圆中的动点问题方法培优卷.docx

1、〔8 分〕如图，在 Rt A ABC 中，ZACB =90 ° , AC =6, BC =8, P 为 BC
的中点.动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 /s的速度运动，以P为
圆心，PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t S
⑴当t=1.2时，判断直线AB与。P的位置关系，并说明理由；
(2)为AABC的外接圆，假设。P与。0相切，求t的值.

第26题)

解⑴直线AB与。P相切.
如图，过点P作PD 1AB ,垂足为D.
在 Rt A A BC 中，Z ACB = 90 ° , AC =6cm , BC =8cm ,
AB
JAC 2 BC 2 10cm .为 BC 的中点，PB =4cm .
•/ZPDB = ZACB = 90 ° , ZPBD = ZABC . /. A PBD a ABC .

.PD
AC
PBPD4
.£1,即呈L _L, .-.PD =2. 4 (cm).
AB610
当 t 1. 2时，PQ 2t 2. 4(cm)

... PD
PQ ，即圆心P到直线AB的距离等于。P的半径.

直线AB与。P相切.
⑵ZACB =90° , /.AB 为 ZkABC 的外切圆的直径.二 OB 1 AB 5cm .
2
连接 OP. 3 为 BC 的中点,OP IaC 3cm .
2
•.•点P在。O部，二。？与。O只能切.
.••5 2t 3或 2t 5 3 ,.，.t=1 或 4.
.•.OP与。O相切时，t的值为1或4.
2、如图：AB是OO的直径，弦BC=2 ,ZABC=60 °。〔1〕假设D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与OO相切。〔2〕假设动点E以2 /s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1 /s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(0<t<2：,连接EF ,当t为何值时，ABEF为直角三角形。

/.ZBAC =180-NCB -ZABC = 30〔三角形的角和等于180〕
•••AB =2BC =4cm 〔直角三角形中，30 锐角所对的直角边等于斜边的一半〕即OO的直径为4cm .
CD 切OO 于点 C,连结 OC，则 OC =OB = 1/2 - AB =2cm .
• CD ICO 〔圆的切线垂直于经过切点的半径〕
•••ZOCD =90〔垂直的定义〕
•.NBAC = 30 〔已求〕
AZCOD =2ZBAC = 60〔在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所
对的圆心角的一半〕
/.ZD = 180 -£OD -ZOCD = 30〔三角形的角和等于180 〕
.•.OD =2OC =4cm 〔直角三角形中，30 锐角所对的直角边等于斜边的一半〕
.•.BD =OD -OB =4 - 2 = 2〔cm〕
.•.当BD长为2cm , CD与。O相切.
〔3〕根据题意得：
BE =〔4-2t〕cm , BF =tcm ;
如图10〔2〕当EF 1BC时，^BEF为直角三角形，此时^BEF -△
BAC
•••BE : BA =BF ： BC
即：〔4 -2t〕： 4=t：2
解得：t=1
如图10〔3〕当EF 1BA时，ABEF为直角三角形，此时^BEF - △
BCA
•••BE : BC =BF ：BA
即：〔4-2t〕： 2 = t： 4
解得：t=1.6
.•.当t=1s或t=1.6s时，^BEF为直角三角形.
3、如图1,在矩形ABCD 中,AB=20cm ,BC=4cm ，点P从A开场沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开场沿CD边以lcm/s的速度移动，如果点P、
Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停顿运动.设运动时间为t〔 s〕.
〔l〕t为何值时，四边形APQD 为矩形.
〔2〕当P在AB上运动时，t为何值时，直线PQ与以AD为直径的圆相切.
〔3〕如图2,如果。P和。Q的半径都是2cm ,则t为何值时，OP和。Q外切.

