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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,线性代数模型,Durer 魔方,植物基因分布,常染色体隐性疾病,森林管理问题,马氏链介绍,西北大学数学系,第1页,5/1/2025,数学建模,有些复杂问题，往往给人以变幻莫测感觉，难以掌握其中奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数基本知识建立模型，就能够掌握事物内在规律，预测其发展趋势。,线性代数模型,西北大学数学系,第2页,5/1/2025,数学建模,Durer 魔方,德国著名艺术家 Albrecht Durer(1471-1521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”铜币。令人奇怪是在这枚铜币画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角数字问题。,西北大学数学系,第3页,5/1/2025,数学建模,1 Durer 魔方,16,3,2,13,5,10,11,8,9,6,7,12,4,15,14,1,特点,每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定数34。,所出现数是1至16自然数。,四角之和、中间对边之和均为34。,最下边一行中心数为1514，正是制币时间。,问题,是否还存在含有这些（或部分）性质魔方？,西北大学数学系,第4页,5/1/2025,数学建模,0,6,1,18,9,10,6,0,15,0,9,1,1,9,9,6,0,7,1,18,9,10,7,0,16,0,9,1,1,9,9,7,10,80,100,150,140,110,50,40,70,20,160,90,120,130,30,60,定义,假如44数字方，它每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上数字之和都为一确定数，则称这个数字方为,Durer 魔方,。,R=C=D=S,西北大学数学系,第5页,5/1/2025,数学建模,你想结构Durer魔方吗？,怎样组成全部Durer魔方？Durer魔方有多少？,2 Durer魔方生成集,全部Durer魔方集合为,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,O=,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,E=,R=C=D=S=0,R=C=D=S=4,西北大学数学系,第6页,5/1/2025,数学建模,a,11,a,12,a,13,a,14,a,21,a,22,a,23,a,24,a,31,a,32,a,33,a,34,a,41,a,42,a,43,a,44,A=,b,11,b,12,b,13,b,14,b,21,b,22,b,23,b,24,b,31,b,32,b,33,b,34,b,41,b,42,b,43,b,44,B=,类似于矩阵加法和数乘，定义魔方加法和数乘。,易验证，,D,加法和数乘封闭，且组成一,线性空间,。,记,M=,全部44数字方,，则其维数为16。,而,D,是,M,子集，则,D,是,有限维,线性空间。,依据线性空间性质，假如能得到,D,一组基，,则任一个Durer方均可由这组基线性表示。,西北大学数学系,第7页,5/1/2025,数学建模,由 0,1 数字组合，结构全部,R=C=D=S=1,魔方。共有8 个，记为,Q,i,i=1,2,8。,Q,1,=,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,Q,2,=,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,Q,3,=,Q,4,=,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,西北大学数学系,第8页,5/1/2025,数学建模,Q,5,=,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,Q,6,=,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,Q,7,=,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,Q,8,=,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,西北大学数学系,第9页,5/1/2025,数学建模,易知,则,线性相关。