2025年高考数学压轴训练二.docx

2025 年高考数学压轴训练 2
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•回忆版） 已知命题 p : x ∈ R ， | x + 1|> 1 ，命题 q : 3x > 0 ， x3 = x ，则 ( )
A ． p 和 q 都是真命题 B ． p 和 q 都是真命题
C ． p 和 q 都是真命题 D ． p 和 q 都是真命题
2 ．（2024•浙江模拟） 已知 a > 1 ， b > 1 ．设甲： aeb = bea ，乙： ab = ba ，则 ( )
A ． 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ． 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ． 甲是乙的充要条件
D ． 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3 ．（2024•宁波模拟）已知 Sn 是公比不为 1 的等比数列{an } 的前 n 项和，则“ S2 ，S6 ， S3 成等差数列 ”是 “存在不相等的正整数 m ， n ，使得 am ， amn ， an 成等差数列 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4 ．（2024•雅安模拟）直线 l : y = 3x + a 与曲线 y = sin 3x 相切的一个充分不必要条件为 ( )
A ． a = 1 B ． a = -2π C ． a = π D ．
5．（2024•兰山区校级模拟）如图，ΔABC 是边长为 6 的等边三角形，点 P 在 ΔABC 所在平面外，平面 PAC 丄 平面 ABC ，点D 是棱 BC 的中点，点 E ，F 分别在棱 AC ，PA 上，且 AF = 2PF ，AE = 3CE ，PE = CE ．现 给出下列四个结论：
① DE 丄 平面PAC ；
② BF 是定值；
③三棱锥 B - CEF 体积的最大值是 ；
④若三棱锥 P - ABC 的体积是 ，则该三棱锥外接球的表面积是 57π . 其中正确结论的个数是 ( )

1

A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
6．（2024•凉山州模拟）已知命题“是假命题，则 m 的取值范围为 ( )
A ． [—2 ， +∞) B ． (—2, +∞) C ． (—∞, —1) D ． (—∞ , —2]
7 ．（2024•福建模拟）宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语 类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有 ”．太极图（如下图）将 平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数 f(x) ，若存在圆 C ，使得f(x) 的图象能将圆 C 的周长 和面积同时平分，则称 f(x) 是圆 C 的太极函数．下列说法正确的是 ( )
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个
是x2 + 的太极函数
③太极函数的图象必是中心对称图形
④存在一个圆 C ， f(x)= sin x + cos x 是它的太极函数

A ．①④ B ．③④ C ．①③ D ．②③
8 ．（2024•广东模拟）已知函数 f(x) ，g(x) 的定义域为 R ，则“ f(x) ，g(x) 为周期函数 ”是“ f(x)+ g(x) 为周期函数 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
9．（2024•亭湖区校级一模）已知数列{an } 为等差数列，前 n 项和为 Sn ，则“2Sn+1 < Sn + Sn+2 ”是“数列{Sn } 为单增数列 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

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C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
10 ．（2023•涪城区校级模拟）若“ 3x ∈[1 ， 2] ，使 2x2 - λx +1 < 0 成立 ”是假命题，则实数 λ 的取值范围 是 ( )
A ． (-∞ , B ． C ． (-∞ , 3] D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•山东模拟）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD1 上运动，则下列 命题正确的有 ( )

A ．直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值

B ．三棱锥D - BPC1 的体积为定值

C ．异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值

D ．直线 CD 和平面BPC1 平行

12 ．（2024•重庆模拟）命题“存在 x > 0 ，使得 mx2 + 2x -1 > 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A ． m > -2 B ． m > -1 C ． m > 0 D ． m > 1
13 ．（2024•芝罘区校级模拟） 已知函数 f(x) = ex .x3 ，则以下结论正确的是 ( )
A ． f(x) 在R 上单调递增

C ．方程f(x) = -1 有实数解
D ．存在实数 k ，使得方程 f(x) = kx 有 4 个实数解
14 ．（2024•李沧区校级模拟）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点P 在线段 B1C 上运动，则 ( )

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A ．直线BD1 丄 平面 A1C1D

B ．三棱锥 P — A1C1D 的体积为定值

C ．异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范围是[45O ， 90O]
D ．直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为
15．（2024•长春模拟）设等比数列{an } 的公比为 q ，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积为Tn ，并且满足条件 a1 > 1 ， 则下列结论正确的是 ( )
A ． 0 < q < 1 B ． a7 a9 < 1

