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2025 年高考数学解密之椭圆
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•莲湖区校级三模）已知F1 ，F2 是椭圆 的两个焦点，P 是椭圆上一点，则 | PF1 | . | PF2 | 的最大值是 ( )
A ． B ．9 C ．16 D ．25
2 ．（2024•保定三模） 已知曲线 C : x2 + y2 = 1— | x |y ，则 的最大值为 ( )

A ． B ． C ． D ．
3 ．（2024•湖北模拟） 已知椭圆 ，则“ m = 2 ”是“椭圆 C 的离心率为 的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4 ．（2024•内江三模）设 F1 ， F2 是椭圆的两个焦点，点 P 在椭圆 C 上，若△ PF1F2 为直角三 角形，则△ PF1F2 的面积为 ( )
A ． B ．1 或 C ． D ．1 或
5 ．（2024•天府新区模拟） 已知椭圆 C 的焦点为F1 (—1, 0) ， F2 (1, 0) ，过F2 的直线与 C 交于 A ， B 两点．若 | AF2 |= 2 | F2 B | ， | AB |=| BF1 | ，则 C 的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ．
6．（2024•咸阳模拟）设 F1 ，F2 分别是椭圆 的左、右焦点，过F2 的直线交椭圆于 A ，
B 两点，且 则椭圆 E 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
7 ．（2024•商洛模拟） 已知方程 mx2 + (2m —1)y2 = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． (1, +∞) D ． (0, 1)
8 ．（2024•陕西模拟）已知椭圆的焦点在 y 轴上，若焦距为 4 ，则该椭圆的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．（2024•佛山模拟）2020 年 12 月 17 日，嫦娥五号的返回器携带 1731 克月球样本成功返回地球，我国成 为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．如图展示了嫦娥五号采样返

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回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点 D 表示地球中心，点M 表示月球中心．嫦娥五 号采样返回器先沿近地球表面轨道做圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点 A 处沿圆D 的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道 C 运行，并且点D 为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月 球表面附近的点 B 处减速变轨做圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距 离约为月球半径的222 倍，地球半径约为月球半径的 3.7 倍．则椭圆轨道 C 的离心率约为 ( )

A ．0.67 B ．0.77 C ．0.87 D ．0.97
10 ．（2024•濮阳一模）记椭圆 与圆 C2 : x2 + y2 = a2 的公共点为M ，N ，其中M 在 N 的左侧， A 是圆 C2 上异于M ， N 的点，连接 AM 交 C1 于B ，若 2 tan 上ANM = 5 tan 上BNM ，则 C1 的离 心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•日照一模）如图是数学家 GerminalDandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭 圆的模型（称为“ Dandelin 双球 ” ) ．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截 面相切，截面分别与球 O1 ，球 O2 切于点E ，F (E ，F 是截口椭圆 C 的焦点）．设图中球 O1 ，球 O2 的半径
分别为 4 和 1 ，球心距 则

A ．椭圆 C 的中心不在直线 O1O2 上
B ． | EF |= 4

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C ．直线 O1O2 与椭圆 C 所在平面所成的角的正弦值为
D ．椭圆 C 的离心率为
12 ．（2024•广东模拟）已知椭圆 C : 2x2 + 3y2 = 24 的长轴端点分别为 A1 ，A2 、两个焦点分别为 F1 、F2 ，P 是 C 上任意一点，则 ( )
A ． C 的离心率为 B ． △ PF1F2 的周长为
C ．△ PA1A2 面积的最大值为 D ．
13 ．（2024•山东一模）已知椭圆 的右焦点为 F ，M (x1 ，y1 ) ，N(—x1 ， —y1 ) 在椭圆
--- -- ---→ -- -- ---→
C 上但不在坐标轴上，若 FM = 2FA, FN = 2FB ，且 OA 丄 OB ，则椭圆 C 的离心率的值可以是 ( )
A ． B ． C ． D ．
14 ．（2024•湖北模拟）用平面 α 截圆柱面，圆柱的轴与平面 α 所成角记为θ , 当θ 为锐角时，圆柱面的截 线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌 入圆柱内，使它们分别位于 α 的上方和下方，并且与圆柱面和 α 均相切．下列结论中正确的有 ( )

