椭圆双曲线抛物线必背的经典结论.docx

新梦想教育辅导讲义
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课题

授课时间：月曰
备课时间：
月日
教学目标

重点、难点

考点及考试要求

教学内容

椭圆双曲线抛物线必背的经典结论
椭
圆
1.
点P处的切线PT平分APFF2在点P处的外角.
2.
PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
X2 y2XX yy 1
5.
若「（x , y）在椭圆— -— 1上，则过P的椭圆的切线方程是一i -?0- Loooa 2 b 2，八 qoa2 b2.
6.
x2 y2xxyy .
若七侦，"在椭圆1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pp P，则切点弦P P的直线方程是0-^1.
oooa2 b21 21 2a2 b2
7.
椭圆一J 1（a>b〉o）的左右焦点分别为F/F 2，点P为椭圆上任意一点F]PF],则椭圆的焦点角形的面积为
a2b21212
SF1PF2 b2tan2.
x2y2 1
8.
椭圆云2 bT 1(a〉b〉o)的焦半径公式：
|MF | a ex |MF | a ex (F ( c, o) F (c, o)M (x ,y ))
1o ,2o 1'2o o
9.
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于
M、N 两点，则 MF _LNF.
10.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A]、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M, A2P和A@交于点N ,则MF LNF.

11.
x2y2
AB是椭圆—-—
a2b2
b2x

<
a2y
0
"ab
12.
13.
双曲线
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1的不平行于对称轴的弦，M &0,尸0)为AB的中点，则kOM
x2
在椭圆—
a2
y2
b2
.x x
L则被Po所平分的中点弦的方程是土a2
b2
k
AB
a2
b2
,a2
y2
b2 .
,、 x2
(x0，y0)在椭圆；y
a 2
y2
b2
1x2y2
】，则过Po的弦中点的轨迹方程是二—a 202
x-0a2 b2 .
点P处的切线PT平分APFF2在点P处的内角.
PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
以焦点半径PF］为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切・(内切：P在右支；外切：P在左支)
若P0(x0,y0)在双曲线
若P0(x0,y0)在双曲线
x x y y
线方程是京贵
x2 y2 .
双曲线后商1
角形的面积为S
F PF
12
除去长轴的两个端点.
x2
y2
—a2
b^
x2
y2
—a2

1

1(a>0,b>0) 外 ,
(a〉0,b〉o)
b2co t—
2 .
x x
1(a〉0,b〉0)上，则过P0的双曲线的切线方程是京
则过Po作双曲线的两条切线切点为
b2
P1、P2
则切点弦P1P2的直
的左右焦点分别为F「
F 2,点P为双曲线上任意一点
F PF
1 2
，则双曲线的焦点
双曲线箜m 1
a2 b2
^M (x0，y0)在右支上时，|MF11
当M (x , y )在左支上时，IMF | ex a |MF | 狂花乂J ,10,2
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的
C, 0),
(a>0,b>o )的焦半径公式：(F](
a, |MF | ex a
ex
0
F (c, 0)
2
ex
0
ex
0
双曲线准线于M、N两点，则MF INF.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, %、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和
于点N，则MF INF.
x2y2
枷是双曲线云-
vb2x
即^E
0
若P0(x0,y0)在双曲线
a2Q交于点m
A2P
和A1Q交
1(a〉0,b〉0)的不平行于对称轴的弦，M (x^y。)为AB的中点
则K
OM
AB
b2x
0-
,a2y
0
x2
y2
—a2
商
x2
y2
—a2
b2

若P (x ,y )在双曲线
0 双
x x
1(a〉0,b〉0),则被Po所平分的中点弦的方程是〜"a2
b2
a2 b2 .
1(a>0,b>0),则过Po的弦中点的轨迹方程是a；-^厂 —^.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)椭圆
1.
椭圆 -— 1(a >b> o)的两个顶点为A(a,0)A(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P P时AP与AP交a2 b?1，2，*]2、11"2 2
点的轨迹方程是—1.
a2 b2
2.
过椭圆a；b2 1(a> 0, > 0)上任一点A (x0，y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向
b2x
且kBC 37(常数).
0
3.
若P为椭圆云 m 1(a>b>0 )上异于长轴端点的任一点,甲F 2是焦点，PF1F2, PF2F1，则
a c ,一
tan—cot—
a c22 '
4.
设椭圆—— — 1(a>b> 0)的两个焦点为F",,(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△ PF F中，记 FPF,
a2 。21 21212
PF F, FF P ,则有.Sin .- e.
1 21 2sin sin a
X2 y2
5.
若椭圆后 b2 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,则当0<e</2 1时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2 y2
6.
P为椭圆a2 商 1( a > b > 0 )上任一点，牛F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2aIAF2 | |PA I IPF1 | 2aIAF1 I,当且仅当A,F2，P三点共线时，等号成立.
(x x )2 (y y )2
7.
椭圆」一厂J 1与直线 Ax By C 0有公共点的充要条件是
a2b2
A2a2 B 2b2(AxBy C )2
.
8.
已知椭圆一—1 ( a > b > 0 ), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且如 °Q .( 1 )a2D2
11114a2b2a2b2
|OP 2|OQ 2 a2 b2；⑵ |OP|2+|OQI2 的最大值为a2 b2；(3)S°P q 的最小值是 a2 b2 .
x2y2
9.
过椭圆后 商 1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交*轴于P,则
IPF | e
IMN | 2.
10.
已知椭圆一 — 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与*轴相交于点P (x, 0),则a2 D20

a2 b2a2 b2
X
0
11.
设P点是椭圆云b_ 1 （ a"〉。）上异于长轴端点的任一点,FL%为其焦点记
F PF
1 2

. 一.2b2 一
（1）|PF1 IPF2 | 1 cos .（2）S pFF b2 tan-.

