相似理论与模型试验.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,相 似 理 论 与 模 拟 实 验,授课对象：研究生,授课教师：潘卫东,二,一三年五月,1,1,概 述,1.1,引 言,人们在对自然规律的不倦探索过程中，首先采用数理分析的方法对自然现象进行计算和分析，这是人们探索自然的一种有力工具。随后采用现场测试来解决一些比较直观的现象，推动了生产的发展。但自然界的现象毕竟是错综复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或根本无法解决，于是迫使人们不得不走直接实验的道路。,2,但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓住现象的本质（全部），从而无法向实验条件范围以外的同类现象推广。,但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究的全新理论,“,相似理论,”,便应运而生了。它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。,3,当今，社会生产在不断发展，各个产业部门所提出问题日益复杂和繁多。用数学解析法（理论解）来解决这些课题愈来愈感到困难。有些课题至今尚未得到解析解，或者只作一些假设或简化后再求解，因而带来了一些误差。为了解决生产中和工程中提出的问题，人们开展了模型试验研究。,4,各种研究方法比较：,理论分析法,解析解较多。,数值计算,仿真分析,由于土木工程的一些不确定因素，输入参数难以精确，还有模型简化等问题，存在一定局限性。,现场实测,只有在工程施工过程中进行，投入较大，周期长。,模型实验,可使工程中发生的现象在实验室中再现出来，而且还可以对试验中主要因素进行独立控制。与现场实测相比，可进行方案的前期优化，具有省时、省力的优点。,5,1.2,相似理论,相似理论,是说明自然界和工程中各种相似现象相似原理的学说。它的理论基础，是关于相似的三个定理。,以相似理论为指导，形成研究自然界和工程中各种相似现象的新方法，即所谓的,“,相似方法,”,。,“,相似方法,”,是一种可以把个别现象的研究成果，推广到所有相似的现象上去的科学方法。,“,模拟,”,一般情况是指在实验室条件下，用缩小的（特殊情况下也有放大的）模型来进行现象的研究。,6,“,模拟试验,”,用人工的方法再现自然界的某一现象。,模拟：（,a,）、原型；,(b),、模型。,这样，又引伸出,“,模型试验,”,的概念。,模型试验,是相似方法的重要内容。在研究中起着很重要的作用，,从相似理论的角度出发，,“,模型,”,是与物理系统密切有关的装置，通过对它的观察与试验，可以在需要的方面精确地预测系统的性能。这个被预测的物理系统，通常被叫做,“,原型,”,。,7,根据这个定义，为了利用一个模型，当然有必要在模型与原型间满足某种关系。这种关系称为,模型设计条件,，或系统的相似性要求。,由此可见，相似理论与模型试验的关系是十分密切的，是整个问题的两个组成部分。,8,1.3,模型试验的意义和现状,模型试验的意义，可从五个方面加以说明：,模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界条件和自然条件的限制，做到结果准确。,模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便于把握、发现现象的内在联系。并且有时可用来对原型所得结论进行校验。,由于模型与原型相比，尺寸一般都是按比例缩小的。故制造加工方便，节省资金、人力和时间。,9,模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能直接研究的实物对象的性能。,当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。,目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用前景。,10,1.4,物理模拟和数学模拟,模拟试验,简单地说，是用人工的方 法再现自然界的某一现象。,物理模拟,是指基本现象相同情况下的模拟，也称为同类模拟。,这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。区别只在于各物理量的大小比例不同。