,而由,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,=,线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。,西北大学数学系,第10页,5/1/2025,数学建模,结论：,1 Durer方有没有穷多个。,2 Durer方可由,线性组合得到。,Albrecht Durer数字方组成：,=,16,3,2,13,5,10,11,8,9,6,7,12,4,15,14,1,西北大学数学系,第11页,5/1/2025,数学建模,3 Durer方应用推广,（1）要求数字方全部数字都相等。,基为,1维空间,（2）要求行和、列和、每条主对角线及付对,角线数字和都相等。,基为,5维空间,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,西北大学数学系,第12页,5/1/2025,数学建模,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,西北大学数学系,第13页,5/1/2025,数学建模,例,17,2,11,16,16,11,22,-3,12,7,6,21,1,26,7,12,R=C=H=N=46,H 主对角线，N付对角线数字和。,（3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。,8维空间Q。,基为,D是Q7维子空间。,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,西北大学数学系,第14页,5/1/2025,数学建模,例,6,7,9,8,12,6,5,7,5,10,9,6,7,7,7,9,R=C=D=30,（4）要求行和、列和数字相等。,10维空间W。,基为,0,1,0,-1,1,0,-1,0,-1,0,0,1,0,-1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,西北大学数学系,第15页,5/1/2025,数学建模,（5）对数字没有任何要求数字方,16维空间M,空间,维数,0 1 5 7 8 10 16,思索,能否结构出其它维数数字方？,西北大学数学系,第16页,5/1/2025,数学建模,练习,完成下面Durer方,6,14,9,48,8,7,11,6,7,9,8,5,9,7,R=C=D=S=30,R=C=D=S=100,西北大学数学系,第17页,5/1/2025,数学建模,作业,结构你自己认为有意义Durer方。,6,7,9,8,12,5,5,8,6,11,9,4,6,7,7,10,西北大学数学系,第18页,5/1/2025,数学建模,植物基因分布,设一农业研究所植物园中某植物基因型为AA、Aa 和 aa。研究所计划采取AA型植物与每一个基因型植物相结合方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物任意一代三种基因型分布怎样？,西北大学数学系,第19页,5/1/2025,数学建模,1 建模准备,植物遗传规律？,动植物都会将本身特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲,基因,，,形成了自己,基因对，,基因对就确定了后代所表现特征。,常染色体遗传规律：,后代是从每个亲体基因对中各继承一个基因，形成自己基因对，即,基因型,。,西北大学数学系,第20页,5/1/2025,数学建模,假如考虑遗传特征是由两个基因 A、a控制,，那末就有三种基因对，记为AA、Aa 和 aa。,金鱼草花颜色,是由两个遗传因 子决定，基因型为AA金鱼草开红花，Aa 型开粉红花，而 aa型开白花。,人类眼睛颜色,也是经过常染色体来控制。基因型为AA，或Aa 型人眼睛颜色为棕色，而 aa型人眼睛颜色为蓝色。,这里AA，Aa表示同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性。