C ． Tn 的最大值为 T7 D ． Sn 的最大值为 S7
三．填空题（共 8 小题）
16 ．（2024•射洪市校级模拟） α , β 是两个平面， m ， n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果 m 丄 n ， m 丄 α , n / / β , 那么 α 丄 β .
（2）如果m 丄 α , n / /α , 那么 m 丄 n ．
（3）如果 α / / β , m α , 那么 m / / β .
（4）如果m / /n ， α / / β , 那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等． 其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号）
17 ．（2024•兰山区校级模拟）已知正四棱柱 ABCD — A1B1C1D1 的底面边长 AB = 6 ，侧棱长 它的 外接球的球心为 O ，点 E 是 AB 的中点，点 P 是球 O 上的任意一点，有以下命题：
① PE 的长的最大值为9；
②三棱锥 P — EBC 的体积的最大值是 ；
③存在过点 E 的平面，截球 O 的截面面积为 9π ;
④三棱锥 P — AEC1 的体积的最大值为20；

4
⑤过点 E 的平面截球 O 所得的截面面积最大时， BC1 垂直于该截面． 其中是真命题的序号是 ．

18 ．（2024•延庆区一模） 已知函数 给出下列四个结论：
①存在实数 a ，使得函数 f(x) 的最小值为 0
②存在实数 a < 0 ，使得函数 f(x) 的最小值为 —1
③存在实数 a ，使得函数 f(x) 恰有 2 个零点
④存在实数 a ，使得函数 f(x) 恰有 4 个零点 其中所有正确结论的序号是 ．
19 ．（2023•北京模拟） 已知函数 给出下 列结论：
①函数 f(x) 的值域为 ；
②函数 g(x) 在[0 ， 1] 上是增函数；
③对任意 a > 0 ，方程f(x) = g(x) 在[0 ， 1] 内恒有解；
④若存在 x1 ， x2 ∈ [0 ， 1] ，使得f(x1 ) = g(x2 ) 成立，则实数 a 的取值范围是 ． 其中所有正确结论的序号是 ．
20 ．（2023•石景山区一模） 项数为 k(k ∈ N* ， k开2) 的有限数列 {an } 的各项均不小于 —1 的整数，满足 a1 . 2k—1 + a2 . 2k—2 + a3 . 2k—3 + … + ak—1 . 2 + ak = 0 ，其中 a1 ≠ 0 ．给出下列四个结论：
①若 k = 2 ，则 a2 = 2 ；
②若 k = 3 ，则满足条件的数列{an } 有 4 个；

③存在 a1 = 1 的数列{an } ；

④所有满足条件的数列{an } 中，首项相同．

5
其中所有正确结论的序号是 ．
21 ．（2023•涪城区校级模拟）如图，在正方体 ABCD — A1B1C1D1 中， AB = 2 ， E 为棱DD1 的中点， F 是正 方形 CDD1C1 内部（含边界）的一个动点，且 B1F / / 平面 A1BE ．给出下列四个结论：
①动点F 的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点F ，使得 B1F 丄 A1B ；
③三棱锥 B1 — D1EF 的体积的最大值为 ；
④设直线 B1F 与平面 CDD1C1 所成角为θ , 则 tanθ 的取值范围是 ． 其中所有正确结论的序号是 ．

22 ．（2023•涪城区校级模拟） 已知函数 f(x) =| sin x | — cos x ， x ∈ R ．给出下列三个结论：
① f(x) 是偶函数；
② f(x) 的值域是 ， ·、] ；
③ f(x) 在区间上是减函数． 其中，所有正确结论的序号是 ．
23 ．（2023•丰台区校级三模） 已知在数列{an } 中， a1 = 1 ， an+1 + an = bn(b > 0) ，其前 n 项和为 Sn ．给出下 列四个结论：
① b = 1 时， S5 = 3 ；

② a3 > 0 ；
③当b > 1 时，数列{an } 是递增数列；
④对任意b > 0 ，存在 λ ∈ R ，使得数列{an — λbn} 成等比数列． 其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共 2 小题）
24．（2023•酉阳县校级模拟）命题 p ：任意 x ∈ R ，x2 — 2mx — 3m > 0 成立；命题 q ：存在 x ∈ R ，x2 + 4mx + 1 < 0