,（两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。,11,数学模拟,是指存在于不同类型现象之间的模拟这时模型与原型的物理过程有本质的区 别，但它们的对应量都遵循着同样的方程式，具有数学上的相似性。如二阶运 算子,:,2,=,的微分方程 ，它可代表重力场、电势场、温度场等。这时，人们只要对不同的物理量建立起一一对应关系，便可用一个现象去类比另一不同现象的解。,在工程中，常用电场来模拟温度场、材料的应力场和有限自由度的振动系统。,12,下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明这个问题。,13,右边代表一个,L,R,C,串联电路，现在要由它来模拟左边由,k,，,m,，,u,组成的单自由度振动系统。,作为它们一一对比的量是：,电感,L,质量,m,电阻,R,阻尼,u,电容,C,弹簧,k,外加电压,E,外力,F,，,电荷,q,位移,y,，,(,单位时间的电荷变化量。,),14,它们之间方程式和初始相似性在于：,ky=F(t),t=0,时，,y=y,0,，。,L +R,t=0,时,q=q,0,，。,所以，只要适当地选择各种物理量和初始条件，就能使,y(t),和,q(t),在对应的时间内完全成比例地变化,因此，通过测量各种电量就能换算出位移、速度等机械量。,15,类似这种电路系统，当其适应性很强时，就是通常所说的模拟计算机。（仿真系统）。,物理模拟和数学模拟各有其特点,:,物理模拟可把具体的现象再现出来，较之数学模拟能更全面地表现被模拟的现象。,数学模拟由于以方程为基础，可较方便地看出各种参量对结果的影响。,16,物理模拟试验：相似材料模型试验；,光弹性模拟试验；,其它模拟试验：离心模型试验；,底摩擦模型试验（模 拟重力场）。,测试技术：电测,光测,声测,测试系统：传感器量测仪表记录分析器。,17,2,量 纲 理 论,2.1,量 纲,物理量的广义度量单位，相同的物理量具有相同的量纲。,如 尺寸（长度）,L,力,F,时间,T,它是表示物理量的种类，不是单位。,如长度单位有,m,，,cm,，,mm,，但量纲皆为,L,。,18,2.2,基本量纲与导出量,力学系统：,F,、,L,、,T,为基本量纲。,基本量纲具有：,(a),、独立性,(b),、完整,基本量纲不是固定不变的，可根据具体研究问题决定。一般选,F,、,L,、,T,较为方便。,v v=L/T,导出量纲：根据定义、定律由基本量纲导出的量纲。,F=ma m=M=,19,导出量纲：,某一量：,Q=L,a,F,b,T,c,M=FT,2,/L,则,a=-1,b=1,c=2,无量纲量：如应变,=L,0,F,T,=1,泊松比,u,无量纲量：与单位无关，模型大小可不相同。,20,2.3,微商的量纲,s,与,ds,的量纲皆为,L,。,t,与,dt,的量纲皆为,T,。,v=,，,V=,a=,，,a=,21,2.4,量纲的性质,a,、相同的物理量具有相同的量纲，但相同的量纲具有不同的物理量。,如应力和弹性模量，,、,E,，,b,、同量纲的物理量的比值为无量纲的量，此量与单位无关。（,=/E,）,c,、基本量纲的组合不能成为无量纲的量，但基本量纲与导出量纲的组合可成为无量的量。,如，,22,2,5,量纲的齐次原则,一个物理方程各项的量纲相同，称为量纲齐次原则,。,对于完全方程，除以方程中的任一项，将变为无量纲的量。,如：,s=v,0,t+L,但对于非完全方程如,P=0.013H(,重液公式,),则不成立。,23,2.6,量纲分析,基本量纲为,:LMT,例,1,、现在研究一个动力学问题，即,m,、,t,、,v,、,F,间相 互关系，简写为：,F=f(m,t,，,v),F=k.m,a,.,t,b,.v,c,F=kM,a,T,b,F=M.L.T,-2,两式量纲相同：,a=1,b-c=-2,c=1,所以,F=kmt,-1,v=k(,牛顿准则。,24,例,2,：,均布荷载作用下简支梁的跨中挠度。,解,y=f(q,，,EI,，,L),基本量纲：,F L,静力学问题，与时间无关。,y=L,y=k q,a,(EI),b,.L,c,L=kF,a,L,-a,.(F,b,L,-2b,.L,4b,).L,c,25,L,：,1=-a-2b+4b+c ,F,：,0=a+b ,y=k q,-b,EI,b,L,1-3b,令：,d=-b y=k,做二次试验后解得：,d=1,k=,y=,从上面二例可以看出，采用量纲分析法求等式的关键在于：,选择的物理参数要正确。