A ．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B ．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 O1O2 相等
C ．所得椭圆的离心率e = cosθ
D ．其中 G1G2 为椭圆长轴， R 为球 O1 半径，有
15 ．（2024•全国模拟）设椭圆的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ， P 是 C 上的动点，则下列结论 正确的是 ( )
A ．椭圆 C 的离心率 B ． | PF1 | + | PF2 |= 5

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C ．△ PF1F2 面积的最大值为 12 D ． | PF1 | 的最小值为
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•广州模拟） 已知椭圆 的左右焦点为 F1 ， F2 ．直线y = kx 与椭圆 C 相交 于 P ， Q 两点，若 | PF1 |= 2 | QF1 | ，且 上 则椭圆 C 的离心率为 ．
17 ．（2024•咸阳模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，M 为椭圆 C 上任意一点， P 为曲线 E : x2 + y2 — 6x — 4y +12 = 0 上任意一点，则| MP | + | MF2 | 的最小值为 ．
18．（2024•宝山区三模）已知椭圆 的右焦点为 F1 ，左焦点为 F2 ，若椭圆上存在一点P ， 满足线段 PF1 相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 PF1 的中点，则该椭圆的离心率为 ．
19．（2024•西藏模拟）已知椭圆 的离心率为 ，F 是椭圆 C 的右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点， | PF | 的最大值为 设点 ，则 | PA | + | PF | 的最小值为 ．
20 ．（2024•河北模拟）数学家 GeminadDandelin 用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使 得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模 型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 60O 角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ．

四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•梅州模拟） 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求椭圆 C 上的点到直线 l : y = 2x 的距离的最大值．
22．（2024•江西一模）已知椭圆的左右顶点分别为 A 、B ，点 C 在E 上，点M (6, yM ) ，N(6, yN ) 分别为直线 AC 、 BC 上的点．
（1）求 yM . yN 的值；
（2）设直线BM 与椭圆E 的另一个交点为D ，求证：直线 CD 经过定点．

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23 ．（2024•榆林四模） 已知椭圆 的左，右焦点分别为F1 (一c, 0) ， F2 (c, 0) ，过F2 的 直线与椭圆 C 交于M ， N 两点，且 ΔMNF1 的周长为 8 ，△ MF1F2 的最大面积为 ．
( Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程；
( Ⅱ ) 设b > 1 ，是否存在 x 轴上的定点P ，使得 ΔPMN的内心在 x 轴上，若存在，求出点P 的坐标，若不 存在，请说明理由．
24 ．（2024•松江区二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为 F1 、F2 ，过上焦点 F1 与y 轴垂直的 直线交椭圆于M 、 N 两点，动点P 、 Q 分别在直线MN与椭圆 Γ 上．
（1）求线段MN 的长；
（2）若线段 PQ 的中点在 x 轴上，求△ F2PQ 的面积；

（3）是否存在以 F2 Q 、 F2 P 为邻边的矩形 F2 QEP ，使得点 E 在椭圆 Γ 上？若存在，求出所有满足条件的 点 Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由．

25 ．（2024•泸州模拟）如图，已知 A ， B 分别是椭圆 的右顶点和上顶点．椭圆的 离心率为 ， ΔABO(O 是坐标原点）的面积为 1．
( Ⅰ ) 求椭圆 E 的方程；
( Ⅱ ) 若过点P(a, b) 的直线与椭圆 E 相交于M ，N 两点，过点M 作x 轴的平行线分别与直线 AB ，NB 交 于点 C ， D ．证明： M ， C ， D 三点的横坐标成等差数列．

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2025 年高考数学解密之椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•莲湖区校级三模）已知F1 ，F2 是椭圆 的两个焦点，P 是椭圆上一点，则 | PF1 | . | PF2 | 的最大值是 ( )
A ． B ．9 C ．16 D ．25
【答案】 D
【考点】椭圆的几何特征
【专题】数学运算；定义法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】利用椭圆的定义可得 | PF1 | + | PF2 |= 10 ，再利用基本不等式，即可求得 | PF1 | . | PF2 | 的最大值．