6
成立．
（1）若命题 q 为假命题，求实数 m 的取值范围；
（2）若命题 p 和 q 有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围．
25 ．（2022•黄浦区模拟）有以下真命题：已知等差数列{an } ，公差为d ，设 an1 ，an2 ， … , anm 是数列{an }
中 的 任 意 m 个 项 ， 若 则 有
（1）当 m = 2 ， r = 0 时，试写出与上述命题中的① , ②两式相对应的等式；
（2）若{an } 为等差数列， a2 + a4 + a8 + a16 + a32 + a64 + a128 + a256 = 24 ，且 a63 = 6 ，求{an } 的通项公式；
（3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明．

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2025 年高考数学压轴训练 2
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•回忆版） 已知命题 p : x ∈ R ， | x + 1|> 1 ，命题 q : 3x > 0 ， x3 = x ，则 ( )
A ． p 和 q 都是真命题 B ． p 和 q 都是真命题
C ． p 和 q 都是真命题 D ． p 和 q 都是真命题 【答案】 B
【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定
【专题】计算题；简易逻辑；转化思想；数学运算；综合法
【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．
【解答】解：命题： p : x ∈ R ，| x + 1|> 1 ，x = -1 时，不成立，所以命题： p 是假命题；则 p 是真命题． 命题 q : 3x > 0 ， x3 = x ， x = 1 时成立，所以命题 q 是真命题， q 是假命题；
所以 p 和 q 都是真命题．
故选： B ．
【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．
2 ．（2024•浙江模拟） 已知 a > 1 ， b > 1 ．设甲： aeb = bea ，乙： ab = ba ，则 ( )
A ． 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ． 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ． 甲是乙的充要条件
D ． 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】 A
【考点】充分条件与必要条件
【专题】综合法；简易逻辑；整体思想；综合题；逻辑推理
【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案．
【解答】解：依题意， a > 1 ， b > 1 ， 对于甲： aeb = bea ，即 ，

所以 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递增，故 a = b ．
对于乙： ab = ba ，两边取以 e 为底的对数得 lnab = lnba ， blna = alnb ，

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由于 a > 1 ， b > 1 ，所以 lna > 0 ， lnb > 0 ，则 ，
所以 g(x) 在区间 (1, e) 上 g’(x) > 0 ， g(x) 单调递增， 在区间 (e, +∞) 上 g’(x) < 0 ， g(x) 单调递减，
所以由 ，即g （a）= g （b），若 a ，b ∈ (1 ，e] 或 a ，b ∈ [e ，+∞) ，则 a = b ，若 a ，b 不在 g(x) 的同一单调区间，则 a ≠ b ，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选： A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
3 ．（2024•宁波模拟）已知 Sn 是公比不为 1 的等比数列{an } 的前 n 项和，则“ S2 ，S6 ， S3 成等差数列 ”是 “存在不相等的正整数 m ， n ，使得 am ， amn ， an 成等差数列 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A
【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的性质；等差数列的性质；充分条件与必要条件 【专题】整体思想；等差数列与等比数列；数学运算；综合法；简易逻辑
【分析】 由已知结合等比数列的求和公式，等差数列的性质分别检验充分必要性即可判断． 【解答】解：对于公比不为 1 的等比数列{an } ，
若 S2 ， S6 ， S3 成等差数列，则 2S6 = S2 + S3 ，即 整理得 q2 (2q4 — q —1) = 0 ，结合 q ≠ 0 得 2q4 — q —1 = 0 ，
若存在不相等的正整数 m ， n ，使得 am ， amn ， an 成等差数列，则 2amn = am + an ， 不妨设 m > n ，则 2qmn—n = qm—n +1 ，即 2qmn—1 — qm—n —1 = 0 ，
所以 2qn(m—1) — qm—n —1 = 0 ，
当 n(m —1) = 4 ， m — n = 1 时， m = 3 ， n = 2 ，
所以 S2 ， S6 ， S3 成等差数列时，存在不相等的正整数 m = 3 ， n = 2 ，使得 am ， amn ， an 成等差数列，