,量纲分析法除了求导相似准则外，还可用于：（,1,）、导出无量纲量；（,2,）、可简化方程，把多个物理量减少等，其用途较多。,26,3,、相 似 理 论,3.1,相似概论,相似,两种物理量对应时刻的对应点成比例，可称,相似,。,3.1.1,几何相似,对应尺寸成比例。,如两个三角形相似，对应边成比例，,比例值,C,L,称为,几何相似常数,。,27,对应角相等（角度为无量纲的量）。,C,L,1-2,=,相似常数,相似常数,一对相似现象中所有对应点在对应时刻上同一物理量均保持其比值不变。,=idom,（相似不变量）,相似不变量,在对应点和对应时刻上保持相同的数值。,所有相似相象的相似不变量是一个常数，不变的。它是一个无量纲的量。,28,一个现象中的几个量的比值，在所有与它相似的现象中保持不变。,在所有相似现象中，某一量（无量纲综合数群）在相对应点和相对应时刻上保持相同的数值。,梁的截面模量,w=,C,w,=,C,I,=C,29,3.1.2,物理相似,荷载相似,模型与原型在对应点上同一时刻的对应荷载成比例。,（荷载方向相同，大小成比例）。,集中荷载相似：（集中荷载相似常数）。,令几何相似常数,荷载集度相似常数,c,q,=,弯矩相似常数,c,m,=,30,自重相似常数，压强：,c,密度：,c,如果模型与原型在对应点的荷载相似（成比例），只要其中一种荷载相似常数已定，则其它种荷载常数也就确定了。,弹性模量相似常数,面力：,31,3.1.3,运动相似,时间相似,:,时间相似常数,（距离相似）,则速度相似常数,:,研究动力学还有质量相似：,32,对于均质物体可用密度来表示：,动力学问题,:F=ma.,c,F,=c,m,c,a,=c,.c,3,L,.c,L,.c,t,-2,动力学相似指标,33,3,1,4,边界相似,力学：边界约束条件等。平面应力模型,平面应模型,模型试验中约束条件很重要。,3.1.5,起始条件相似,初始条件，如运动学中初始振动相位等,34,3.2,相似第一定理,它是说明相似现象的,性质,，模型与原型相似，那么应具有：,a,、,在对应点对应时刻成比例。,b,、,变化规律相同，可用相同的关系方程式来描述。,其中大多数的物理现象，其关系方程又可用微分方程的形式获得，,如质点运动方程和力学方程分别为：,c,、,各相似常数值不能任意选择，它们要服从于某种自然规律的约束。,下面我们以速度公式为例具体说明：,（,1,）,35,代入有关相似常数得：（,2,）,（,1,）式实际上可用于描述彼此相似的两个现象。这时第一现象质点的运动方程为：,（,3,）,第二现象质点运动方程为：（,4,）,将式（,2,）代入式（,4,），亦即在基本微分方程中对参数作相似变换，,可得：（,5,）,36,作相似变换时，为了保持基本微分方程（,3,）、（,5,）,的一致性,需使：,故,以后，我们把,C,称为,相似指标,，其意义在于：对于相似现象，它的数值为,1,。,同时也说明，各相似常数不是任意选择的，它们的相互关系要受,“,C,值为,1,”,这一条件的约束。,换言之，在,c,v,、,c,t,、,c,L,三者中，只有二者可任意选择，余者由上式确定。,37,这种约束关系还可以采取另外的形式，将相似常数,c,L,等代入得：,或 不变量,同理对于,f=ma,，得：或 不变量。,上两式的综合数群 和 ，都是不变量，它们被称之为,相似准则,。,38,应该注意：相似准则的概念 是,“,不变量,”,，而非,“,常量,”,。所说不变量，是因为相似准则这一综合数群只有在相似现象的对应点和对应时刻上才相等。,如果由微分方程说明的现象，取同一现象的不同点，则因其物理变化过程的不稳定性，有：,所以，相似准则只能说成是不变量，不能说成是常量。,39,相似第一定理：,两相似现象的相似指标为,1,，相似准则相同。,相似指标,相似现象的比例常数。,相似准则,相似现象应遵守的规律。,相似准则与相似常数是不同的，它是总合地而不是个别地反映单个因素的影响，能更清楚地显示过程的内在联系。,当用相似第一定理指导模型研究时，首先重要的是导出相似准则，然后在模型试验中测量所有与相似准则有关的物理量。,当微分方程较简单时，找出相似准则并不困难。,但当方程无从知晓时，或是很复杂时，应采用其它的方法。,当现象的相似准则数超过一个时，问题便进入了相似第二定理的范畴。,40,3.3,相似第三定理,相似的充分必要条件。,相似现象应遵守的条件：,两相似现象一定能用一个方程组来描述。