【解答】解： 由题意， | PF1 | + | PF2 |= 10 ，
当且仅当| PF1 |=| PF2 |= 5 时，等号成立， :| PF1 | . | PF2 | .25 ，
:| PF1 | . | PF2 | 的最大值是 25．
故选： D ．
【点评】本题考查椭圆的定义，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
2 ．（2024•保定三模） 已知曲线 C : x2 + y2 = 1— | x |y ，则 的最大值为 ( )

A ． B ． C ． D ．
【答案】 A
【考点】椭圆的几何特征
利用 可求 的最大值．
【解答】解： : 曲线 C : x2 + y2 = 1— | x | y ， :| x | y = 1 — (x2 + y2 ) ，

,

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当且仅当 x = y = 1 时取等号，
的最大值为 ．
故选： A ．
【点评】本题考查重要不等式的应用，属中档题．
3 ．（2024•湖北模拟） 已知椭圆 ，则“ m = 2 ”是“椭圆 C 的离心率为 的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A
【考点】充分条件与必要条件；椭圆的几何特征
【专题】综合法；数学运算；计算题；整体思想；直线与圆
【分析】 由题意得 ，再分椭圆焦点在 x 轴上和椭圆焦点在 y 轴上，求得m 后即可求解．
【解答】解：椭圆 C 的离心率为 即 ， 若椭圆焦点在 x 轴上，则 得 m = 2 ，
若椭圆焦点在 y 轴上，则 得 ，
故“ m = 2 ”是“椭圆 C 的离心率为的充分不必要条件．
故选： A ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
4 ．（2024•内江三模）设 F1 ， F2 是椭圆的两个焦点，点 P 在椭圆 C 上，若△ PF1F2 为直角三 角形，则△ PF1F2 的面积为 ( )
A ． B ．1 或 C ． D ．1 或 【答案】 D
【考点】椭圆的几何特征
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】分 上PF1F2 或 上PF2 F1 为直角， 上F1PF2 为直角时，求出直角边，进而求出三角形的面积． 【解答】解： 由椭圆方程可得 a = 3 ， b = 1 ，所以 ，

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当 上PF1F2 或 上PF2 F1 为直角时，则 | PF1 | 或 ，
此时 S△ 当 上F1PF2 为直角时，则| PF1 |2 + | PF2 |2 =| F1F2 |2 ， 即 (| PF1 | + | PF2 |)2 — 2 | PF1 | . | PF2 |=| F1F2 |2 ，
由椭圆的定义可得 ， 可得 | PF1 | . | PF2 |= 2 ，
所以 S△ 所以△PF1F2 的面积为 故选： D ．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于中档题．
5 ．（2024•天府新区模拟） 已知椭圆 C 的焦点为F1 (—1, 0) ， F2 (1, 0) ，过F2 的直线与 C 交于 A ， B 两点．若 | AF2 |= 2 | F2 B | ， | AB |=| BF1 | ，则 C 的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 B
【考点】椭圆的弦及弦长
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；计算题
【分析】法一：设 | F2 B |= n ，则 | AF2 |= 2n ， | BF1 |=| AB |= 3n ， 由椭圆的定义有 2a =| BF1 | + | BF2 |= 4n ，在

△ AF1F2 和△BF1F2 中， 由余弦定理结合 cos 上AF2 F1 + cos 上BF2 F1 = 0 ，两式消去 cos 上AF2 F1 ， cos 上BF2 F1 ， 然后转化求解即可．
法二：设 | F2 B |= n ，则 | AF2 |= 2n ， | BF1 |=| AB |= 3n ， 由椭圆的定义，在△ AF1B 中， 由余弦定理转化求解 椭圆方程即可．
【 解 答 】 解 ： 法 一 ： 由 已 知 可 设 | F2 B |= n ， 则 | AF2 |= 2n ， | BF1 |=| AB |= 3n ， 由 椭 圆 的 定 义 有

2a =| BF1 | + | BF2 |= 4n ，

:| AF1 |= 2a— | AF2 |= 2n ．

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在△ AF1F2 和△BF1F2 中， 由余弦定理得 ，

又 上AF2 F1 ， 上BF2 F1 互补， : cos 上AF2F1 + cos 上BF2F1 = 0 ，两式消去 cos 上AF2 F1 ， cos 上BF2 F1 ，
得 3n2 + 6 = 11n2 ，解得 ．

