验内容,5,、考虑相互竞争模型,假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从,Logistic,规律。,60/62,1,、,x,1,(,t,),x,2,(,t,),是两个种群数量；,2,、,r,1,r,2,是它们固有增加率；,3,、,n,1,n,2,是它们最大容量；,4,、,m,2,(,m,1,),为种群乙,(,甲,),占据甲,(,乙,),位置,数量，而且,m,2,=,x,2,;,m,1,=,x,1,。,试验内容,符号说明,61/62,计算,x(t),y(t),画出图形及相图。解释其改变过程,2,）改变,r,1,r,2,n,1,n,2,x,0,y,0,而,1,，,2,不变，计算并分析结果；若,1,=1.5,，,2,=0.7,，再分析结果。由此能得到什么结论。,试验内容,返 回,结 束,62/62,
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