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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,数学物理方程与特殊函数,第,1,讲,第1页,第一章 一些经典方程和定解条件推导,1.1,基本方程建立,第2页,例,1,弦振动设有一根均匀柔软细弦,平衡时沿直线拉紧,而且除受不随时间而变张力作用外,不受外力影响,.,下面研究弦作微小横向振动规律,.,所谓,横向,是指全部运动出现在一个平面上,而且弦上点沿垂直于,x,轴方向运动,.,所谓,微小,是指振动幅度及弦在任意位置处切线倾角都很小,以致它们高于一次方项都可略而不计,.,第3页,x,O,u,a,T,a,T,M,M,N,N,x,x,+d,x,d,s,第4页,或,或,第5页,最终得,(1.3),式称为,一维波动方程,.,第6页,假如在振动过程中,弦上另外还受到一个与弦振动方向平行外力,且假定在时刻,t,弦上,x,点处外力密度为,F,(,x,t,),则按照一样推进方法,可得到弦强迫振动方程为,其中表示,t,时刻单位质量,弦在,x,点处所受外力密度,第7页,方程,(1.3),与,(1.3),差异在于,(1.3),右端多了一个与未知函数,u,无关项,f,(,x,t,),这个项称为,自由项,.,包含有非零自由项方程称为,非齐次方程,自由项恒等于零方程称为,齐次方程,.(1.3),为齐次一维波动方程,(1.3),为非齐次一维波动方程,.,第8页,例,2,传输线方程对于直流电或低频交流电,电路基尔霍夫定律指出同一支路中电流相等,但对于较高频率电流,(,指频率还没有高到能显著地辐射电磁波情况,),电路中导线自感和电容效应不可忽略,因而同一支路中电流未必相等,.,第9页,今考虑一来一往高频传输线,它被看成含有分布参数导体,.,在含有分布参数导体中,电流经过情况,能够用电流强度,i,和电压,v,来描述,此处,i,与,v,都是,x,t,函数,记作,i,(,x,t,),与,v,(,x,t,).,L,D,x,C,D,x,i,i,+,D,i,v,+,D,v,v,x,x+,D,x,第10页,L,每一回路单位串联电感,;,C,每一单位长度分路电容,.,L,D,x,C,D,x,i,i,+,D,i,v,+,D,v,v,x,x+,D,x,第11页,L,D,x,C,D,x,i,i,+,D,i,v,+,D,v,v,x,x+,D,x,第12页,L,D,x,C,D,x,i,i,+,D,i,v,+,D,v,v,x,x+,D,x,第13页,(1.4),对,t,求偏导,将,(1.5),对,x,求偏导,得,第14页,(1.4),对,x,求偏导,将,(1.5),对,t,求偏导,得,第15页,最终得,这两个方程称为,高频传输线方程,.,若令,这两个方程与,(1.3),完全相同,.,由此可见,同一个方程能够用来描述不一样物理现象,第16页,复习高等数学内容,以,i,j,k,分别表示沿,x,y,z,轴正向单位向量,则任何一个三维空间点或者向量,a,可表示为,a,=,x,i,+,y,j,+,z,k,或表示为,a,=(,x,y,z,),则二向量,a,1,=(,x,1,y,1,z,1,),和,a,2,=(,x,2,y,2,z,2,),数量积,或,点积,为,:,a,1,a,2,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,+,z,1,z,2,它们,向量积,或,叉积,为,第17页,用,M,来代表三维空间中一点,x,y,z,则一个数量场函数就是一个三元函数,用,f,(,M,),表示,.,一个向量场函数,F,(,M,),表示每给一点,都有一个向量与之对应,F,(,M,),可表示为,F,(,M,)=,P,(,M,),i,+,Q,(,