: 所求椭圆方程为 ， 故选： B ．
法二：如图， 由已知可设 | F2 B |= n ，则 | AF2 |= 2n ， | BF1 |=| AB |= 3n ， 由椭圆的定义有 2a =| BF1 | + | BF2 |= 4n ， :| AF1 |= 2a— | AF2 |= 2n ．
在△ AF1B 中， 由余弦定理推论得 cos 上
在△ AF1F2 中， 由余弦定理得 解得 ．

: 所求椭圆方程为 ， 故选： B ．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
6．（2024•咸阳模拟）设 F1 ，F2 分别是椭圆 的左、右焦点，过F2 的直线交椭圆于 A ，
B 两点，且 则椭圆 E 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】椭圆的性质
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程

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【分析】设 | AB |= 3m ，| AF2 |= 2 | F2 B | ，可得 | AF2 |= 2m ，| F2 B |= m ，| AF1 |= 2a — 2m ，| BF1 |= 2a — m ．由
, 可得 AB 丄 AF1 ，利用勾股定理即可得出．
【解答】解：设 | AB |= 3m ， | AF2 |= 2 | F2 B |

:| AF2 |= 2m ， | F2 B |= m ，

:| AF1 |= 2a — 2m ， | BF1 |= 2a — m ． 丄
:4c2 = (2m)2 + (2a — 2m)2 ，
(2a — m)2 = (3m)2 + (2a — 2m)2 ，即 ，
: 9c2 = 5a2 ，
.
故选： C ．

【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题．
7 ．（2024•商洛模拟） 已知方程 mx2 + (2m —1)y2 = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． (1, +∞) D ． (0, 1)
【答案】 B
【考点】椭圆的几何特征
【专题】数学运算；综合法；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理
【分析】 由题意，对椭圆方程进行变形，根据椭圆的焦点在 y 轴上，列出不等式再进行求解即可．

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【解答】解：易知该椭圆方程为 ，

因为该椭圆的焦点在 y 轴上， 所以 ， 解得 ，
则 m 的取值范围为 ．
故选： B ．
【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
8 ．（2024•陕西模拟）已知椭圆的焦点在 y 轴上，若焦距为 4 ，则该椭圆的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】求椭圆的离心率
【专题】数学运算；转化思想；计算题；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】利用焦点在 y 轴上可求 t 的范围，进而由t - 4 - (10 - t) = 4 ，可求 t ．
【解答】解： 由题得 t - 4 > 10 - t > 0 ，可得 7 < t < 10 ， 因为焦距为 4 ，所以t - 4 - (10 - t) = 4 ，解得t = 9 ，
所以椭圆的离心率为 ．

故选： B ．
【点评】本题考查椭圆的性质，属基础题．
9 ．（2024•佛山模拟）2020 年 12 月 17 日，嫦娥五号的返回器携带 1731 克月球样本成功返回地球，我国成 为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．如图展示了嫦娥五号采样返 回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点 D 表示地球中心，点M 表示月球中心．嫦娥五 号采样返回器先沿近地球表面轨道做圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点 A 处沿圆D 的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道 C 运行，并且点D 为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月 球表面附近的点 B 处减速变轨做圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距 离约为月球半径的222 倍，地球半径约为月球半径的 3.7 倍．则椭圆轨道 C 的离心率约为 ( )

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A ．0.67 B ．0.77 C ．0.87 D ．0.97
【答案】 D
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法 【分析】根据椭圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：设该椭圆的半长轴为 a ，半焦距为 c ，月球半径为 rM ， 则根据题意可知地球半径为 rD = 3.7rM ，
月球中心与地球中心距离为 |DM |= 222rM ，

所以 2a = rD + rM + | DM |= 226.7rM ，又 a — c = rD = 3.7rM ，
所以
所以离心率 ．
故选： D ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
10 ．（2024•濮阳一模）记椭圆 与圆 C2 : x2 + y2 = a2 的公共点为M ，N ，其中M 在 N 的左侧， A 是圆 C2 上异于M ， N 的点，连接 AM 交 C1 于B ，若 2 tan 上ANM = 5 tan 上BNM ，则 C1 的离 心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 D
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征
【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算；方程思想
【分析】设直线 AN 与直线BN 的斜率分别为 k1 ，k2 ，则根据题意易得 ，且直线BM 的斜率为 ，
再根据椭圆的几何性质易得 — . ，从而建立方程，即可求解．
【解答】解：设直线 AN 与直线 BN 的斜率分别为 k1 ， k2 ，