,如,西北大学数学系,第21页,5/1/2025,数学建模,父体-母体基因对,AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa,后代基因对,AA,1,1/2,0,1/4,0,0,Aa,0,1/2,1,1/2,1/2,0,aa,0,0,0,1/4,1/2,1,双亲体结合形成后代基因型概率矩阵,西北大学数学系,第22页,5/1/2025,数学建模,2 假设,分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa,植物占植物总数百分率。,第n代植物基因型分布为,表示植物基因型初始分布。,假设1,西北大学数学系,第23页,5/1/2025,数学建模,假设2,植物中第n-1代基因型分布与第n代分布关系由上表确定。,父体-母体基因对,AA-AA AA-Aa AA-aa,后代基因对,AA,1,1/2,0,Aa,0,1/2,1,aa,0,0,0,3 建模,西北大学数学系,第24页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第25页,5/1/2025,数学建模,4 求解模型,关键计算,特征值为1，1/2，0，,M可对角化，即可求,出可逆对角矩阵P，使,PMP,-1,为对角型矩阵。,特征值为1，1/2，0,特征向量分别为,西北大学数学系,第26页,5/1/2025,数学建模,则,西北大学数学系,第27页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第28页,5/1/2025,数学建模,当 时，,经过足够长时间后，培育出来植物基本上,展现AA型。,5 结论,西北大学数学系,第29页,5/1/2025,数学建模,练习题1,若不选取AA型植物与每种植物结合方案，而,是采取将相同基因型植物相结合，则情形怎样？,父体-母体基因对,AA-AA Aa-Aa aa-aa,后代基因对,AA,1,1/4,0,Aa,0,1/2,0,aa,0,1/4,1,在极限状态,下，后代仅,含有基因型,AA和aa。,西北大学数学系,第30页,5/1/2025,数学建模,遗传疾病是常染色体基因缺点由父母代传,给子代疾病。,常染色体隐性疾病,西北大学数学系,第31页,5/1/2025,数学建模,常染色体遗传正常基因记为A，不正常基因记为a，并以AA、Aa 和 aa 分别表示正常人，隐性患者和显性患者基因型。若在开始一代人口中AA、Aa 和 aa 基因型人所占百分比为a,0,，b,0,，c,0,，讨论在以下两种情况下第n代基因型分布。,1 控制结合：显性患者不能生育后代，正常人与隐性患者必须与正常人结合生育后代；,2 自由结合：这三种基因人任意结合生育后代。,西北大学数学系,第32页,5/1/2025,数学建模,父体-母体基因对,AA-AA Aa-AA,后代基因对,AA,1,1/2,Aa,0,1/2,西北大学数学系,第33页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第34页,5/1/2025,数学建模,当 时，,即经过足够长时间后，隐性患者消失。,西北大学数学系,第35页,5/1/2025,数学建模,练习题2,若采取随机结合方式，各基因型分布及改变趋势怎样？,在美国，以镰状网性贫血症为例。假如黑人中有10%人是隐性患者，在随机结合情况下，计算隐性患者概率从25%降到10%需要多少代？在控制结合下，经过这么多代，隐性患者概率对应下降到多少？,西北大学数学系,第36页,5/1/2025,数学建模,思索,在中国婚姻政策中有一项控制近亲（指直系血缘关系在三代以内）结婚限制。试用常染色体隐性病模型分析这项政策深远意义。,西北大学数学系,第37页,5/1/2025,数学建模,作业,血友病也是一个遗传疾病，得这种病人因为体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停顿。很有意思是，即使男人和女人都会得这种病，但只有女人才有经过遗传传递这种缺损能力。若已知某时刻男人和女人百分比为1:1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散数学模型。,西北大学数学系,第38页,5/1/2025,数学建模,森林管理问题,森林管理问题,西北大学数学系,第39页,5/1/2025,数学建模,森林中树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木总数保持不变。被出售树木，其价值取决于树木高度。开始时森林中树木有着不一样高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获前提下，怎样砍伐树木，才能使被砍伐树木取得最大经济价值。,西北大学数学系,第40页,5/1/2025,数学建模,题目要求做什么？