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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第六章 行波法与积分变换法,李莉,lili66,第1页,求解定解问题,分离变量法,求解有限区域内定解问题：解区域比较规则（其边界在某种坐标系中方程能用若干个只含有一个坐标变量方程表示）,行波法,求解无界区域内波动方程定解问题,积分变换法,不受方程类型限制，主要用于无界区域，但对有界区域也能应用,第2页,6.1,一维波动方程,D,Alember(,达朗贝尔,),公式,就一维波动方程建立通解公式,一维波动方程：,(6.1.1),作以下变换：,(6.1.2),利用复合函数微分法则有：,(6.1.3),(6.1.4),第3页,(6.1.1),（,6.1.1),化为：,（,6.1.5,）,将式（,6.1.5,）对 积分，得：,再将此式对 积分，得：,（,6.1.6,）,其中 都是任意二次连续可微函数。,(6.1.3),(6.1.4),第4页,（,6.1.6,）,式（,6.1.6,）就是方程（,6.1.1,）通解。,在详细问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 与 详细形式。,为此，必须考虑定解条件。,下面我们来讨论无限长弦自由横振动。设弦初始状态为已知。,（,6.1.7,）,将式（,6.1.6,）中函数代入式（,6.1.7,）中，得：,（,6.1.8,）,（,6.1.9,）,第5页,（,6.1.8,）,（,6.1.9,）,式（,6.1.9,）两端对 积分一次，得：,（,6.1.10,）,由式（,6.1.8,）与式（,6.1.10,）解出,把确定出来 代回到式（,6.1.6,）中，即得到方程（,6.1.1,）在条件（,6.1.7,）下解：,（,6.1.11,）,无限长弦自由振动,DAlembert,（达朗贝尔）公式。,第6页,（,6.1.11,）,DAlembert,解物理意义：,先讨论初始条件只有初始位移情况下,DAlembert,解物理意义。,此时式（,6.1.11,）给出,先看第二项，设当,t=0,时，观察者在,x=c,处看到波形为：,若观察者以速度,a,沿,x,轴正向运动，则,t,时刻在,x=c+at,处，他所看到波形为：,因为,t,为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同波形，说明波形和观察者一样，以速度,a,沿,x,轴正向传输。,第7页,所以 代表以速度,a,沿,x,轴正向传输波，称为,正行波,。而第一项 则代表以速度,a,沿,x,轴负向传输波，称为,反行波,。正行波和反行波叠加（相加）就给出弦位移。,再讨论只有初速度情况。此时式（,6.1.11,）给出：,设 为 一个原函数，即,则此时有,由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波叠加（相减）给出弦位移。,总而言之，,DAlembert,解表示正行波和反行波叠加,。,第8页,例,1,求解以下初值问题,解：本题中,直接应用,DAlembert,公式，有：,第9页,*6.2,三维波动方程,Poisson,公式,三维无限空间中波动问题，即求解以下定解问题：,这个定解问题仍可用行波法来解，不过因为坐标变量有三个，不能直接利用,6.1,节中所得到通解公式。下面先考虑一个特例。,第10页,6.2.1,三维波动方程球对称解,球对称：,u,与 都无关。,在球坐标系中，三维波动方程为：,当,u,不依赖于 时，这个方程可简化为：,或写成,第11页,这是关于,ru,一维波动方程，其通解为：,或,第12页,6.2.2,三维波动方程,Possion,公式,对于普通非对称情况，我们不直接考虑函数,u,本身，而是考虑,u,在以,M(x,y,z),为球心、以,r,为半径球面上平均值，则这个平均值当,x,y,z,暂时固定之后就只与,r,t,相关了。,这个平均值能够写成：,其中 表示,以点 为中心、以,r,为半径球面；,表示,r=1,单位球面。,第13页,是球面 上点坐标，是 上面积元素。是单位球面上面积元素。,在球坐标系中，,显然有,由平均值 定义和,u,连续性可知，,第14页,经过推导，可得 满足微分方程：,这是一个关于 一维波动方程，它通解为：,其中 是两个二次连续可微任意函数。,由初始条件定得：,第15页,于是,将 拓广到,r0,范围内，而且使,。,即 是偶函数。,同理，与 也是偶函数。,所以，可将上式写成：,第16页,令 利用,LHospital,（洛必塔）法则得到：,或简记成,上式称为三维波动方程,Poisson,公式。