M,),j,+,R,(,M,),k,其中,P,(,M,),Q,(,M,),R,(,M,),都是数量函数,.,一个数量场函数,f,(,M,),在某点,x,y,z,沿,l,方向方向导数为,其中,a,b,g,为方向,l,方向角,第18页,数量场函数,f,(,M,),梯度,是一个向量场函数,记为,grad,f,(,M,),函数在某点梯度是这么一个向量,它方向与取得最大方向导数方向一致,而它模为方向导数最大值,.,第19页,向量场函数,F,(,M,)=,P,(,M,),i,+,Q,(,M,),j,+,R,(,M,),k,在点,M,处,散度,是一个标量场函数,记为,div,F,在这里可看作稳定流动不可压缩流体在点,M,源头强度,在单位体积内所产生流体质量,.,假如为负,表示点,M,处流体在消失,.,第20页,向量场函数,F,(,M,)=,P,(,M,),i,+,Q,(,M,),j,+,R,(,M,),k,在点,M,处,旋度,是一个向量场函数,记为,rot,F,第21页,向量微分算子,定义为,它又称为,(Nabla),算子或哈密尔顿,(Hmilton),算子,.,利用向量微分算子,设数量场函数为,f,(,x,y,z,),向量场函数为,F,(,x,y,z,)=,P,i,+,Q,j,+,R,k,第22页,其中,称为拉普拉斯,(Laplace),算子,.,第23页,第24页,高斯公式和斯托克斯公式可分别写成,其中,F,n,为向量场函数在曲面元法线方向上投影,而,F,t,为向量场函数在曲线切线方向上投影,.,第25页,例,3,电磁场方程电磁场特征可用电场强度,E,与磁场强度,H,以及电感应强度,D,与磁感应强度,B,来描述,.,它们可用麦克斯韦,(Maxwell),方程组描述为,:,J,传导电流面密度,r,电荷体密度,.,第26页,e,介电常数,m,导磁率,s,导电率,.,第27页,第28页,而,rotrot,H,=,grad,div,H,-,2,H,=,2,H,第29页,最终得到,H,所满足方程为,同理,若消去,H,即得,E,所满足方程,如,s,=0,则,第30页,(1.15),与,(1.16),称为,三维波动方程,.,用标量形式表示可写成,u,是,E,(,或,H,),任意一个分量,而,第31页,从,(1.11),和,(1.12),还能够推出静电场电位所满足微分方程,.,因,E,=-,grad,u,由,div,D,=,e,div,E,=,r,可得,div,grad,u,=-,r,/,e,或,此非齐次方程称为,泊松,(Poisson),方程,.,假如静电场是无源,即,r,=0,则,(1.18),变成,2,u,=0(1.19),这个方程称为,拉普拉斯,(Laplace),方程,.,第32页,例,4,热传导方程在物体中任取一闭曲面,S,它所包围区域记作,V,.,假设在时刻,t,区域,V,内点,M,(,x,y,z,),处温度为,u,(,x,y,z,t,),n,为曲面元素,D,S,法向,(,从,V,内指向,V,外,).,由传热学中傅里叶试验定律可知,物体在无穷小时间段,d,t,内,流过一个无穷小面积,d,S,热量,d,Q,与时间,d,t,曲面面积,d,S,以及物体温度,u,沿曲面,d,S,法线方向方向导数三者成正比,第33页,D,S,n,M,V,S,热场,第34页,D,S,n,M,V,S,k,为热传导系数,.,这里为常数。,从时刻,t,1,到,t,2,经过曲面,S,流入区域,V,全部热量为,(,负号表明热量是由高温向低温流动,),第35页,上式负号表示热流流向是温度梯度相反,方向。