线性代数第7讲PPT幻灯片课件.ppt

,单击此处编辑母版样式,单击此处编辑幻灯片母版样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,线性代数第,7,讲,分块矩阵,1,把一个,5,阶矩阵,用水平和垂直的虚线分成,4,块,.,2,把一个,m,n,矩阵,A,在行的方向上分成,s,块,在列的方向分成,t,块,称为,A,的,s,t,分块矩阵,记作,A,=,A,kl,s,t,其中,A,kt,(,k,=1,2,.,s,l,=1,2,.,t,),称为,A,的,子块,它们是各种类型的小矩阵,.,常用的分块矩阵,除了上面的,4,块矩阵,还有以下几种形式,:,3,按行分块,4,按列分块,5,当,n,阶矩阵,C,中非零元素都集中在主对角线附近,有时可以分块成,对角块矩阵,(,准对角矩阵,),其中,C,i,是,r,i,阶方阵,(,i,=1,2,.,m,;,r,1,+,r,2,+.+,r,m,=,n,),6,例如,7,下面讨论分块矩阵的运算,1.,分块矩阵的加法设分块矩阵,A,=,A,kl,s,t,B,=,B,kl,s,t,如果,A,与,B,对应的子块,A,kl,和,B,kl,都是同型矩阵,则,A,+,B,=,A,kl,+,B,kl,s,t,例如,其中,A,11,与,B,11,A,12,与,B,12,A,21,与,B,21,A,22,与,B,22,分别都是同型小矩阵,(,子块,).,8,2.,分块矩阵的数量乘法设分块矩阵,A,=,A,kl,s,t,h,是一个数,则,hA,=,hA,kl,s,t,.,9,3.,分块矩阵的乘法 设,A,是,m,n,矩阵,B,是,n,p,矩阵,如,A,分块为,r,s,分块矩阵,A,kl,r,s,B,分块为,s,t,分块矩阵,B,kl,s,t,且,A,的列的分块法和,B,的行的分块法完全相同,则,10,可以证明,(,但略去,),用分块乘法求得的,AB,与不分块作乘法求得的,AB,是相等的,.,11,例,1,将下列,5,阶矩阵,A,B,分成,4,块阵,并用分块矩阵的乘法计算,AB,.,12,解,由观察,可将,A,分成如下,4,块阵,13,将,B,分块为,14,则,15,故,16,例,2,设,A,是,m,n,矩阵,B,是,n,s,矩阵,B,按列分块成,1,s,分块矩阵,将,A,看成,11,分块矩阵,则,AB,=,A,B,1,B,2,.,B,s,=,AB,1,AB,2,.,AB,s,.,若已知,AB,=,0,则显然有,AB,i,=,0,i,=1,2,.,n,.,因此,B,的每一列都是线性方程组,Ax,=,0,的解,.,17,例,3,若,n,阶矩阵,C,D,可以分块成同型对角块矩阵,即,其中,C,i,和,D,i,是同阶方阵,(,i,=1,2,.,m,),则,18,例,4,证明,:,若,n,阶上三角矩阵,A,可逆,则其逆,A,-,1,也是上三角阵,.,证,对,n,作数学归纳法,n,=1,时,a,-,1,=1/,a,结论成立,.(,一阶矩阵可认为是上三角矩阵,).,假设命题对,n,-,1,阶可逆上三角阵成立,考虑,n,阶情况,设,19,其中,A,1,是,n,-,1,阶可逆的上三角阵,.,设,A,的逆矩阵为,则,20,于是,:,A,1,g,=,O,=,g,=,A,-,1,O,=,O,A,1,B,1,=,I,n,-,1,=,B,1,=,A,1,-,1,根据归纳假设,B,1,是,n,-,1,阶上三角矩阵,因此,是上三角矩阵,(,其中,b,11,=,a,11,-,1,;,b,=-,a,11,-,1,a,A,1,-,1,).,21,4.,分块矩阵的转置,22,5.,可逆分块矩阵的逆矩阵对角块矩阵,(,准对角矩阵,),的行列式为,|,A,|=|,A,1,|,A,2,|.|,A,m,|,因此,对角块矩阵,A,可逆的充要条件为,|,A,i,|,0,i,=1,2,.,m,这时,23,例,5,解,|,A,|=|,B,|,D,|,0,A,可逆,.,设,其中,X,与,B,T,与,D,分别是同阶方阵,于是由,24,BX,=,I,1,故,X,=,B,-,1,.,BY,=,O,故,Y,=,B,-,1,O,=,O,.,CX,+,DZ,=,O,故,DZ,=-,CX,=-,CB,-,1,Z,=-,D,-,1,CB,-,1,.,CY,+,DT,=,I,2,故,DT,=,I,2,T,=,D,-,1,.,所以,25,例如,26,则,27,6.,分块矩阵的初等变换与分块初等阵这里仅就,2,2,分块矩阵为例来讨论,.,对于分块矩阵,可以同样定义它的三种初等行变换和列变换,并相应地定义三类分块初等矩阵,:,(i),分块倍乘阵,(,C,1,C,2,是可逆阵,),28,(ii),分块倍加阵,(iii),分块对换阵,分块初等矩阵是方阵,它们左乘,(,或右乘,),分块矩阵,A,(,不一定是方阵,),在保证可乘的情况下,其作用与前述初等矩阵相同,.,29,例,6,设,n,阶矩阵,A,分块表示为,解,先对分块阵,A,作初等变换,将其化为上三角块矩阵,为此左乘分块倍加阵,其中,I,1,I,2,为单位阵,其阶数分别与,A,11,A,22,相同,.,30,于是,31,为求,A,-,1,将,B,化为对角块矩阵,为此取,32,记,33,例,7,证,先用分块倍加阵左乘,Q,使之化为上三角块矩阵,为此取,34,如此则有,35,今天作业,:,第,98,页开始,58,题,62,题,36,