,给出什么条件？,主要关系描述，数据及其说明,寻找条件与问题联络。,1.确定设计变量和目标变量；,2.确定目标函数表示式；,3.寻找约束条件。,关于审题,假如已判断该题是某类问题，,按这类问题要求寻找线索建模。,西北大学数学系,如：优,化模型,第41页,5/1/2025,数学建模,森林中树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木总数保持不变。被出售树木，其价值取决于树木高度。开始时森林中树木有着不一样高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获前提下，怎样砍伐树木，才能使被砍伐树木取得最大经济价值。,西北大学数学系,第42页,5/1/2025,数学建模,1 建模分析,目标函数：被砍伐树木经济价值。,决议变量：被砍伐树木数量。,约束条件：连续收获，总数不变。,西北大学数学系,第43页,5/1/2025,数学建模,2 模型假设,按高度将树木分为n类：,第一类，高度为,幼苗，其经济价值,第 k 类，高度为,每棵树木经济价值,第 n 类，高度为,每棵树木经济价值,假设1,记,为第 t 年开始时森林中各类树木数量。,西北大学数学系,第44页,5/1/2025,数学建模,每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定收获，只能砍伐部分树木，留下树木和补种幼苗，其高度状态应与初始状态相同。,设,分别是第1，2，n类树木,在采伐时砍伐棵数。,假设2,西北大学数学系,设森林中树木总数是 s，即,依据土地面积和每棵树木所需空间预先确定数。,假设3,第45页,5/1/2025,数学建模,假设4,每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一,年生长久内树木最多只能生长一个高度级，即,第k类树木可能进入k+1类，也可能留在k类。,设,是经一年生长久后，从第k类树木中进入k+1类百分比，则,是在一个生长久内留在第k类中树木百分比。,西北大学数学系,第46页,5/1/2025,数学建模,3 建模,先看没有砍伐时树木生长规律,西北大学数学系,变形，矩阵形式,第47页,5/1/2025,数学建模,定义,高度状态向量,和,生长矩阵,：,则没有砍伐时树木生长方程为,西北大学数学系,第48页,5/1/2025,数学建模,再考虑有砍伐和补种时情形,依据问题要求，要维持连续收获，即,生长久末状态,减去,收获采伐量,再加上,补,种幼苗数,应等于,生长久开始量,西北大学数学系,第49页,5/1/2025,数学建模,各式相加后，得,西北大学数学系,第50页,5/1/2025,数学建模,再记,则,西北大学数学系,第51页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第52页,5/1/2025,数学建模,所收获树木价值,问题,西北大学数学系,第53页,5/1/2025,数学建模,4 模型求解,利用线性规划理论和方法，得以下结论：,砍伐某一类树木而不砍伐其它类,树木时，可取得最大收益。,利用这一结论，设被砍伐树木为第 k 类，则,依据所建模型，,西北大学数学系,第54页,5/1/2025,数学建模,依据所建模型，,得,西北大学数学系,第55页,5/1/2025,数学建模,结果表明：,森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。,从第 k 年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度树木。,所以，森林中没有高于或等于 k 类高度树木。,问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最正确？,西北大学数学系,第56页,5/1/2025,数学建模,由,西北大学数学系,第57页,5/1/2025,数学建模,当森林中各参数给定时，分别计算,f,k,值，再 比,较选出最大即可。同时可计算出对应砍伐量。,西北大学数学系,第58页,5/1/2025,数学建模,5 算例,已知森林含有6 年生长久，其参数以下。求,出最优采伐策略。,解得,故全部收获第3类树木，可取得最大收益为14.7s。,西北大学数学系,第59页,5/1/2025,数学建模,6 深入思索,1 连续养鱼问题,2 企业连续发展问题,3 经济（社会）连续发展问题,西北大学数学系,第60页,5/1/2025,数学建模,马氏链介绍,（Markov Chain）,西北大学数学系,第61页,5/1/2025,数学建模,马氏链（Markov Chain）是随机过程一个特例，专门研究无后效条件下时间和状态均为离散随机转移问题，但在建模过程中采取线性代数方法，所以，也在线性代数模型中来学习。