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由 2 tan 上ANM = 5 tan 上BNM ，可得 2× (—k1 ) = 5 × (—k2 ) ， ,
又根据题意可知 AM 丄 AN ，
: 直线 AM 的斜率为 ，即直线BM 的斜率为 ， 设 B(m, n) ，则 又易知M (—a, 0) ， N(a, 0) ，

: — . ， ,
: C1 的离心率为 故选： D ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•日照一模）如图是数学家 GerminalDandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭
圆的模型（称为“ Dandelin 双球 ” ) ．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截 面相切，截面分别与球 O1 ，球 O2 切于点E ，F (E ，F 是截口椭圆 C 的焦点）．设图中球 O1 ，球 O2 的半径 分别为 4 和 1 ，球心距 则

A ．椭圆 C 的中心不在直线 O1O2 上
B ． | EF |= 4

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C ．直线 O1O2 与椭圆 C 所在平面所成的角的正弦值为
D ．椭圆 C 的离心率为
【答案】 ACD
【考点】椭圆的几何特征
【专题】计算题；数学运算；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答．
【解答】解：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组 合体，
得圆锥的轴截面及球 O1 ，球 O2 的截面大圆，如图，

点 A ， B 分别为圆 O1 ， O2 与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN是椭圆长轴，

可知椭圆 C 的中心（即线段MN 的中点）不在直线 O1O2 上，故 A 正确； 椭圆长轴长 2a =| MN |=| MF | + | FN |=| MF | + | ME |=| MB | + | MA |=| AB | ， 过 O2 作 O2D 丄 O1A 于D ，连 O2 B ，显然四边形 ABO2D 为矩形，

过 O2 作 O2 C 丄 O1E 交 O1E 延长线于 C ，显然四边形 CEFO2 为矩形，

椭圆焦距 故 B 错误；

所以直线 O1O2 与椭圆 C 所在平面所成的角的正弦值为 sin 上 故 C 正确；
所以椭圆的离心率 故D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．

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12 ．（2024•广东模拟）已知椭圆 C : 2x2 + 3y2 = 24 的长轴端点分别为 A1 ，A2 、两个焦点分别为 F1 、F2 ，P 是 C 上任意一点，则 ( )
A ． C 的离心率为 B ． △ PF1F2 的周长为
C ．△ PA1A2 面积的最大值为 D ． 【答案】 ABD
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解．
【解答】解：已知椭圆 C : 2x2 + 3y2 = 24 的长轴端点分别为 A1 ， A2 、两个焦点分别为 F1 、 F2 ， 则椭圆的长半轴长 短半轴长 半焦距 ，
对于 A 选项， C 的离心率为 故 A 正确；
对于 B 选项， △ PF1F2 的周长为 故 B 正确；

对于 C 选项 设
则△ PA1A2 面积的最大值为 故 C 错误；
对于 D 选项， F1 (—2, 0) ， F2 (2, 0) ，

因此 故D 正确．
故选： ABD ．

【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
13 ．（2024•山东一模）已知椭圆 的右焦点为 F ，M (x1 ，y1 ) ，N(—x1 ， —y1 ) 在椭圆
--- -- ---→ -- -- ---→
C 上但不在坐标轴上，若 FM = 2FA, FN = 2FB ，且 OA 丄 OB ，则椭圆 C 的离心率的值可以是 ( )

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A ． B ． C ． D ． 【答案】 CD
【考点】椭圆的几何特征
【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算
【分析】方法一，用中点坐标公式，表示出 A ， B ，再用向量的数量积为零，求出M ， N 的轨迹方程， 与椭圆有交点，求出取值范围；
方法二，用三角形中位线性质，再用向量垂直的条件得到 a ， b ， c 的关系，再计算离心率的范围． 【解答】解：方法一：依题意，可得 又有 丄
故 即
又有 ，即圆x2 + y2 = c2 与椭圆 C 有公共点且公共点不在坐标轴上，
故 a > c > b ，即 c2 > a2 — c2 ，故 ；
方法二：依题意， FM = 2FA, FN = 2FB ，
--- -- ---→ --