AipB A―、P ； B

解：〔1〕根据题意，当AP=DQ 时，四边形APQD 为矩形.
此时，4t=20-t，解得 t=4〔s〕.
答：t为4时，四边形APQD 为矩形；
〔2〕当PQ=4时，。P与。Q外切.
① 如果点P在AB上运动.
只有当四边形APQD 为矩形时，PQ=4 .
由〔1〕，得 t=4〔s〕；
② 如果点P在BC上运动.
此时 t》5,则 CQ>5,PQ>CQ>5>4,•••OP与。Q外离;
③ 如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧.
可得 CQ=t , CP=4t-24 .当 CQ-CP=4 时，。P 与。Q 外切.
此时，t-〔4t-24〕=4 ,
解得t=20
3
④ 如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧.
当CP-CQ=4 时，OP与。Q外切.
此时，4t-24-t=4,
解得t=28
3
.••点P从A开场沿折线A-B-C-D移动到D需要11s,
点Q从C开场沿CD边移动到D需要20s ,而28/3 <11
.••当t为4s、理s、28 s时，OP与。Q外切.
33
在ABCD中，角DAB=60 度，AB=15 ，圆O的半径等于3, AB, AD分别
与圆O相切于点E、F
4、如图 1,在等腰梯形 ABCD 中，AB II DC , AD=BC=4cm , AB=12cm , CD=8cm
点P从A开场沿AB边向B以3cm/s的速度移动，点Q从C开场沿CD边向D
以1 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停顿运动•设运动时间为t〔s〕.
〔1〕t为何值时，四边形APQD 是平行四边形.
〔2〕如图2,如果。P和。Q的半径都是2cm，则t为何值时，。P和。Q外切.

解：〔1〕・.・DQ II AP ,

.•.当AP=DQ 时，四边形APQD 是平行四边形.此时，3t=8-t.解得t=2〔s〕.即
当t为2s时，四边形APQD是平行四边形.
C2：V0P和。Q的半径都是2cm ,
.•.当PQ=4cm时，0P和0Q外切.而当PQ=4cm 时，如果PQ IAD，则四边形
APQD 是平行四边形.
① 当四边形APQD 是平行四边形时，由〔1〕得t=2〔s〕.
② 当四边形APQD 是等腰梯形时，匕A=ZAPQ .
.•.在等腰梯形ABCD中，ZA= ZB ,
ZAPQ= ZB.
•.•PQ I BC .
四边形PBCQ 平行四边形.此时，CQ=PB .
.••t=12-3t .解得 t=3〔s〕.
综上，当t为2s或3s时，0P和0Q相切.
5、〔 2021 威海〕如图，在 ABCD 中，ZDAB=60°, AB=15cm . 的半径
等于3cm , AB ,AD分别与0 0相切于点E , F. 在 ABCD 沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停顿.试求。0滚过的路程.
解：连接0E , 0A .
•.•AB , AD分别与。0相切于点E, F,
...0E 1AB , 0E=3cm .
•.•ZDAB=60°,
•••Z0AE=30°.
在 Rt AA0E 中，0A=20E=6
•.•AE=.罚A2 0E 2 =应 32=3 招
• AD II BC, ZDAB=60°
•.ZABC=120 °
设当运动停顿时，。0与BC、AB分别相切于点M,N,连接0N,0B
同理可得BN="
EN=AB-AE-BN=153 = (15-4)
即。0滚过的路程是(15-4 v3)
6、〔 2021**〕〔10分〕如图是一个量角器和一个含30。角的直角三角形放置在一起的示意图，其中点B在半圆0的直径DE的延长线上，AB切半圆0于点F ,且BC 0E .
〔1〕求证：DE II CF ;
〔2〕当0E 2时，假设以0、B、F为顶点的三角形与^ABC相似，求0B的长.
〔3〕假设0E 2,移动三角板ABC且使AB边始终与半圆0相切，直角顶点B在
直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离.
〔1〕证明：连接OF ,
•.•AB 切半圆 O 于点 F,AZOFB=9G°,
•.NABC=90°,
/.ZOFB= ZABC ,
•.•OF II BC ,
•.•BC=OE , OE=OF ,
•••BC=OF ,
.•.四边形OBCF 是平行四边形，
• DE I CF ;
〔2〕假设△ OBF s^ACB
OB AC
•
OF AB
• OB=丽―
•/ ZA=30° , ZABC=90° , BC=OE=2 ,
...AC=4 , AB=2 0
又•.•OF=OE=2 ,
...Ob=4 ] 4 ©
假设△ BOF s △ACB ,
OB AC
• •
OF CB
...OB= AC OF
OB= 4 L 42
综上可知：OB的值是4或是4 "3
3
〔3〕解：画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线您£的长，
•/ ZA=30° , ...ZABO=30° ,二 BO=4 , /.BE=2 ,
.••点B移动的最大距离是线段8£的长为2.