但 am ， amn ， an 成等差数列时， 2qn(m—1) — qm—n —1 = 0 成立，但 2q4 — q —1 = 0 不一定成立，

9
故“ S2 ， S6 ， S3 成等差数列 ”是“存在不相等的正整数 m ， n ，使得 am ， amn ， an 成等差数列 ”的充分 不必要条件．
故选： A ．
【点评】本题以充分必要条件为载体，主要考查了等比数列的求和公式，等差数列的性质的应用，属于中 档题．
4 ．（2024•雅安模拟）直线 l : y = 3x + a 与曲线 y = sin 3x 相切的一个充分不必要条件为 ( )
A ． a = 1 B ． a = 一2π C ． a = π D ． 【答案】 B
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；充分条件与必要条件 【专题】数学运算；计算题；整体思想；综合法；简易逻辑
【分析】设出切点，由直线和曲线相切得 a 的表达式，对比选项即可求解． 【解答】解： 由题意设 f(x) = sin 3x ，则 f’(x) = 3cos 3x ，
设直线 l : y = 3x + a 与曲线f(x) = sin 3x 相切的切点为 (x0 ， y0 ) ，
则 所以 cos 3x0 = 1 ， 所以 sin 3x0 = 0 ， 3x0 = 2kπ , k ∈ Z ， 所以 a = 一2kπ , k ∈ Z ．
对比选项可知直线 l : y = 3x + a 与曲线 y = sin 3x 相切的一个充分不必要条件为 a = 一2π .
故选： B ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
5．（2024•兰山区校级模拟）如图，ΔABC 是边长为 6 的等边三角形，点 P 在 ΔABC 所在平面外，平面 PAC 丄 平面 ABC ，点D 是棱 BC 的中点，点 E ，F 分别在棱 AC ，PA 上，且 AF = 2PF ，AE = 3CE ，PE = CE ．现 给出下列四个结论：
① DE 丄 平面PAC ；
② BF 是定值；
③三棱锥 B 一 CEF 体积的最大值是 ；
④若三棱锥 P 一 ABC 的体积是 ，则该三棱锥外接球的表面积是 57π . 其中正确结论的个数是 ( )

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A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】 D
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】取 AC 的中点M ，连接 BM ，证明 BM 丄 AC ，进一步证明DE / /BM ，可得 DE 丄 AC ，再由面 面垂直的性质可得 DE 丄 平面 PAC 判断①正确； 分别证明 MF / /PE ， DE / /BM ，结合 DE 丄 PE 可得 BM 丄 MF ，由勾股定理求 BF 为定值，即可判断②正确；三棱锥 B — CEF 的高 BM 为定值，求出ΔCEF 的 面积最大值，即可求得三棱锥B — CEF 的体积的最大值判断③；取 ΔABC 的中心为 G ，过点 G 作平面 ABC 的垂线，垂足为 G ，设三棱锥 P — ABC 的外接球的球心为 O ，则 O 在垂线上，求解三角形得到三棱锥 P — ABC 的外接球的半径，进一步求出外接球的表面积判断④ .
【解答】解：对于① , 取 AC 的中点M ，连接 BM ， : ΔABC 是边长为 6 的等边三角形， : BM 丄 AC ，
,
又: BD = DC = 3 ， : DE / /BM ，则DE 丄 AC ，
:平面 PAC 丄 平面 ABC ，平面 PAC ∩ 平面 ABC = AC ， :DE 丄 平面 PAC ，故①正确；
对于② , 连接MF 、 BF ， : DE 丄 平面 PAC ， PE 平面PAC ， :DE 丄 PE ，

又DE / /BM ， :BM 丄
则 为定值，故②正确；

对于③ , : 三棱锥B — CEF 的高 ，当 ΔCEF 的面积最大时，三棱锥 B — CEF 的体积最大，
当 FM 丄 AC 时， ΔCEF 面积最大，
: 三棱锥B — CEF 的体积的最大值为：

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故③正确；
对于④ , 取 ΔABC 的中心为 过点 G 作平面 ABC 的垂线，垂足为 G ， 设三棱锥 P — ABC 的外接球的球心为 O ，则 O 在垂线上，设 OG = x ，外接球的半径为 R ，
则 过点 P 作 GE 的平行线交 GO 于点 N ，