,马氏链介绍,西北大学数学系,第62页,5/1/2025,数学建模,（一）商品经营问题,某商店每个月考查一次经营情况，其结果用销路好或销路坏这两种情况之一表示。已知假如本月销路好，下月仍保持这种情况概率为0.5；假如本月销路坏，下月转变为销路好概率为0.4。试分析假若开始时商店处于销路好情况，那么经过若干月后能保持销路好概率有多大？若开始时商店处于销路坏情况呢？,一 正则链（Regular Chain）,西北大学数学系,第63页,5/1/2025,数学建模,0,1,2,3,4,1,0.5,0.45,0.445,0.4445,？,0,0.5,0.55,0.555,0.5555,？,1 分析,西北大学数学系,第64页,5/1/2025,数学建模,0,1,2,3,4,0,0.4,0.44,0.444,0.4444,？,1,0.6,0.56,0.556,0.5556,？,西北大学数学系,第65页,5/1/2025,数学建模,表示销路好；,表示销路坏；,2 符号说明,商店经营情况是随机，每个月转变一次。,建模目标,是经过一段时间（若干月）后，经营情况怎样，即经营好或经营坏概率分别为多少？,用随机变量,表示第 n 个月经营情况,称为这个经营系统状态。,用,表示第,月处于状态,概率，,即,称为状态概率。,西北大学数学系,第66页,5/1/2025,数学建模,表示已知这月处于状态,，下月处于状态,概率，,即,称为状态转移概率。状态及转移情况见图。,0.5,0.4,0.5,0.6,1,2,西北大学数学系,第67页,5/1/2025,数学建模,3 建模,令,P 概率转移矩阵,西北大学数学系,第68页,5/1/2025,数学建模,4 求解,P 特征值为1，1/10,西北大学数学系,第69页,5/1/2025,数学建模,当,西北大学数学系,第70页,5/1/2025,数学建模,5 结论,不论初始状态怎样，经过相当长时间后,经营状态趋于稳定概率。,注意到,经营系统在每个时期所处状态是随机，但从这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移，而且下个时期状态只取决于这个时期状态和转移概率，与以前各个时期状态无关。,西北大学数学系,第71页,5/1/2025,数学建模,这种性质称为,无后效性,，或,马尔可夫（Markov）性,，,即,已知现在，未来与历史无关,。,含有没有后效性，时间、状态均为离散随机转移,过程，通惯用,马氏链（Markov Chain）模型,描述。,马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域,有广泛应用，不但能够处理随机转移过程，还能够,处理一些确定性系统状态转移问题。,西北大学数学系,第72页,5/1/2025,数学建模,，当它全部分量是非负，,普通地，一个行向量,且行和为1，称此向量为,概率向量,。,每行都为概率向量矩阵，称为概率转移矩阵。,可证实,若A,B为概率转移矩阵，则AB也为概率转移矩阵。,若 P 为概率转移矩阵，则 P,n,也为概率转移矩阵。,西北大学数学系,第73页,5/1/2025,数学建模,证实,若A,B为概率转移矩阵，,而AB=C第 i 行，第 j 列元素为,显然，,西北大学数学系,第74页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第75页,5/1/2025,数学建模,定义1,一个有,个状态马氏链假如存在正整数,使从任意状态,经过,次转移都以大于零概率到,达状态,，则称为,正则链,。,定理1,若马氏链转移矩阵为,，则它是正则链,充要条件是，存在正整数,使,（指,每一,元素大于零）。,特点：,从任意状态出发经过有限次转移都能抵达另外任意状态。,（用这个定理检验一个马氏链是否为正则链。）,西北大学数学系,第76页,5/1/2025,数学建模,定理2,由,存在，记作,每一行都是稳态概率,假如记,那么，有,使得当,时状态概率,概率,无关。,正则链存在唯一,极限状态概率,与初始状态,由,又称为,稳态概率,。,西北大学数学系,第77页,5/1/2025,数学建模,上例中,西北大学数学系,第78页,5/1/2025,数学建模,从状态,出发经,次转移，第一次抵达状态,概,率称为,到,首达概率,，记作,，于是,为由状态,第一次抵达状态,平均转移次数。,尤其地，,是状态,首次返回平均转移次数,。