,单值条件相似。,几何条件（几何相似）,物理条件：荷载,介质的,E,、,、,R,（强度）。,运动条件：,t,、,v,边界条件,始初条件,41,(3),由单值量组成的相似准则要相等。,充分必要条件,（而不是任意的相似准则要相等）。,单值量,是指单值条件下的物理量。而单值条件是将一个个别现象从同类现象中区分开来。,相似第一定理是从现象已经相似这一事实出发来考虑问题的，它说明是相似现象的性质。,42,设有二现象相似，它们都符合质点运动的微分方程,V=,，如图所示的两组相似曲线（实线）。,得到：,43,图中,“,1,”,、,“,2,”,为两现象的对应点。,现在，设想通过第二现象的点,1,和点,2,，找出同类的另一现象,第三现象，图中虚线所示。,显然，第二、第三现象的曲线并不重合，故第三现象与第一现象并不相似，说明通过点,1,、点,2,的现象并不都是相似现象。,为了使通过点,1,、点,2,现象取得相似，必须从单值条件上加以限制。如在这种情况下，加入初始条件：,t=0,，,v=0,，,L=0,。,44,这样，既有初始条件的限制，又有单值量组成,的相似准则 值一致，两个现象便必相似。,由此看来，同样是 值相等，相似第一定理未,必能保证现象的相似，而第三定理从单值条件上对 它进行补充，保证了现象的相似。,因此，第三定理是构成相似的充要条件。严格地说，这也是一切模型试验应遵循的理论基础。,45,3.4,相似第二定理（,定理）,相似第二定理可表述为：,设一个物理现象如果含有,n,个物理量,(x,1,、,x,2,、,、,x,3,、,x,n,)=0,，其中有,m,个为基本物理量（其量纲是相互独立的），那么这,n,个物理量可表示成是（,n-m,）个相似准则,1,、,2,、,n-m,之间的函数关系：,f(,1,、,2,、,n-m,)=0 (1),准则方程。,46,定理的作用：,对于彼此相似的现象，在对应点和对应时刻上相似准则都保持同一值，所以它的,关系式也应当是相同的。一般用下标,“,p,”,和,“,m,”,分别表示原型和模型，则,关系式分别为：,f,1,(,1,、,2,、,n-m,),p,=0,f,2,(,1,、,2,、,n-m,),m,=0 (2),其中：,1m,=,1p,2m,=,2p,(3),(n-m)m,=,(n-m)p,(4),47,由（,4,）式可见，如果把某现象的实验结果整理成（,1,）式所示的无量纲的,关系式，则该关系式便可推广到与它相似的所有其它现象上去。,而在推广的过程中，由式（,4,）可知，并不需要列出各,项间真正的关系方程（不论该方程发现与否）。,基本物理量：具有基本量纲的物理量。,而准则方程是无量纲量。我们不能由基本物理量组成,n,个准则方程。,如设想,n=m,的特殊情况，这时所有参量的量纲是相互独立的，故其自身便无法构成任一个无量纲组合的相似准则。（否则，如何将其量纲消去）。,48,当由,n,个物理量、构成,n-m,个,项，每个,项中必定要有一个物理量区别于其它,项的独立变量。,定性准则,由单值条件组成的相似准则。,非定性准则,由非单值条件组成的相似准则。,有时，可由定性准则导出非定性准则。,由此可见,，相似第二定理是十分重要的，它可用于多相似准则之间的模拟。但是，在它的指导下，模型实验结果能否正确推广，关键又在于是否正确地选择了与现象有关的物理量。,对于一些复杂的物理现象，由于缺乏微分方程的指导，问题较难。,49,4,、,相似准则的导出方法,作为相似第二定理的补充，必须找到相似准则的导出方法。,相似准则的导出方法常用有：定律分析法、方程分析法、量纲分析法三种。,从理论上说，三种方法可得到同样的结果，只是用不同的方法来对物理现象（或过程）作数学上的描述。,50,4.1,用定律分析法导出相似准则,这种方法要求人们对所研究的现象运用已掌握的全部物理定律，并能辨别其主次。一旦这个要求得到满足，问题的解决并不困难，而且还可获得数量足够的、反映现象实质的,项。,但这种方法的缺点是：,只是就事论事，看不出现象的变化过程和内在联系，故作为一种方法，缺乏典型意义。,由于必须要找出全部物理定律，所以对于未能全部掌握其机理的、较为复杂的物理现象，运用这种方法是不可能的。,关于这方面内容，大家可参考有关资料。,51,4.2,用方程分析法导出相似准则,这里所说的方程，主要是指微分方程，此外，也有积方程，积分,微分方程。这种方法的,优点,是：,结构严密，能反映对现象来说最为本质的物理定律，故结论可靠。,分析过程程序明确，不易出错。