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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第二章 分离变量法,齐次发展（演化）问题求解,齐次,稳定场问题,求解,非齐次问题求解,多变量推广,本章小结,第1页,2.1,齐次发展方程分离变量法,一 分离变量法介绍,研究两端固定理想弦自由振动，即定解问题,设,代入上述波动方程和边界条件得,方程、边界条件均齐次,用 遍除,第2页,两边相等显然是不可能，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作,-,这能够分离为关于,X,常微分方程和关于,T,常微分方程，且边界条件也一样进行分离,称为固有值（本征值）问题,第3页,特 征 根,通 解,求方程通解步骤为：,(1),写出微分方程,特征方程,(2),求出特征根 ，,(3),依据特征根情况按下表写出所给微分方程,通解。,二阶常系数齐次线性微分方程,第4页,1,、,在,0,情况,方程解是,只有 才能确保 ，方程有非零解,此时,再看关于,T,方程,于是 或,称为,固有值,，,称为,固有函数,第6页,这个方程解,分离变量形式解,(,n,=1,2,3,),由叠加原理，普通解为：,现在要求出叠加系数 和,满足初始条件,第7页,方程左边是傅里叶正弦级数,这就提醒我们把右边展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得,第8页,，则可得原问题解：,按上述公式计算出系数 和,注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛。,如上方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解一个有效方法。下面对该方法步骤进行总结。,第9页,分离变量流程图,固有值,（特征值）,问题,第10页,偏微分方程,第11页,【,解,】,杆上温度满足以下泛定方程和定解条件,试探解,代入方程和边界条件得 固有值问题,【,例题,1】,研究细杆导热问题,初始时刻杆一端温度为零度,另一端跟外界绝热，杆上初始温度为,试求无热源时细杆上,温度改变。,和常微分方程,分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，依据分离变量法流程，分析以下,第12页,分离变量流程图,固有值,（特征值）,问题,第13页,经讨论知，仅 时有非零解，且,只有,由 得,由 得,于是得固有值和固有函数为,由此得,第14页,下面求解,得,由叠加原理，得,第15页,确定系数,由初值条件知,于是,如取 ，则,第16页,从而以下问题,解为,图形以下,:(,程序,:my1),第17页,(a),准确解图,(b),瀑布图,第18页,2.2,稳定场齐次问题分离变量法,1,矩形区域上拉普拉斯方程,【,例题,1】,散热片横截面为矩形。它一边 处于较高温度 ，边处于冷却介质中而保持较低温度,其它两边 ，温度保持为零,，,求解这横截面上稳定温度分布,.,【,解,】,先写出定解问题定解问题,方程齐次,这组边界条件齐次,用分离变量法,第19页,分离变量流程图,固有值,（特征值）,问题,第20页,设形式解为：,代入上述泛定方程,得到,得到固有值问题,和常微分方程,得固有值：,第21页,固有函数,：,而,于是有,叠加得,第22页,为确定叠加系数，将 代入非齐次边界条件,将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得,第23页,联立求解得,第24页,故原问题解为,小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件,是齐次，则可使用分离变量法求解。,图形以下,：（程序：,my2,）,第25页,(a),准确解图,(b),瀑布图,第26页,【,例,2】,求解以下问题,特点：边界条件 均非齐次,让 和 分别满足拉普拉斯方程,并各有,一组齐次边界条件，即,则 ，而上面两个定解,问题分别用例,1,方法求解。,称为定解问题分拆。,第27页,【,例题,3】,带电云跟大地之间静电场近似是匀强，水平架设输电线处于这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场电势。,【,解,】,先将物理问题表为定解问题。取圆柱轴为,z,轴，,物理问题与,Z,轴无关。圆柱面在平面剖口是圆,柱外空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程,（在柱外）,能够看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径,。,在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成,2,圆形区域问题,第28页,设分离变数形式试探解为,代入拉普拉斯方程，得,令,此条件是依据电学原理加上,移项、整理后得：,第29页,分离为两个常微分方程,（自然边界条件，附加）,得固有值和固有函数为,和,固有值问题,解得,第30页,将本征值代入常微分方程，得到,欧拉型,常微分方程,作代换 则 ，方程化为：,于是通解是,解得,即,第31页,一个傅里叶级数等于零,意味着全部傅里叶系数为零,即：,由此得：,由条件 得,第32页,主要部分是 项,可见在表示式中不应出现高次幂，于是,最终得柱外静电势为：,由 知,结合前面系数关系，有,习题,6,、,8,第33页,2.3,非齐次方程求解,设该问题解为：,例,1,求解有界弦受迫振动问题（,）,我们已经知道，对应齐次问题固有函数系为,又设,因 已知，所以,固有函数展开法（又称傅立叶级数法）,第34页,代入非齐次方程和初始条件得：,用,Laplace,变换求解得：,方法总结：,将未知函数和非齐次项按照对应齐次问题固有函数展开，其展开系数为另一变量未知函数，代入非齐次方程和初始条件确定该未知函数。,第35页,设：,【,解,】,对应齐次问题固有函数系为,代入泛定方程，得,于是有,例,2,求解有界弦受迫振动问题（,）,第36页,代入初始条件,于是：,第37页,当 时：,解为,解释,第38页,推导：,对应齐次方程通解为,设非齐次方程特解为，解得,于是非齐次方程通解为,由定解条件,得,代入整理即得。,第39页,故原问题解为,解释,第40页,2.4,非齐次边界条件问题,上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件情况。,现在讨论非齐次边界条件下情况。,【,例,1】,长为 、侧面绝热均匀细杆，在 一端保,持恒温 ，另一端 有热流为 定常热流进入。设杆,初始温度分布是 ，求杆上温度改变,.,【,解,】,物理问题定解问题,按照叠加原理，将 定解问题分解为两部分之和，,第41页,满足定解问题,即,解得,满足定解问题,解释为何？,第42页,由分离变量法知，其解为,由初值条件知,故,第43页,与,t,无关，设,v=v,(,x,),小结：,满足定解问题,即可边界条件齐次化。,第44页,2.5,固有值问题,常微分方程本征值问题是由齐次边界条件决定。,用分离变量法求解偏微分方程定解问题时，会得到含有参数,些参数称为固有值，其对应方程解称为固有函数。,齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题,中参数依据边界条件只能取一些特定值才会使方程有非零解。这,固有值及固有函数：,一、,第45页,固有函数系：,在区间 上正交，即,其固有值和固有函数分别为,二、,第46页,三、,其固有值和固有函数分别为,固有函数系：,在区间 上正交，即,第47页,固有函数系：,在区间 上正交，即,其固有值和固有函数分别为,四、,第48页,五、,其固有值和固有函数分别为,固有函数系：,在区间 上正交，即,第49页,固有函数系：,在区间 上正交，即,第50页,本章小结：,对演化方程：方程与边界条件均为齐次,对稳定场方程：在矩形区域上方程与一对边边界条件均为齐次；圆域上,Laplace,方程,用分离变量法,对演化方程：方程为非齐次，边界条件为齐次,用固有函数法,对演化方程：方程与边界条件均为非齐次,做函数变换，边界条件齐次化，得到前两种情形之一。,第51页,
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