,与稳态概率,有亲密关系，即,定理3,对于正则链,西北大学数学系,第79页,5/1/2025,数学建模,（二）信息传输问题,一条消息在,等人中传输，传输,方式是,传给,传给,如此继续下去，每次传输都是由,传给,每次传输消息失真率为,即,将消息传给,时，传错概率为,这么经过长时间传输第n个人得知消息时，消息,真实程度怎样？,西北大学数学系,第80页,5/1/2025,数学建模,第n个人知道消息可能是真，也可能是假，有两种状态，记为,表示消息假；,表示消息真；,用,表示第,个人处于状态,概率，,即状态概率为,由题意，状态转移概率矩阵为,西北大学数学系,第81页,5/1/2025,数学建模,由,为正则矩阵。,求 w=?,令,设,西北大学数学系,第82页,5/1/2025,数学建模,得,西北大学数学系,第83页,5/1/2025,数学建模,结论,长时间传输消息真实性趋于稳定，且消,息真假概率各半。,例1 中,西北大学数学系,第84页,5/1/2025,数学建模,练习,迷宫问题（1）,下面给出一个迷宫图。迷宫有两个分隔间，分别记为1，2。每个分隔间粉刷成不一样颜色，试验者把一只老鼠放在迷宫某个分隔间内，不一样颜色对老鼠吸引作用不一样，从第 i 个分隔间转移到第 j 个分隔概率为,（见后）,迷宫1,1,2,西北大学数学系,第85页,5/1/2025,数学建模,随即，试验者周期地观察老鼠位置。因为观察时间是间断，试验者不可能确定任何时刻老鼠位置，但希望知道，不论运动过程怎样，在经过较长一段时间后，运动是否趋于稳定？,三个分隔间情形怎样？,迷宫2,1,2,3,西北大学数学系,第86页,5/1/2025,数学建模,思索,右图给出一个迷宫图。,迷宫3,2,3,1,在第一个分隔间放进实物，其它两个分隔间粉成不一样颜色，老鼠可,由一个分隔间抵达其它分隔间，但当抵达第一分隔间时，被实物吸引，不再运动到其它分隔间，已知转移矩阵P，长时间后，老鼠运动状态怎样？,迷宫问题（2）,西北大学数学系,第87页,5/1/2025,数学建模,二 吸收链(Absorbing Chain),迷宫问题,（2）,问题,（1）经过n次观察后，老鼠处于各个分隔间概率？,（2）长时间运动后，老鼠运动状态怎样？,（3）若再增加一个放食物分隔间，情况又怎样？,西北大学数学系,第88页,5/1/2025,数学建模,1）分析,时间离散性,每个时段状态随机性,处于第 i个状态概率,若转移概率矩阵为P,西北大学数学系,第89页,5/1/2025,数学建模,2）马氏链模型,能够看出，老鼠从第2，3个分隔间能够以大于零概率到达每个分隔间，但从第1个分隔间，不能以大于零概率到达其它分隔间。,猜测：最终老鼠停留在第1个分隔间。,3）求解计算,求,西北大学数学系,第90页,5/1/2025,数学建模,记,西北大学数学系,第91页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第92页,5/1/2025,数学建模,因为从第2，3个分隔间总是以大于零概率到达第1个分隔间，,又由,记,西北大学数学系,第93页,5/1/2025,数学建模,本例中,西北大学数学系,第94页,5/1/2025,数学建模,4）结论,不论初始老鼠处于那个分隔间，长时间运动后，老鼠处于第1个分隔间概率为1，其它概率为零。,状态1为,吸收态,，2，3为,非吸收态,。,西北大学数学系,第95页,5/1/2025,数学建模,5）问题深入考虑,增加一个放食物分隔间。,注：1，2分隔间放食物，3，4 分隔间涂色。,西北大学数学系,第96页,5/1/2025,数学建模,记,西北大学数学系,第97页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第98页,5/1/2025,数学建模,初始,极限,初始,极限,西北大学数学系,第99页,5/1/2025,数学建模,结论,若初始老鼠处于1，2分隔间，长时间运动后，老鼠仍处于1，2分隔间；若初始老鼠处于第3，4分隔间，则经长时间运动后，在分隔间3，4概率为零，而以正概率分别进入1，2分隔间。,即不论初始状态怎样，经过长时间后，都将被吸收态吸收。,西北大学数学系,第100页,5/1/2025,数学建模,定义2,转移概率,状态,称为,吸收状态,。假如,马氏链最少包含一个吸收状态，而且从每一个非吸收,状态出发，能以正概率经有限次转移抵达某个吸收,状态，那么这个马氏链称为,吸收链,。,吸收链转移矩阵,标准形式,：,个吸收状态，,其中，,阶子方阵,特征值,满足,普通地,个非吸收态,西北大学数学系,第101页,5/1/2025,数学建模,表示以任何非吸收态出发，经过n步转移后，,抵达 t 个非吸收状态转移概率。