,各种因素的影响地位一览无遗，有利推断、比较和检验。,缺点,：在方程尚处于建立阶段时，需要人们对现象的机理有深入的认识。求解方程有时难以得到完整解。,52,用方程分析法求相似准则时，主要有：相似转换法和积分类比法。作为实例，现在考察图右的,“,弹簧,质量,阻尼,”,系统。,研究,y,的函数关系。,53,系统有,7,个变量：,变量：量纲,位移,L,质量,FL,-1,T,2,阻尼系数,FL,-1,T,弹簧刚度,FL,-1,初始速度,v,0,LT,-1,初始距离,y,0,L,时间,t T,显然，表中除位移,y,外，均为独立变量 因此，如考虑基本量纲数为,3,，则独立相似准则为：（,7-1,）,-3=3,个。,54,4.2.1,相似转换法,其步骤为：,写出现象的基本微分方程。,质量的位移方程为：,m (1),写出全部单值条件，第一现象用,“,”,表示，第二现象用,“,”,表示，因此可得各参量的相似常数为：,55,考虑物理条件相似时：,c,m,=,c,u,=,c,k,=,考虑边界条件相似时：,c,y,=,考虑起始条件相似时,(,此时,t=0),c,v0,=,c,y0,=,(2),56,将微分方程按不同现象写出：,m,(3),m (4),57,进行相似转换。将,“,”,参量用,“,”,参量代替，式（,4,）按（,2,）的关系代入得：,（,5,）,作相似变换时，为了保证基本微分方程的一致性，各项系数必须彼此相等，即：,故得两相似指标方程如下：,(6,）,58,（,7,）,另一个相似指标方程要由分析起始条件建立，即当,t=0,时，,，,y=y,0,若这时考虑二现象，可得：，,y=y,y=y,59,也进行相似转换，得：,c,y,=c,y0,（,8,）,60,将式（,2,）所表示的相似常数值代入（,6,）（,7,）（,8,）式，可得相似准则式为：,不变量,=,1,不变量,=,2,不变量,=,3,此处，即为独立的相似准则。,61,非独立相似准则为：,y/y,0,，,综合以上，可构成,关系式为，,方程式：,4,2,2,积分类比法,积分类比法是一种比较简单的办法，一般都用它来代替相似转换法。其步骤如下：,m (1),62,写出现象的基本方程（或方程组）及其全部单位 条件。同前。,用方程中的任一项除其它各项（如前例中）：,将各项中涉及的导数用相应量比值，即所谓的 积分类比来代替。就是说，将所有微分符号去掉，仅,留下量本身的比值，就是以 则：,63,U ,ky/m ,对于 统一代替物,v/L,。,64,上面两式的相似准则由于只利用了物理和边界两种单值条件的参量，故利用起始条件，可另立二式如下，即,t=0,时：,y=y,0,，,对前式进行积分类比得：,不变量,由后式则可得因变量,项为：。,65,至此，各,项全部求得：其,关系式为：,上式中给出的,关系式并不合理，因为在,自变,项 中带有待测因变参量,y,，不利于模型,试验的进行。为此可将初始条件代入,项，使之改,换成 而,关系式也因此变为：,66,4,3,用量纲分析法导出相似准则,量纲分析法是在研究现象相似性问题的过程中，对各种物理量的量纲进行考察时产生的。它的理论基础是量纲的齐次原理。,量纲分析法的优点：对于一切机理尚未彻底弄清，规律也未充分掌握的复杂现象来说，尤其明显。它能帮助人员迅速通过相似性实验核定所选参量的正确性，并在此基础上不断加深人们对现象机理和规律的认识。,在定律分析法、方程分析法和量纲分析法三种中，后二种方法用得较多，其中又以量纲分析法为多。它是解决近代工程技术问题的重要手段之一。,67,当所研究的物理现象较为复杂时，要通过量纲方程来说明问题就很困难，往往会遗漏、错选与现象有关的主要参量。这就要求人们通过实践不断摸索，抓住主要参量，得出近似的结果，即,“,近似模拟,”,。,通过相似理论证明，在复杂现象中，因量纲分析法的弱点而产生的近似模拟，常常是比较合理的。,相似准则的导出：,当用量纲分析法决定相似准则时，我们需知道现象所包含的物理量就可以了。但当物理量很多时，,项的数目也会多起来，决定它们并不容易。下面从简单例子说起。,68,例一：自由落体,参量为,s,g,t,如果参量选择正确，即相似准则可取如下形式：,=s,a,g,b,.t,c,将量纲代入：,=L,0,t,0,=L,a,LT,-2,b,T,c,两边量纲相等：,L,：,a+b=0,T:-2b+c=0,上式为二个方程，三个未知数，故无法解出,a,、,b,、,c,具体值。为此需设定其中一个值。若设,a=-1,，可得：,b=1,，,c=2,，便可求得：,=,69,如设,a=1,，,b=-1,，,c=-2,，则可得：,=,也是相似准则。