12.
设A、B是椭圆一 — 1 （ a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PABa202
PBA
BPA
13.
14.
15.
16.
心分别是椭圆的半焦距离心、率,则有"Al ：：2；：：21•⑵tan tan 1
X2
已知椭圆
a2
在右准线1上
3 .⑶SPAB
y2
7— 1（ a>b> 0）的右准线1与*轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于
2
且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.
2a2b2
—cota2
b2
A、B
两点，点c
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e离心率）.
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
双曲线
1.
双曲线一 顼1（a>0,b> 0）的两个顶点为A（ a, 0）,A（a, 0）,与y轴平行的直线交双曲线于Pa2D2121>
P2 时 A1P1
2.
X2y2
与A2P 2交点的轨迹方程是
1
a2 b2
X2y2
过双曲线一a2 b2
1（a〉0，b〉o ）上任一点A（X0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B，c两点，则直

线BC有定向且kBC

b2X
—（常数）.a2y
0

3.
X2
若P为双曲线一a2
y2
b2
1（a〉0,b〉0）
右（或左）
支上除顶点外的任一点，E，F 2是焦点，pf1f2
tan—co t—
22
c a
（或——
c a
ta『cot一）
22 ）.

4.
X2
设双曲线——a2
y2
b2
1(a〉0,b〉0)的两个焦点为F1、F2，P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在^PF^ 2中，
5.
记FPF
12
PF F
1 2
FF P
1 2
sin
,则有（sin sin ）
X2
若双曲线一a2
y2
b2
1(a>0,b>0 )的左、右焦点分别为F］、F2,左准线为L
则当1 <e< (2 1时，可在双曲线

上求一点P,使得PF］是？到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为双曲线一7~1( a > 0,b> 0 )上任一点，F，F为二焦点，A为双曲线内一定点，则
a2b21 2
|AF2| 2a|PA | |PF］ I,当且仅当A，F2，P三点共线且P和A，F2在y轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线一 51(a>0,b>0)与直线AxBy C 0有公共点的充要条件是A2a2 B 2b2 C 2.
a202
8. 已知双曲线一—1 (b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且°P°Q .
a2 D2
11114a2b2a2b2
⑴ TOO TOO 07 b7;(2) |op|2+|oq| 2 的最小值为"^;(3)S°pq 的最小值是b7=.
9.
过双曲线兰m 1
a2 b2
|PF | e
干p ,则 —
于'则 |MN | 2 .
(a>0,b>0 )的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交*轴
10.
X2 y2
已知双曲线一—
a2 b2
a2 b2
1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与*轴相交于点P(x0，0),则
a2 b2

11.设P点是双曲线§ bl 1 (a>0,b>0 )上异于实轴端点的任一点，e、F2为其焦点记
(1)|PF |PF | 2b2 .(2)S b2cot_
1 2 1 cos PF1F2 2 .
F PF
1 2

12.
X2 y2
设A、B是双曲线一—
a2 b2
1 (a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，
PAB

PBA
BPA
2ab2 |cos |
c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA |…
|a2 c2cos2

13.
（2）tan tan
1 e2.⑶Spab
2a2b2
cot
b2 a2
X2 y2
已知双曲线一—
a2 b2
1 (a>0,b>0 )的右准线】与*轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、

B两点，点C在右准线1上，且BCX轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e离心率）.
注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.
17. 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
抛物线
P2
结论一：若AB是抛物线y2 2px（p 0）的焦点弦（过焦点的弦），且A（X,y）, B^,%）,则：XX2彳 y1y2p2。
结论二：（1）若AB是抛物线y2 2px（p°）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a,则|ab | 一^—（以用）。（2）焦点弦中通径（过sin2
焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
结论四：若抛物线方程为％ 2pXp°）,过（2p, 0）的直线与之交于A、B两点，则O A 1OB。反之也成立。
结论五：对于抛物线X2 2py （p °）,其参数方程为X 2pt设抛物线X2 2py上动点P坐标为（2pt,2pt2）,。为抛物线的y 2pt2,
2pt2
顶点,显然k0P末t,即t的几何意义为过抛物线顶点0的动弦OP的斜率

（P> 0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛
Bi

20.
21.
22.切线方程
性质深究
一）焦点弦与切线
1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处.
结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上.
结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3弦AB不过焦点即切线交点？不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴.
2、上述命题的逆命题是否成立.
结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线与*轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点.
结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径.ky
3、AB是抛物线

的准线，，，过A, B的切线相交于P, PQ与抛物线交于点M.则有
结论 6PA1PB.
结论 7PF1AB.
结论8 M平分PQ .
结论9 PA平分ZA1AB , PB平分ZB1BA.
结论10
结论11
二）非焦点弦与切线
思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时
也有与上述结论类似结果：
结论12①，
结论13 PA平分ZA1AB，同理PB平分ZB1BA
结论14
结论15点M平分PQ
结论16

教学主管意见:
家长签字：
新梦想教务处