则在 RtΔAOG 中 在 RtΔPNO 中 解得 ，
.
: 三棱锥P — ABC 的外接球的表面积为 4π R2 = 57π , 故④正确．
: 正确结论的个数是 4 个． 故选： D ．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中点、线、面间的位置关系，考查多面体外接球表面 积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题．
6．（2024•凉山州模拟）已知命题“是假命题，则 m 的取值范围为 ( )
A ． [—2 ， +∞) B ． (—2, +∞) C ． (—∞, —1) D ． (—∞ , —2] 【答案】 B
【考点】全称量词命题真假的应用
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；三角函数的求值；整体思想
是真命题，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解． 【解答】解：因为命题“ 是假命题，
所以 是真命题，

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即 3x ∈ R ， 1 一 cos2 x + 2 cos x + m > 0 是真命题， 整理得m + 2 > (cos x 一1)2 有解，
所以 m + 2 > (cos x 一1)m(2)in = 0 ，
所以 m + 2 > 0 ，即 m > 一2 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
7 ．（2024•福建模拟）宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语 类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有 ”．太极图（如下图）将 平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数 f(x) ，若存在圆 C ，使得f(x) 的图象能将圆 C 的周长 和面积同时平分，则称 f(x) 是圆 C 的太极函数．下列说法正确的是 ( )
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个
是x2 + 的太极函数
③太极函数的图象必是中心对称图形
④存在一个圆 C ， f(x)= sin x + cos x 是它的太极函数

A ．①④ B ．③④ C ．①③ D ．②③ 【答案】 A
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】简易逻辑；数学运算；转化思想；转化法
【分析】根据“太极函数 ”、函数的对称性、对数运算等知识对选项 4 个说法进行分析， 由此确定正确答 案．
【解答】解：对于① , 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分， 所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确；

所以 f(x) 关于 y 轴对称，不是太极函数，故②错误；

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对于③ , 中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心，
但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误； 对于④ , 曲线存在对称中心，
所以必是某圆的太极函数，故④正确．
故选： A ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
8 ．（2024•广东模拟）已知函数 f(x) ，g(x) 的定义域为 R ，则“ f(x) ，g(x) 为周期函数 ”是“ f(x)+ g(x) 为周期函数 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 D
【考点】函数的周期性；充分条件与必要条件
【专题】数学运算；定义法；函数思想；简易逻辑 【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可．
【解答】解：两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数， 则有周期，若不为有理数，则无周期．
f(x) = sin 2x 的周期为 π , g(x) = sin πx 的周期为 2 ，则当 f(x)+ g(x) 时，只有周期的整数倍才是函数的周 期，则不是充分条件；
若 f(x) = sin x + x ， g(x) = —x ，
则 f(x)+ g(x) = sin x + x — x = sin x 为周期函数，但 f(x) = sin x + x ， g(x) = x 为周期函数不正确，故不是必 要条件；
因此为不充分不必要条件．
故选： D ．
【点评】本题考查充分必要条件的应用，属于中档题．
9．（2024•亭湖区校级一模）已知数列{an } 为等差数列，前 n 项和为 Sn ，则“2Sn+1 < Sn + Sn+2 ”是“数列{Sn } 为单增数列 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 D
【考点】充分条件与必要条件；等差数列的性质

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【专题】综合法；逻辑推理；等差数列与等比数列；计算题；整体思想
【分析】 先说明充分性 ， 由 2Sn+1 < Sn + Sn+2 得到 {an } 为单调递增数列 ，设公差为 d (d > 0) ，表达出 结合对称轴得到 a1 < 一 时，此时 先增后减，从而充分性不成立； 再举出反例得到必要性不成立．
【解答】解：若 2Sn+1 < Sn + Sn+2 ，故 Sn+1 一 Sn < Sn+2 一 Sn+1 ，即 an+1 < an+2 ， 故{an } 为单调递增数列，设公差为 d (d > 0) ，
此时 n ∈ N ，
令 对称轴为 当 a1 < 一 时，此时对称轴 x > 1 ， 此时 先增后减，
所以数列{Sn } 不是单调数列， 充分性不成立，
若数列{Sn } 为单增数列，设等差数列{an } 公差为d ，
若 d = 0 ，不妨设 a1 = 1 ，此时 Sn = n ，满足数列{Sn } 为单增数列， 此时 S1 = 1 ， S2 = 2 ， S3 = 3 ， 2S2 = S1 + S3 = 4 ，故必要性不成立，
故“ 2Sn+1 < Sn + Sn+2 ”是“数列{Sn } 为单增数列 ”的既不充分也不必要条件．
故选： D ．
【点评】本题主要考查等差数列及性质，充分条件和必要条件，属于中档题．
10 ．（2023•涪城区校级模拟）若“ 3x ∈[1 ， 2] ，使 2x2 一 λx +1 < 0 成立 ”是假命题，则实数 λ 的取值范围 是 ( )
A ． (一∞ , B ． C ． (一∞ , 3] D ．
【考点】 2I ：存在量词和特称命题
【专题】38：对应思想； 4R ：转化法； 5L ：简易逻辑
【分析】若“ 3x ∈[1 ， 2] ，使得 2x2 一 λx +1 < 0 成立 ”是假命题，即“ 3x ∈[1 ， 2] ，使得 成立 ” 是假命题，根据函数的性质可得实数 λ 的取值范围．
【解答】解：若“ 3x ∈[1 ， 2] ，使得 2x2 一 λx +1 < 0 成立 ”是假命题，