,第17页,例,2,求解定解问题,解：这里,将这些给定初始条件代入到,Poisson,公式并计算其中积分，就能够得到问题解：,第18页,6.3 Fourier,积分变换法求定解问题,所谓积分变换，就是把某函数类,A,中函数,f(x),经过某种可逆积分运算,变成另一函数类,B,中函数,F(p),。,F(p),称为,f(x),像函数，而,f(x),称为,F(p),像,原,函数,。,k(x,p),是,x,，,p,已知函数，称为积分变换核。在这种变换下，原来偏微分方程能够,降低自变量个数,，直至变成常微分方程。,原来常微分方程，能够变成代数方程，从而使在函数类,B,中运算简化，找出在,B,中一个解，再经过逆变换，便得到原来要在,A,中所求解。,第19页,6.3.1,预备知识,Fourier,变换及性质,Fourier,变换,函数,f(x)Fourier,变换：,称为,f(x),像函数。,Fourier,逆变换,:,f(x),称为 像原函数。,所以，当,f(x),满足,Fourier,积分条件时，有,第20页,三维,Fourier,变换,若记,则三维,Fourier,变换及反演公式分别：,第21页,Fourier,变换性质,设,（,1,）,线性性质,为任意常数，则任意函数 和 有：,（,2,）,延迟性质,为任意常数,第22页,（,3,）,位移性质 设 为任意常数,（,4,）,相同性质,a,为不为零常数,（,5,）,微分性质 若 时，,则,第23页,（,6,）,积分性质,（,7,）,卷积性质,卷积定义：,已知函数 和,卷积定理为：,（,8,）,象函数卷积定理,第24页,6.3.2 Fourier,变换法解定解问题,例,1,求解弦振动方程初值问题,解：视,t,为参数，将方程和对应条件对,x,进行,Fourier,变换，并记,则,第25页,这是带参数 常微分方程初值问题。,解得：,再进行反演，得到原定解问题解为：,第26页,例,2,求无界杆热传导问题,解：对方程和定解条件两端关于,x,分别进行,Fourier,变换，并记,则：,这是带参数 关于变量,t,常微分方程初值问题，解得：,第27页,应用反演公式，得原定解问题解为：,再由卷积定理,而,第28页,这里利用了积分公式,所以,由此例看到，用,Fourier,变换解方程时无须像分离变量法那样区分齐次方程和非齐次方程，都是按一样步骤求解不过反演往往比较困难。,第29页,6.4 Laplace,变换法解定解问题,6.4.1 Laplace,变换及其性质,Laplace,变换,定义：,逆变换（或称反演）：,第30页,Laplace,变换性质,（,1,）,线性性质,（,2,）,延迟性质,其中,（,3,）,位移性质,则,第31页,若 时，,（,4,）,相同性质,则,（,5,）,微分性质,第32页,（,6,）,积分性质,（,7,）,卷积定理,其中，定义,第33页,6.4.2 Laplace,变换法,例,1,求解半无界弦振动问题,解：对方程两边关于变量,t,作,Laplace,变换，并记：,则,第34页,代入初始条件，得：,再对边界条件关于变量,t,作,Laplace,变换，并记：,则有：,第35页,上述常微分方程通解：,代入到边界条件中，得：,故：,由位移定理：,所以：,第36页,例,2,求解长为,l,均匀细杆热传导问题,解：对方程和边界条件（关于变量,t,）进行,Laplace,变换并考虑到初始条件，则有：,第37页,其中方程通解为：,由边界条件定 ，得：,第38页,由变换公式,知,又有,所以,从上面例题能够看出，用,Laplace,变换法求解定解问题时，不论方程与边界条件是齐次是否，都是采取相同步骤。,Laplace,变换一样能够用来求解无界区域内问题。,第39页,例,3,在传输线一端输入电压信号 ，初始条件均为零，求解传输线上电压改变,解：这是个半无界问题，定解条件以下：,将方程和边界条件施以关于,t,Laplace,变换，并考虑初始条件，得到：,第40页,其中方程通解为：,常数,在实际问题中，一个很主要情形,这时,第41页,其次，有自然条件,取 ，则：,再由边界条件得：,经过反演 ，由延迟定理得：,第42页,总结,积分变换方法不但能求解无界问题，而且也能够用来求解有界问题，应用是相当广泛。,求解步骤,第一步，将方程和定解条件对指定变量进行积分变换；得到象空间代数方程或常微分方程边值问题或初值问题；,第二步，求解象空间代数方程或常微分方程初值或边值问题，得到象空间中解；,第三步，对像空间中解进行反演，得到原象空间中解。,第43页,求积分变换反演：,（,1,）直接查表，常见函数,Fourier,和,Laplace,等积分变换和反变换已经有列表；,（,2,）利用积分变换性质，象上面例题那样求出象函数反演；,（,3,）利用复变函数积分性质和留数定理等知识，计算反演中无穷积分；,（,4,）数值反演，利用数值积分方法计算反演中无穷积分，有时也能得到准确度很高结果。,第44页,
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