,例二、质点的力学方程,参数为,f,，,m,，,v,，,t,，则相似准则可取如下形式：,=f,a,m,b,v,c,t,d,=F,0,L,0,T,0,=F,a,FL,-1,T,2,b,LT,-1,c,T,d,F:a+b=0,L:-b+c=0,T:2b-c+d=0,得,=,70,上面二例，都符合相似第二定律关于相似准则数的论述，即,3-2=1,，,4-3=1,。,上面为单个相似准则，如为多个相似准则，可采用,量纲矩阵,的方法，它为人们求取具体相似准则提供了一种更为直观的形式。方法如下：,对于我们前面用方程分析法导出相似准则的例子（此为,“,弹簧,质量,阻尼,”,系统）：,该系统有,7,个变量分别为,y,、,m,、,u,、,k,、,v,0,、,y,0,、,t,。,如果我们不知道它们的关系式如何，可令其为：,f(y,，,m,，,u,，,v,0,，,y,0,，,t)=0,其准则关系式为：,=,71,将量纲矩阵的上方加上各参量的指数就行了。,a,1,a,2,a,7,即为指数，则量纲矩阵如下所示。,它们的量纲矩阵是：,（上式中：,m,：,FL,-1,/T,2,，,u,：,FL,-1,T,，,k,：,FL,-1,）,72,按此矩阵，可得三个线性齐次代数方程如下：,F,：,L,：,T,：,三个方程无法解出,7,个未知数，故应使未知数中的三个转化为其余,4,个未知数的函数关系。,设,a,4,、,a,5,、,a,7,为三个方程中的任意假定的已知量，则,a,1,、,a,2,、,a,3,分别为：,(1),73,因本例中相似准则数为：,7-3=4,个，（独立的为,3,个）。故,a,4,、,a,5,、,a,6,、,a,7,应前后设定四套数值。最简单的为办法是设其中一个值为,1,，而其余值为,0,，因此：,当,a,4,=1,a,5,=a,6,=a,7,=0,时，可得：,a,1,=0 a,2,=1 a,3,=-2,；,当,a,5,=1,a,4,=a,6,=a,7,=0,时，可得：,a,1,=-1 a,2,=1 a,3,=-1,；,当,a,6,=1,a,4,=a,5,=a,7,=0,时,可知：,a,1,=-1 a,2,=0 a,3,=0,；,当,a,7,=1,a,4,=a,5,=a,6,=0,时,可得：,a,1,=0 a,2,=-1 a,3,=1,。,74,此解可简明地列矩阵形式，取名为,矩阵：,从上面,矩阵可以看出，第一、二、三列所代表的四行恰好是式（,1,）各方程中等号右侧,a,4,、,a,5,、,a,6,、,a,7,的系数。而四、五、六、七列则构成单位矩阵。掌握了这个特点，可以很快地将,矩阵写出。,75,在,矩阵中，每一行代表无量纲乘积的一组指数。据此，可建立起数目与行数相同的各独立,项来。分别为：,1,=mu,-2,k=,2,=y,-1,mu,-1,v,0,=,3,=y,-1,y,0,=,4,=m,-1,ut=,因为位移,项作为因变,项，式（,2,）的不合理处在于参量,y,包含在独立,项的,2,中。为使模型试验得以进行，需以,2,除,3,改造成,2,；,76,这样便建立起,关系式为：,（,3,）,在前面关于方程分析法一节，我们得到这一系统的,关系式为：,（,4,）,比较式（,3,）和式（,4,）可知，前者各独立,项分别以独立变量,k,、,v,0,、,t,相区别，后者各独立,项分别以独立变量,u,、,t,、,v,0,相区别。但从性质上说，两个,关系式都是一致的。因为式（,3,）各,项的代数转变，可得式（,4,）结果。,77,补充：,关系式的特性：,任何两个（或多个）,项的代数转变，如加、减、乖、除、提高或降低幂次，仍不改变原关系式的函数性质。但条件是：,幂次不得升、降至零。,项总数不得增加或减少（因,项总数是由物 理量总数和基本量纲之差决定，是个定值）。,具体为：若相似准则分别为,1,、,2,、,r,，则：,a,、,i,ai,b,、,c,、,a1,1,d,、,i,a,e,、,a,i,78,这是因为经过转换后的,项仍是无量纲综合数据。,这也说明相似准则形式的可转换性。,为了利于模型设计，在求相似准则时，可考虑以下几点：,第一个应为因变量（第一个为所求量）。然后对 所求量影响大和容易控制的越在前。,矩阵越简单越好。,准则的个数,=,物理量,-,基本物理量。,每个准则中至少有一个物理量其它准则中没有，才是独立的，否则不独立。,79,准则最好有一定的物理意义。,准则尽量应容易满足，即准则包括的物理量 越少越好，最多为,m+1,。