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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,第六章 定积分,第一节 定积分概念,第二节 微积分基本公式,第三节 定积分换元法,第四节 定积分分部积分法,第五节 广义积分,第1页,第一节 定积分概念,一、定积分问题举例,1曲边梯形面积,图6-1,所围成平,面图形称为曲边梯形,如图,6-1.,求其面积四,个,步骤：,(1)分割,任取分点把底边分成,个小区间.,(2)取近似,(3)求和,(4)取极限,第2页,要计算这段时间内所走旅程,(3)求和,二 定积分定义,2.变速直线运动旅程,设某物体作直线运动，,上连续函数，,(1)分割 任取分点,(2)取近似,(4)取极限,设函数,上有定义,任取分点,=1,2,n,），,记,第3页,在每个小区间,上任取一点,作乘积,和式：,上述和式极限存在,，,则称此极限值为函数,在区间,上,定积分,，,（此时，也称,）记为,依据这个定义，两个实际问题都可用定积分表示为：,曲边梯形面积,变速运动旅程,第4页,三,定积分几何意义,图形在,轴之上，积分值为正，有,图形在,轴下方，积分值为负，即,则积分值就等于曲线,在,轴上方部分,与下方部分面积代数和，如图62所表示，有,图62,四 定积分性质,性质1,性质2,性质3,性质4,第5页,性质5,则,性质6,则最少存在一点,使得,例 预计定积分,值,解 先求,在1，1上最大值和最小值,得驻点,在驻点及区间端点处函数值，,故最大值,最小值,由估值定理得，,第6页,习 题 6-1,1利用定积分几何意义，说明：,2利用定积分几何意义，求以下定积分,3利用定积分估值定理，估值定积分,值,第二节 微积分基本公式,一、变上限定积分,第7页,通常称函数,为,变上限积分函数,或,变上限积分,定理1,假如函数,则变上限积分,推论,连续函数原函数一定存在,例1,计算,解 因为,故,第8页,例2,求以下函数导数：,解 ,设,例3 求,解,二、牛顿莱布尼茨公式,定理2 设函数,第9页,则有,上式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式,为方便起见，,常记作,例4 求定积分,解1,第10页,习 题 6-2,1计算,2计算以下各定积分,第三节 定积分换元法,例1 求,解法1,第11页,于是,解法2 设,于是,普通地，定积分换元法可叙述以下：,且当,例1 求,于是,第12页,例2 求,于是,例3 求,于是,第13页,例4 求,由定积分换元法，得,于是,第14页,于是,例6 求,例7 证实,证 比较两边被积函数，能够看出，,于是,第15页,习 题 6-3,1计算以下定积分,2利用函数奇偶性计算以下定积分：,3证实,第四节 定积分分部积分法,这就是定积分分部积分法,例1,第16页,例2 求,例3 求,这么依次进行下去,第17页,当n为奇数时，,当n为偶数时，,这个公式称为递推公式,例4 求,习 题 6-4,计算以下定积分,第18页,第五节 广义积分,一、无究区间上广义积分,定义1 设函数,我们把极限,上广义积分，记为,若极限存在，称广义积分,收敛；若极限不存在，则称,发散,类似地，能够定义在,上广义积分为,上广义积分定义为,其中c为任意常数，当右边两个广义积分都收敛时，,广义积分,才是收敛，否,则是发散,第19页,例1 计算广义积分,解,例2 讨论,敛散性,解,所以,发散,例3 计算广义积分,解,例4,讨论,敛散性,.,解,当,p,1时，,（收敛）；,当,p,1时,（发散）；,第20页,当,p,1时，,（发散），,综上，,二、无界函数广义积分,取,0，,称极限,广义积分，记为,若该极限存在，则称广义积分,收敛；若极限不存在，则称,发散,类似地，当,无穷间断点时，即,上广义积分定义为：,第21页,当无穷间断点,位于区间,内部时，则定义广义积分,为：,上式右端两个积分均为广义积分，当这两个广义积分都收敛时，才称,是收敛，不然，称,是发散,上述无界函数积分也称瑕积分,例5 求广义积分,解 因为,被积函数无穷间断点，于是,例6 证实广义积分,当,p,1时收敛，当,p,1时发散,证,p,1时，,（,收敛）,；,当,p,1时，,（发散）；,第22页,当,p,1时，,（发散）,所以，当,p,1时，此广义积分收敛，其值为,当,p,1时，广义积分发散,复 习 题 六,一、填空题,极小值为,取值范围为,;,第23页,二、单项选择题,为连续函数，则积分,A与,，s，t,相关;,B与,t，,C与,s，t,相关;,D仅与,相关.,A0;B0 ;C0;D0.,A充分条件;B必要条件;C充分必要条件;D无关条件.,为连续函数，则以下各式正确是（）,第24页,A2;B1;C1;D2.,A0;B2;C1;D1.,A0;B1;C2;D3.,A必要条件;B充分条件;C充分必要条件;D无关条件,.,11以下广义积分收敛是（）,第25页,.,A0;,三、计算题,第26页,
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