,从状态,出发经,次转移，第一次抵达状态,概,率称为,到,首达概率,，记作,，于是,为由状态,第一次抵达状态,平均转移次数。,定义,西北大学数学系,第102页,5/1/2025,数学建模,定理4,对于吸收链,标准形式（上面矩阵），,可逆，且,记列向量,，则,第,分量是从第,被某个吸收状态吸收平均转移次数。,（基矩阵）,F 中每个元素，表示从任何非吸收状态出发，,过程抵达每个非吸收状态平均转移次数；,个非吸收状态出发，,西北大学数学系,第103页,5/1/2025,数学建模,设状态,是非吸收状态，,是吸收状态，那么首达概,率,实际是,经,次转移被,吸收概率，而,则是从非吸收状态,出发最终将被吸收状态,吸收,概率。记,，下面定理给出了计算,方法。,定理5,设吸收链转移矩阵,表为标准形式，则,西北大学数学系,第104页,5/1/2025,数学建模,练习 智力竞赛问题,甲、乙两队进行智力竞赛。竞赛规则为：竞赛开始时，甲、乙两队各记2分，在抢答问题时，假如甲队赢得 1 分，那么甲队总分将累加1分，同时乙队总分将降低1分。当甲（或乙）队总分到达4 分时，竞赛结束，甲（或乙）获胜。,（,1）甲队获胜概率是多少？,（2）竞赛从开始到结束，分数转移平均次数是,多少？,（）甲队取得，分平均次数是多少？,西北大学数学系,第105页,5/1/2025,数学建模,1）分析,表示轮数,每轮得分情况,处于第 i个状态概率,转移概率矩阵,甲,设甲得1分概率为,p,0 1 2 3 4,0,1,2,3,4,西北大学数学系,第106页,5/1/2025,数学建模,标准型,0 4 1 2 3,0,4,1,2,3,西北大学数学系,第107页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第108页,5/1/2025,数学建模,西北大学数学系,第109页,5/1/2025,数学建模,（,1）甲队获胜概率,（2）竞赛从开始到结束，分数转移平均次数,（）甲队取得，分平均次数分别为,西北大学数学系,第110页,5/1/2025,数学建模,作业,1 一个服务网络由k个工作站,依次串联,而成，当某种服务请求抵达工作站 时，能处理概率为 ，转往下一站 处理概率,为,，拒绝处理,概率为 ，满足 。,结构马氏链模型，确定抵达 请求平均经过多少工作站才能取得接收处理或拒绝处理结果，被接收和拒绝概率个多大？,西北大学数学系,第111页,5/1/2025,数学建模,2 空气污染问题,有 k 个城市 ，每一时刻 t=0,1,2,空气中污染物浓度 ，从t 到t+1，空气,中污染物扩散到 去百分比是 ，有,扩散到k各城市之外那部分污染物永远不再回来。,西北大学数学系,第112页,5/1/2025,数学建模,健康与疾病问题,人寿保险企业对受保人健康情况非常关注，需经过大量数据对状态转变概率作出预计，才能制订出不一样年纪、不一样健康情况人保险金和理赔金数额。假定对某一年纪段人，今年健康、明年保持健康状态概率为0.8，即明年转为疾病状态概率为0.2；而今年患病、明年转为健康状态概率为0.7，即明年保持疾病状态概率为0.3。假如一个人投保时处于健康状态，研究若干年后他分别处于两种状态概率。,西北大学数学系,第113页,5/1/2025,数学建模,0.2,0.7,0.8,0.3,1,2,西北大学数学系,第114页,5/1/2025,数学建模,经计算,0,1,2,3,4,1,0.8,0.78,0.778,0.7778,7/9,0,0.2,0.22,0.222,0.2222,2/9,0,1,2,3,4,0,0.7,0.77,0.777,0.7777,7/9,1,0.3,0.23,0.223,0.2223,2/9,西北大学数学系,第115页,5/1/2025,数学建模,0.02,问题深入考虑,人寿保险企业考虑到人死亡情况，把死亡作为第三种状态，用,表示。,0.18,0.65,0.8,0.25,1,2,3,0.1,西北大学数学系,第116页,5/1/2025,数学建模,设,表示状态概率，,表示状态转移概率，,其值见上图。,第,年状态概率可由全概率公式得到：,西北大学数学系,第117页,5/1/2025,数学建模,经计算,0,1,2,3,30,50,1,0.8,0.757,0.7285,0.2698,0.1293,0,0,0.18,0.189,0.1835,0.0680,0.0326,0,0,0.02,0.054,0.0880,0.6621,0.8381,1,假如设初始状态概率为,则当,时，,趋向与上表相同。,结论：不论初始状态怎样，最终都要转到状态3，,这代表了另一个主要马氏链类型。