,第36页,因,S,为闭曲面,式中二重积分可利用高斯公式化为三重积分,即,第37页,流入热量使,V,内温度发生了改变,在时间间隔,t,1,t,2,内区域,V,内各点温度从,u,(,x,y,z,t,1,),改变到,u,(,x,y,z,t,2,),则在,t,1,t,2,内温度升高所需要热量为,c,物体比热,r,物体密度,.,第38页,流入热量应等于物体吸收热量,所以有,因为,t,1,t,2,及,V,是任取,上式成立条件就是被积函数相等,即,其中,方程,(1.21),称为三维热传导方程,.,第39页,若物体内有热源,其强度为,F,(,x,y,z,t,),则对应热传导方程为,其中,第40页,作为特例,假如所考虑物体是一根细杆,(,或一块薄板,),或者即使不是细杆,(,或薄板,),而其中温度,u,只与,x,t,(,或,x,y,t,),相关,则,(1.21),就变成一维或二维热传导方程,第41页,假如考虑稳恒温度场,即在热传导方程中物体温度趋于某种平衡状态,这时温度,u,已与时间无关,此时方程,(1.21),就变成拉普拉斯方程,(1.19).,由此可见稳恒温度场内温度,u,也满足 拉普拉斯方程,.,在研究气体或液体扩散过程时,若扩散系数是常数,则所得扩散方程与热传导方程完全相同,.,第42页,1.2,初始条件与边界条件,第43页,上面讨论是怎样将一个详细问题所含有物理规律用数学式子表示出来,.,除此以外,我们还需要把这个问题所含有特定条件也用数学形式表示出来,这是因为任何一个详细物理现象都是处于特定条件之下,.,比如弦振动问题,上节所推导出来方程是一切柔软均匀弦作微小横向振动共同规律,在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时刻状态以及弦所受约束情况,.,假如我们不是泛泛地研究弦振动,势必就要考虑到弦所含有特定条件,.,第44页,因为任何一个振动物体在某时刻振动状态总是和此时刻以前状态相关,从而就与初始时刻状态相关,.,另外,弦两端所受约束也会影响弦振动,端点处物理条件不一样就会产生不一样影响,因而弦振动也不一样,.,所以对弦振动问题来说,除了建立振动方程以外,还需列出它所处特定条件,.,对热传导方程,拉普拉斯方程也是如此,.,第45页,提出条件应该能够用来说明某一详细物理现象初始状态或者边界上约束情况,.,用以说明初始状态条件称为,初始条件,;,用以说明边界上约束情况条件称为,边界条件,.,第46页,下面详细说明初始条件和边界条件表示形式,.,先谈初始条件,对于弦振动问题来说,初始条件就是弦在开始时刻位移及速度,若以,j,(,x,),y,(,x,),分别表示初位移和初速度,则初始条件能够表示为,第47页,而对热传导方程来说,初始条件是指在开始时刻物体温度分布情况,若以,j,(,M,),表示,t,=0,时物体内任一点,M,处温度,则热传导方程初始条件就是,u,(,M,t,)|,t,=0,=,j,(,M,).(1.23),泊松方程与拉普拉斯方程都是描述稳恒状态,与初始状态无关,所以不提初始条件,.,第48页,再谈边界条件,.,还是先从弦振动问题说起,从物理学得知,弦在振动时,其端点,(,以,x,=,a,表示这个端点,),所受约束情况,通常有以下三种类型,:,第一,固定端,即弦在振动过程中这个端点一直保持不动,.,对应于这种状态边界条件为,u,|,x,=,a,=0,(1.24),或,u,(,a,t,)=0.,第49页,第二,自由端,即弦在这个端点不受位移方向外力,从而在这个端点弦在位移方向张力应该为零,.,由前面推导过程可知,此时对应边界条件为,即,或,第50页,第51页,对热传导方程来说,也有类似情况,.,以,S,表示某物体,V,边界,假如在导热过程中边界,S,温度为已知函数,f,(,x,y,z,t,),则这时边界条件为,u,|,S,=,f,(1.27),这里,f,是定义在,S,上,(,普通依赖于,t,),函数,.,假如在导热过程中,物体,V,与周围介质处于绝热状态,则在,S,上热量流速一直为零,则在边界,S,上必满足,第52页,第53页