数理方程第一章典型方程与定解条件市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

,数学物理方程与特殊函数,第1章,典型方程和定解条件的推导,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,汤 燕 斌,华中科技大学数学与统计学院,tangyb,数学物理方程与特殊函数,1/30,10/6/,1,数学物理方程与特殊函数,数学和物理关系,课程主要内容,数学和物理从来是没有分开过,数学物理方程定义,用微分方程来描述给定物理现象和物理规律。,三种方程、四种求解方法、二个特殊函数,分离变量法,行波法,积分变换法,格林函数法,波动方程,热传导,拉普拉斯方程,贝塞尔函数,勒让德函数,2/30,10/6/,2,哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla,拉普拉斯算子,微积分知识回顾,与梯度算子相关场论运算,平面上拉普拉斯算子,常微分方程求解：常见一阶方程、可降阶高阶方程、,二阶线性方程,傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、,余弦级数,3/30,10/6/,3,拉普拉斯方程：,热传导方程：,波动方程：,三类偏微分方程,两种特殊函数,贝塞尔方程,勒让德方程,琴弦振动；,杆、膜、液体、气体等振动；电磁场振荡等,热传导中温度分布；流体扩散、粘性液体流动,空间静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布,解：贝塞尔函数,解：勒让德函数,4/30,10/6/,4,一、基本方程建立,第一章 一些经典方程和,定解条件推导,二、定解条件推导,三、定解问题概念,5/30,10/6/,5,常见数学物理方程导出,确定所要研究物理量,u,，比如位移、场强、温度,依据物理规律建立微分方程,经过合理数学近似对方程进行化简,数学物理方程,定解问题,提法,泛定方程,（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）,定解问题,：,定解条件,（初始条件，边界条件）,6/30,10/6/,6,一、基本方程建立,条件,：均匀柔软细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。,例1、弦振动,研究对象,：,线上某点在 t 时刻沿纵向位移。,7/30,10/6/,7,弦振动相关模拟,8/30,10/6/,8,弦振动相关模拟,9/30,10/6/,9,弦振动相关模拟,10/30,10/6/,10,弦振动相关模拟,11/30,10/6/,11,波传输相关模拟,12/30,10/6/,12,弦振动相关模拟,13/30,10/6/,13,简化假设：,(2)横向振幅极小，张力与水平方向夹角很小。,(1)弦是柔软，弦上任意一点张力沿弦切线方向。,牛顿运动定律：,横向：,纵向：,其中：,其中：,14/30,10/6/,14,其中：,一维波动方程,令：,-非齐次方程,自由项,-齐次方程,忽略重力作用：,15/30,10/6/,15,从麦克斯韦方程出发：,在自由空间：,例2、时变电磁场,16/30,10/6/,16,对第一方程两边取旋度，,依据矢量运算：,由此得：,得：,即：,同理可得：,电场,三维,波动方程,磁场三维波动方程,17/30,10/6/,17,例3、热传导,所要研究物理量：,温度,依据热学中傅立叶试验定律,在d,t,时间内从d,S,流入,V,热量为：,从时刻,t,1,到,t,2,经过,S,流入,V,热量为,高斯公式（矢量散度体积分等于该矢量沿着该体积面积分）,热传导现象,：当导热介质中各点温度分布不均匀时，有,热量从高温处流向低温处。,热场,18/30,10/6/,18,流入热量造成,V,内温度发生改变,流入热量：,温度发生改变需要热量为：,热传导方程,热场,假如物体内有热源，则温度满足,非齐次热传导方程,19/30,10/6/,19,例4、静电场,电势,u,确定所要研究物理量：,依据物理规律建立微分方程：,对方程进行化简：,拉普拉斯方程,泊松方程,20/30,10/6/,20,同一类物理现象中，各个详细问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反应了详细问题特殊环境和历史，即个性。,初始条件,：能够用来说明某一详细物理现象初始状态条件。,边界条件：,能够用来说明某一详细物理现象边界上约束情况条件。,二、定解条件推导,其它条件：,能够用来说明某一详细物理现象情况条件。,21/30,10/6/,21,初始时刻温度分布：,B、热传导方程初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程初始条件,不含初始条件，只含边界条件条件,A、波动方程初始条件,1、初始条件描述系统初始状态,系统各点初位移,系统各点初速度,22/30,10/6/,22,(2)自由端：x=,a,端既不固定，又不受位移方向力作用。,2、边界条件描述系统在边界上情况,A、波动方程边界条件,(1)固定端：对于两端固定弦横振动，其为：,或：,(3)弹性支承端：在,x=a,端受到弹性系数为,k,弹簧支承。,或,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,23/30,10/6/,23,B、热传导方程边界条件,(1)给定温度在边界上值,(S为给定区域v 边界),(2)绝热状态,(3)热交换状态,牛顿冷却定律：单位时间内从物体经过边界上单位面积流到周围介质热量跟物体表面和外面温差成正比。,交换系数；周围介质温度,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,C、拉普拉斯方程边界条件,24/30,10/6/,24,1、定解问题,三、定解问题概念,(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件定解问题；,(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件定解问题；,(3)混合问题：现有初始条件，也有边界条件定解问题。,把某种物理现象满足偏微分方程和其对应定解条件结合在一起，就组成了一个,定解问题,。,2、定解问题适定性,解存在性：定解问题是否有解；,解唯一性：是否只有一解；,解稳定性：定解条件微小变动时，解是否有对应微小变动。,25/30,10/6/,25,(4),按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变系数微分方程,；,(5),按自由项是否为零分为,齐次方程,和,非齐次方程,3、微分方程普通分类,(1),按自变量个数，分为二元和多元方程,；,(2),按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和,非线性微分方程,；,(3),按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶,和高阶微分方程,；,26/30,10/6/,26,线性方程解含有叠加特征,4、叠加原理,几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产生效果累加。(物理上),判断以下方程类型,思索,27/30,10/6/,27,5、微分方程解,古典解,：假如将某个函数,u,代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程古典解。,通解,：解中含有相互独立和偏微分方程阶数相同任意常数解。,特解,：经过定解条件确定了解中任意常数后得到解。,形式解,：未经过严格数学理论验证解为形式解。,6、求解方法,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,28/30,10/6/,28,四、两个自变量二阶线性偏微分方程分类,两个自变量二阶线性偏微分方程普通形式,(1.4.1),其中，,都是区域,上实函数，,并假定它们是连续可微。,若在区域,上某点,处满足,则称方程(1.4.1)在点,处是,双曲型,；若在点,处满足,，则称方程(1.4.1)是,抛物型,；,处满足,则称方程(1.4.1),是,椭圆型,。,若在点,在点,29/30,10/6/,29,假如方程(1.4.1)在所讨论区域,内每点都是,双曲型,（抛物型或椭圆型），则称方程在区域内也是双曲型（抛物型或椭圆型）。,30/30,10/6/,30,