,西北大学数学系,第118页,5/1/2025,数学建模,钢琴销售存贮策略,问题：,钢琴是奢侈品，销售量很小，商店里普通不,会有多大库存量让它积压资金。一家商店依据以,往经验，平均每七天只能售出一架钢琴，现在经理制,订存贮策略是，每七天末检验库存量，仅当库存量,为零时，才订购3架供下周销售；不然，不订购。试,预计在这种策略下失去销售机会可能性有多大，,以及每七天平均销售量是多少。,西北大学数学系,第119页,5/1/2025,数学建模,问题分析：,对于钢琴销售，用户到来是相互独立，在服,务系统中通常认为需求量近似服从,泊松分布,，其参,数可由均值为每七天销售1架得到，由此能够算出不一样,需求量概率。周末库存可能是0，1，2，3架，而周初库存量只有1，2，3这3种状态，每七天不一样需求将造成周初库存状态改变，于是可用马氏链来描述这个过程。当需求超所库存时就会失去销售机会，能够计算这种情况发生概率。在动态过程中这个概率每七天是不一样，每七天销售量也不一样，通常采取方法是在时间充分长以后，按稳态情况进行分析和计算。,西北大学数学系,第120页,5/1/2025,数学建模,模型假设：,1.钢琴每七天需求量服从泊松分布，均值为每七天1架；,2.存贮策略是：当周末库存量为零时，订购3架，周,初到货；不然，不订购；,3.以每七天初库存量作为状态变量，状态转移含有,无后效性；,4.在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会概,率，和每七天平均销售量。,西北大学数学系,第121页,5/1/2025,数学建模,模型建立：,记第,周需求量为,，由假设1，,服从均值为1,波松分布，即,记第,周初库存量为,是这个系统,状态变量，由假设2，状态转移规律为,由第1个式子能够推出，,由此计算状态转移矩阵：,西北大学数学系,第122页,5/1/2025,数学建模,那么，得到,西北大学数学系,第123页,5/1/2025,数学建模,记状态概率,依据状态转移无后效性假设，有,依据定理1（,每个元素大于零），可知这是一个,正则链，含有稳态概率分布,，,可由定理2计算得,该存贮策略（第,周）失去销售机会概率为,按照全概率公式，有,西北大学数学系,第124页,5/1/2025,数学建模,其中条件概率,当,充分大时，能够认为,所以，,即从长久看，失去销售机会可能性大约10%,在计算该存贮策略（第,周）平均销售量,时，应,注意到，当需求超出存量时，只能销售掉存量，于是,西北大学数学系,第125页,5/1/2025,数学建模,即从长久看，每七天平均销售量为0.857架。,一样地，当,充分大时，用稳态概率,代替,得到,敏感性分析：,这个模型用到唯一原始数据是，平均每七天售出1架,钢琴，这个数值会有波动。为了计算当平均需求在1,附近波动时，最终止果有多大改变，设,服从均值,为,波松分布，即有,！,由此得状态转移矩阵为,西北大学数学系,第126页,5/1/2025,数学建模,对于不一样平均需求,（在1附近），类似于上面,计算过程，记,，可得到以下结果：,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,0.073,0.089,0.105,0.122,0.139,即当平均需求增加（或降低）10%时，失去销售机,会概率将增加（或降低）约15%，这是能够接收,。类似地能够做每七天平均销售量敏感性分析。,评注：,这是对已经制订存贮策略，用两个指标加以评价，,还能够给出其它策略和指标。,动态随机存贮策略是马氏链经典应用，关键之一,是在无后效性前提下恰当定义系统状态。这,个问题中以每七天初库存量作为状态变量即可，但,西北大学数学系,第127页,5/1/2025,数学建模,假如指定存贮策略不但与本周销售相关，还要,考虑上周销售情况，那么状态变量就要扩充，包,含,，对应状态转移概率也要改变。,思索,试解释为何模型中求解得到,为每七天平,均销售量会略小于模型假设中给出1。,西北大学数学系,第128页,5/1/2025,数学建模,2.将钢琴销售存贮策略修改为：当周末库存量为,0时订购本周销售量加2架；不然，不订购。建立,马氏链模型，计算稳态下失去销售机会概率和,每七天平均销售量。,练习,将钢琴销售存贮策略修改为：当周末库存量为,0或1时订购，使下周初库存到达3架；不然，不,订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机,会概率和每七天平均销售量。,西北大学数学系,第129页,5/1/2025,数学建模,
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