,需要被测量的物理量最好在非定性准则中出现。,并可通过代数转换，去掉相似准则中无法测量或难测量的量。,我们求准则的目的在于指导模型，那么，有了准则，可根据相似指标为,1,来设计模型。,再根据相似准则将模型结果还原到原型上去。,80,5,模型设计,5.1,模型设计,模型设计的理论基础是相似理论，我们这里所说的相似是指物理模拟（同类模拟）。,在模型试验中，首要问题是如何,设计模型,，以及如何将模型试验的结果推广到原型实体对象中。,一般情况下，模型设计程序为：,（,1,）,根据试验任务、目的，选择模型类型。,物理模拟、数学模拟。,如按模型试验研究范围可分为：弹性模型试验、强度模型试验。,81,如按试验模拟的程度分类：断面模型试验（平面），半整体模型，整体模型试验。,如按试验加载方法分类：静力结构模型试验，动力结构模型试验，等等。,（,1,）,对研究对象进行理论分析，用方程分析法或量纲分析法求相似准则。,（,2,）,确定几何相似常数,C,L,，定出模型的几何尺寸。,82,C,L,取选是一个关键一步，主要应考虑：,a,、,模型的尺寸大小要适中，可行，对于与结构物相互作用问题，应考虑影响范围。,b,、,测量手段，应考虑传感器的大小和精确度要求。当传感器精度不够时应加大模型尺寸。,c,、,试验待求量应方便、可以实施。,83,常用模型的缩尺比例,结构类型 弹性模型 强度模型,壳体,板构,桥梁,砼坝,84,所以在结构模型试验中，其几何尺寸的确定需要综合考虑模型类型、材料、制作条件、加载能力、测点布置以及设备条件等等，才能确定出一个最优的几何尺寸。,小尺寸模型所需载荷小，但制作困难，加工精度高，对量测仪器要求也高。尺寸大的模型所需荷载大，但制作方便，对量测仪器一般无特殊要求。,通常，线性模型尺寸较小。而非线性、强度破坏模型，特别是钢筋砼结构模型尺寸较大。具体如上表。,85,（,1,）,根据相似准则，计算各参数在模型试验中的数 值,模型设计。,（,2,）,绘制模型制造、测点布置和载荷分置图。,（,3,）,安排试验顺序。,（,4,）,进行试验和量测。,（,5,）,数据整理。并把模型数据转换到原型上去。或确定试验结果可以应用的条件。,86,例,1,静态应力模型,这是一个弹性模型，可求解静态应力问题。,a,、,求导准则,平衡方程：,几何方程：,，,87,物理方程：,单值条件：几何相似：,物理相似：,体力相似：,边界条件：,88,非定性量（被测量）：,应力：,应变：,位移：,89,采用方程分析法求相似准则：,对于平衡方程：,相似指标：,相似准则,1,=,由几何方程：，,2,=,90,由物理方程：,3,=,c,u,=1 ,4,=u ,由面力边界：,5,=,由于上面,5,个准则是由,5,个不同方程求得的，故是相互独立的。,91,b,、对于 为广义相似,对于,c,时，为严格相似，最好。,对于一些相似材料模型试验，当,c=2,8,时，在小变形情况下所引起的应力误差,5%,，这在工程上是允许的。但在大变形情况下，不精确。,92,对于严格相似（,c,）时，有：,93,如对于一个软弱岩体高边坡问题，原型为,20m,高，试验室内可采用相似材料模型试验，取,1m,，则,c,L,=20/1=20,可采用石膏作相似材料，通过试验可知：,C,E,=,，由 得：,即 （石膏的混合料比岩石大,10,倍，很难，找不到这种材料。）,为此：取 ,1,而是,=5,，,则 ，故可在石膏中加铁屑即可。,这就是说，不是 非取,1,不可，在小变形范围内，可取,94,对于相似材料试验：,C,l,=20,，,C,r,=2,，,C,E,=20,，,C,u,=1,则有：,C,=C,r,C,l,/C,E,=2,C,=C,C,l,=2*20=40,但对于大多数结构试验，采用严格相似，则,=1,，这时不考虑自重应力场,95,5.3,试验方法,5.3.1,模型材料,（一）,模型材料的选择,对模型材料，一般要求为：,a,、,对于研究应力状态，模型材料必须保证具有良好的线弹性特性。对于强度模型，则模型材料应接近或等于原型结构的材料强度，才有可能进行破坏试验。,b,、满足相似指标要求，如,E,、,u,、,等均应符合相似条件。,c,、,满足必要的测量精度。,为了提高测试精度，宜采用,E,较低和容重较大的材料，但也应防止材料的非线性特性。,96,另外，用于结构模型试验的材料，从试验技术的角度出发，需考虑如下具体问题：,a,、弹性模量,E,大，获得足够的变形，增加荷载，模型支座的刚度要强，不如降低,E,。