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即“ 3x ∈ , 使得 成立 ”是假命题，
故 恒成立， 令

故 f(x) 在[1 ， 2] 递增， f(x)min = f （1） = 3 ， : λ.3 ，
故选： C ．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，难度中档．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•山东模拟）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD1 上运动，则下列 命题正确的有 ( )

A ．直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值

B ．三棱锥D — BPC1 的体积为定值

C ．异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值

D ．直线 CD 和平面BPC1 平行
【答案】 BCD
【考点】命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，判定 A 、 B 、 C 、 D 的结论．
【解答】解：如图所示：

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对于 A ，由线面所成角的定义，令BC1 与 B1C 的交点为 O ，可得 上CPO 即为直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的 角，当 P 移动时 上CPO 是变化的，故 A 错误．
对于 B ，三棱锥D 一 BPC1 的体积等于三棱锥 P 一 DBC1 的体积，而 ΔDBC1 大小一定，

: P ∈ AD1 ，而 AD1 / / 平面 BDC1 ，

: 点 A 到平面DBC1 的距离即为点 P 到该平面的距离，

: 三棱锥D 一 BPC1 的体积为定值，故 B 正确；

对于 C ， :在棱长为 1 的正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，点P 在线段 AD1 上运动，

: CB1 丄 平面 ABC1D1 ， : C1P 平面 ABC1D1 ，

: CB1 丄 C1P ，故这两个异面直线所成的角为定值 90O ，故 C 正确； 对于 D ，直线 CD 和平面 ABC1D1 平行，

: 直线 CD 和平面BPC1 平行，故D 正确． 故选： BCD ．

【点评】本题考查的知识要点：正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的 夹角，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
12 ．（2024•重庆模拟）命题“存在 x > 0 ，使得 mx2 + 2x 一1 > 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A ． m > 一2 B ． m > 一1 C ． m > 0 D ． m > 1
【答案】 CD
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；转化思想
【分析】转化为 ，结合二次函数的性质求得 m > 一1 ；进而求解结论．
解：存在 x > 0 ，使得mx2 + 2x 一1 > 0 ，即 一 2 一1 ，

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即 x = 1 时， 的最小值为 —1 ， 故 m > —1 ；
所以命题“存在 x > 0 ，使得 mx2 + 2x —1 > 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是： {m | m > —1}的真子集， 结合选项可得，符合条件的答案为： CD ．
故选： CD ．
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13 ．（2024•芝罘区校级模拟） 已知函数 f(x) = ex .x3 ，则以下结论正确的是 ( )
A ． f(x) 在R 上单调递增

C ．方程f(x) = —1 有实数解
D ．存在实数 k ，使得方程 f(x) = kx 有 4 个实数解 【考点】 2K ：命题的真假判断与应用
【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；65：数学运算
【分析】求得 f(x) 的导数，可得单调区间、极值和最值，即可判断 A ，B ，C ；讨论 x = 0 ，x ≠ 0 时，k = ex .x2 ， 设 g(x) = ex .x2 ，求得导数，单调性和极值，结合图象可判断D ．
【解答】解：函数 f(x) = ex .x3 的导数为 f’(x) = x2 ex (3 + x) ，
当 x > —3 时， f’(x) > 0 ， f(x) 递增；当 x < —3 时， f’(x) < 0 ， f(x) 递减， 可得 f(x) 在 x = —3 处取得极小值，且为最小值 —27e—3 ．故 A 错误；
由 —1 > —27e—3 ．可得 f(x) = —1 有实数解，故 C