,所以,当物体和外界有热交换时,对应边界条件为,即,其中,s,=,k,1,/,k,第54页,总而言之可知,不论对弦振动问题,还是对热传导问题,它们所对应边界条件,从数学角度看不外有三种类型,:,一是在边界,S,上直接给出了未知函数,u,数值,即,u,|,S,=,f,1,(1.30),这种形式边界条件称为,第一类边界条件,.,二是在边界,S,上给出了未知函数,u,沿,S,外法线方向方向导数,即,这种形式边界条件称为,第二类边界条件,.,第55页,三是在边界,S,上给出了未知函数,u,及其沿,S,外法向方向导数某种线性组合值,即,这种形式边界条件称为,第三类边界条件,.,需要注意是,(1.30),(1.31),(1.32),右端,f,i,(,i,=1,2,3),都是定义在边界,S,上,(,普通说来,也依赖于,t,),已知函数,.,不论哪一类型边界条件,当它数学表示式中自由项,(,即不依赖于,u,项,),恒为零时,则这种边界条件称为是齐次,不然称为非齐次,.,第56页,1.3,定解问题解法,第57页,前面推导了三种不一样类型偏微分方程并讨论了与它们对应初始条件与边界条件表示方式,.,因为这些方程中出现未知函数偏导数最高阶都是二阶,而且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性,所以这种方程称为,二阶线性偏微分方程,.,在工程技术上二阶偏微分方程碰到最多,.,第58页,假如一个函数含有某偏微分方程中所需要各阶连续偏导数,而且代入该方程中能使它变成恒等式,则此函数称为该方程,解,(,古典解,),.,因为每一个物理过程都处于特定条件之下,所以我们任务是要求出偏微分方程适合一些特定条件解,.,初始条件和边界条件都称为,定解条件,把某个偏微分方程和对应定解条件结合在一起,就组成了一个,定解问题,.,第59页,只有初始条件,没有边界条件定解问题称为,始值问题,(,或柯西,(Cauchy),问题,);,反之,没有初始条件,只有边界条件定解问题称为,边值问题,.,即有初始条件也有边界条件定解问题称为,混合问题,.,第60页,一个定解问题提得是否符合实际情况,当然必须靠实践来证实,.,然而从数学角度来看,能够从三方面加以检验,:1),解存在性,即看所归结出来定解问题是否有解,;2),解惟一性,即看是否只有一个解,;3),解稳定性,即看当定解条件有微小变动时,解是否对应地只有微小变动,.,假如确实如此,此解便称为,稳定,不然所得解就无实用价值,.,第61页,假如一个定解问题存在惟一且稳定解,则此问题称为适定,.,在以后讨论中我们把着眼点放在讨论定解问题解法上,而极少讨论它适定性,这是因为讨论定解问题适定性往往十分困难,而本书所讨论定解问题都是经典,它们适定性都是经过证实了,.,第62页,一个含,n,个自变量二阶线性偏微分方程最普通形式应该是,其中,A,ik,B,i,C,f,都只是,x,1,x,2,x,n,已知函数,与未知函数无关,.,在两个自变量情形,(1.33),式可写为,第63页,线性偏微分方程,(1.33),满足叠加原理,即若,u,i,是方程,Lu,i,=,f,i,(,i,=1,2,),解,而且级数,收敛,而且能够逐项微分两次,其中,C,i,(,i,=1,2,),为任意常数,则,u,一定是方程,解,(,假定这个方程右端级数是收敛,).,第64页,尤其是,假如,u,i,(,i,=1,2,),是二阶线性齐次方程,Lu,=0,解,则只要,收敛,而且能够逐项微分两次,u,一定也是此方程解,.,这个结论证实是非常轻易,(,留作练习,但它却是下一章要讲分离变量法出发点,.,第65页,作业习题一第,17,页第,1,3,5,题,第66页,
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