,E,过小，结构刚度过低，测量仪器的刚性又可能妨碍模型结构的变形，影响试验结果。,b,、泊松比,无量纲量，应相同才能满足相似指标。如不相同，产生试验误差。,97,c,、徐 变,即变形是时间、温度和应力的函数。一切合成材料几乎都有徐变。为提高试验精度，应选用徐变小的材料。,d,、导热性,目前，结构模型试验中测量多用电阻应变片测量，所以模型材料导热系数有重要的影响，应选项导热性好的材料。,e,、可加工性。,应综合考虑。,98,（二）常用结构模型试验材料,常用材料如下：,a,、金属,金属的力学特性大多符合弹性理论的基本假定，如果原型结构为金属结构且对测量值的准确度有严格要求时，则它是最适宜的模型材料，最常见的是,钢和铝,。,最近，铝合金材料用得较多，因为它有较低的,E,和良好的导热性。,99,b,、,塑料,有双氧树脂、聚乙烯和有机玻璃等。,和钢材、砼、石膏相比较，其优点是强度高而弹模低（约是金的,0.1,0.02,倍），便于加工。,缺点是徐变大、,E,随温度、时间而变化。,塑料被大量地用来制作板、壳、框架、桥梁以及形状复杂的结构模型，其中有机玻璃和环氧树脂用得最多。（光弹模型材料）。,100,c,、,石膏,石膏用作结构模型材料已有,40,多年的历史，它 的性质和砼较接近，常用来模拟砼或钢筋砼。,其优点是成型方便、性能稳定、易于加工等。且可以石膏作基本胶结材料，通过掺加不同外加料的方法改善其力学和变形特性。如加入岩粉、砂、水泥、浮石、铁砂等。,d,、,水泥砂浆,101,e,、,微砼,用作砼或钢筋砼结构的相似模型。（石子直径,5mm,）。其力学性能与砼相接近。,模型用钢筋一般是采用细钢丝。,f,、地基基础结构模型相似材料,相似材料一般常以砂为基本材料，以石膏、石灰、粘土作为粘结料，来组成模型土体相似材料。,通常,c,L,=20,50,时，采用石膏和砂为主的混合料，或加入适当的掺加料。,102,5.3.2,加荷方法,（一）,集中力加荷,通常采用挂重法、杠杆加载和千斤顶加载等。,挂重法：数值稳定、载荷值不自动下降，其缺点是能产生的载荷值较小，一般,200KN,，加、卸载不方便。,千斤顶加载方便、数值大小可调，缺点是设备较贵。,（二）面力加载,单位面力强度为常数，如均布堆载、为线性变化，如水、土压力。,面力加载方法有：重堆堆载、挂载，液压加载、气压加载、千斤顶加载等。,液压多用水和水银，用液压加载可利用液压作用力沿高度呈三角形分布的特点来模拟水压力。,103,（三）体力加载,在结构模型试验中，体力是一项重要的荷载，它是指结构、基础结构及其地基岩土的自重。,通常施加体力的方法有：,、用分散集中载荷代替自重,、用面力代替体力的方法,、选高容重、低强度模型材料。,a,、用分散集中力代替体力方法,将模型划分成许多部分，找出每一部分重心，然后施加等于该部分模型自重的集中载荷。,b,、,用面力代替体力的方法。,对于常体力弹性模型，可采用以面力代替体力。,104,c,、,选择高容重、低强度模型材料的方法,由相似原理 ，当 时，即模,型与原型材料容重相同，不需另加模型自重荷载。但,c ,c ,即弹模小，强度低。,d,、预应力加载,对于预应力钢筋砼或其它预应力结构，预应力产生的载荷在模型在施加的方法一般有两种。一是采用锚头和张拉设备；另一种方法是施加外载，但应在弹性范围内。,105,e,、动力加载,（,1,）激振法,小尺寸模型的激振可采用声波（扬声器）或压电 晶体激振模型，强迫模型振动的激振。,大尺寸模型可采用冲撞形式施加。,（,2,）电磁振动法,电磁振动台是结构模型试验中常用的加载方法。,（,3,）电液伺服法,这是目前最先进的动力加载方法。精度高。,106,6,离心模拟试验,6.1,基本原理,岩土工程问题中，自重产生的应力场常对工程结构及周围介质的变形、强度和稳定性起主导作用。而在考虑自重的相似材料模拟试验中，必须使模型与原型在材料强度、容重、几何尺寸、变性性质、应力状态等方面都相似，且各相似比之间要满足一定的约束条件，但要同时满足这些相似条件很困难。,同时，岩土体的物理力学性质又很复杂，因而，通常只能放松约束条件，这样的试验结果很难用来评价工程原型的实际力学行为和工程特性。,107,如果采用原型材料将工程原型按一定比例,C,L,缩制成模型，则模型与原型的物理力学性质完全相同，为了使模型应力状态能反映原型的应力状态，当体力只,有重力时，须满足以下条件：,因原型与模型的材料相同，故有,C,E,=1,，则有：,即：,所以，为使模型与原型的力学状态完全相似，模型的容重需为