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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第四节,一、立体体积,二、曲面面积,三、物体质心,四、物体转动惯量,五、物体引力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分应用,第十章,第1页,1.能用重积分处理实际问题,特点,所求量是,对区域含有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法(元素法),分布在有界闭域上整体量,3.解题,关键点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分处理问题,方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,一、立体体积,曲顶柱体,顶为连续曲面,则其体积为,占有,空间有界域,立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,任一点切平面与曲面,所围立体体积,V,.,解:,曲面,切平面方程为,它与曲面,交线在,xoy,面上投影为,(记所围域为,D,),在点,例1.,求曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,例,2.,求半径为,a,球面与半顶角为,内接锥面所围成立体体积.,解:,在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,二、曲面面积,设光滑曲面,则面积,A,可看成曲面上各点,处小切平面面积,d,A,无限积累而成.,设它在,D,上投影为,d,(称为面积元素),则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,例3.,计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:,曲面在,xoy,面上投影为,则,出面积,A.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,例4.,计算半径为,a,球表面积.,解:,设球面方程为,球面面积元素为,方法2,利用直角坐标方程.,方法1,利用球坐标方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P170例1),第10页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5,设有一颗地球同时轨道通信卫星,距地面高度为,h,=36 000 km,速度与地球自转角速度相同.,通信卫星覆盖面积与地球表面积比值.,运行角,试计算该,解,取地心为坐标原点,地心到通信卫星,连线为,z,轴,建立坐标系,如右图所表示.,通信卫星覆盖曲面,是上半球面被,半顶角为,圆锥面所截得部分.,方程为,于是,通信卫星覆盖面积为,其中,D,xy,是曲面在,xOy,面上投影区域.,第11页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用极坐标,得,因为,代入上式得,由此得这颗通信卫星覆盖面积 与地球表面积之比为,由已上结果可知,卫星覆盖了全球三分之一以上面积.,地球全部表面.,故使用三颗相隔,角度通信卫星就能够覆盖几乎,第12页,三、物体质心,设空间有,n,个质点,其质量分别,由力学知,该质点系质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即:,采取,“大化小,常代变,近似和,取极限”,可导出其质心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,将,分成,n,小块,将第,k,块看作质量集中于点,比如,令各小区域最大直径,系质心坐标就近似该物体质心坐标.,质点,即得,此质点,在第,k,块上任取一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,同理可得,则得,形心坐标,：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,若物体为占有,xoy,面上区域,D,平面薄片,(,A,为,D,面积),得,D,形心坐标,:,则它质心坐标为,其面密度,对,x,轴,静矩,对,y,轴,静矩,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,例5.,求位于两圆,和,质心.,解:,利用对称性可知,而,之间均匀薄片,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P173例3),第17页,例6.,一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线,方程为,内储有高为,h,均质钢液,解:,利用对称性可知质心在,z,轴上，,采取柱坐标,则炉壁方程为,所以,故,自重,求它质心.,若炉,不计炉体,其坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,四、物体转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布密度函数,该物体位于(,x,y,z,)处,微元,所以物体,对 z 轴 转动惯量:,对 z 轴转动惯量为,因质点系转动惯量等于各质点转动惯量之和,故,连续体转动惯量可用积分计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,类似可得:,对,x,轴转动惯量,对,y,轴转动惯量,对原点转动惯量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,假如物体是平面薄片,面,密度为,则转动惯量表示式是二重积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,例7.,求半径为,a,均匀半圆薄片对其直径,解:,建立坐标系如图,半圆薄片质量,转动惯量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P175例5),第23页,解:,取球心为原点,z 轴为,l,轴,则,球体质量,例8.,求均匀球体对于过球心一条轴,l,转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,G,为引力常数,五、物体引力,设物体占有空间区域,物体对位于原点单位质量质点引力,利用元素法,在,上,积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上投影分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,对,xoy,面上平面薄片,D,它对原点处单位质量质点,引力分量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,例9.,设面密度为,半径为,R,圆形薄片,求它对位于点,解,:由对称性知引力,处单位质量质点引力.,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,例10.,求半径,R,均匀球,对位于,单位质量质点引力.,解:,利用对称性知引力分量,点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P177例7),第28页,为球质量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第29页,(,t,为时间)雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积降低速率与侧面积成正比,(百分比系数,0.9,),问高度为,130 cm,雪堆全部融化需要,多少小时?,(考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,第30页,提醒:,记雪堆体积为,V,侧面积为,S,则,(用极坐标),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,由题意知,令,得,(小时),所以高度为130cm雪堆全部融化所需时间为100,小时.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第32页,
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