故 A ， B 分别是线段 FM ， FN 的中点，故 OA / /FN ， OB / /FM ；
又有O(-)-A 丄 O(-)- ，故 FN 丄 FM, O(-)-M--→ + O(-)- = 0 ，
则 | OM |=| ON |=| OF |= c ；因为| OM |∈ (b, a) ，故 b < c ，
即 a2 — c2 < c2 ，得 ．
故选： CD ．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
14 ．（2024•湖北模拟）用平面 α 截圆柱面，圆柱的轴与平面 α 所成角记为θ , 当θ 为锐角时，圆柱面的截 线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌 入圆柱内，使它们分别位于 α 的上方和下方，并且与圆柱面和 α 均相切．下列结论中正确的有 ( )

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A ．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B ．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 O1O2 相等
C ．所得椭圆的离心率e = cosθ
D ．其中 G1G2 为椭圆长轴， R 为球 O1 半径，有 【答案】 ABC
【考点】求椭圆的离心率
【专题】数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；定义法；对应思想
【分析】过点 P 作线段 EF ，EF 分别与球 O1 、O2 切于点F 、E ，结合球的切线的性质与椭圆定义即可得 A 、 B ，借助离心率的定义可得 C ，借助正切函数的定义可得D ．
【解答】解：对 A ， B ：过点 P 作线段 EF ， EF 分别与球 O1 、 O2 切于点F 、 E ，

由图可知， PF1 、 PF2 分别与球 O1 、 O2 切于点F1 、 F2 ，

故有 | PF1 | + | PF2 |=| PF | + | PE |=| EF |=| O1O2 | ，

由椭圆定义可知，该椭圆以 F1 、 F2 为焦点， | O1O2 |为长轴长，故 B 正确， 由 PF1 与球 O1 切于点F1 ，故 O1F1 丄 OF1 ，
有| O1F1 |2 =| OO1 |2 — | OF1 |2 = a2 — c2 = b2 ，
即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故 A 正确；
对 C ：由题意可得 则 故 C 正确；
对D ：由题意可得 | AG1 |=| F1G1 | ， θ = 上O1OF1 = 上AO1F1 ，
故 即 故D 错误．

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故选： ABC ．

【点评】本题考查球的切线的性质与椭圆定义相关知识，属于中档题．
15 ．（2024•全国模拟）设椭圆的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ， P 是 C 上的动点，则下列结论 正确的是 ( )
A ．椭圆 C 的离心率 B ． | PF1 | + | PF2 |= 5
C ．△ PF1F2 面积的最大值为 12 D ． | PF1 | 的最小值为 【答案】 AC
【考点】椭圆的几何特征
【专题】整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；计算题；数学运算；综合法
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得 a ，b ， c ，结合椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果． 【解答】解：因为椭圆 则 a = 5 ， b = 4 ， c = 3 ，
由椭圆离心率公式可得 故 A 正确；
由椭圆的定义可知， | PF1 | + | PF2 |= 2a = 10 ，故 B 错误；
因为 | F1F2 |= 2c = 6 ，设点P 到 x 轴的距离为 h ，显然 hmax = b = 4 ，
则△ PF1F2 面积的最大值为 S△ 故 C 正确；
因为 F1 (—3, 0) 为椭圆左焦点，所以| PF1 |min = a — c = 2 ，故D 错误． 故选： AC ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•广州模拟） 已知椭圆 的左右焦点为 F1 ， F2 ．直线y = kx 与椭圆 C 相交

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于 P ， Q 两点，若 | PF1 |= 2 | QF1 | ，且 上 则椭圆 C 的离心率为 ．
【答案】 ．
【考点】椭圆的几何特征
【分析】 由椭圆的对称性可得四边形 PF1QF2 为平行四边形，再根据椭圆的定义求出 | PF1 | ， | PF2 | ，再在

△ PF1F2 中，利用余弦定理求出 a ， c 的关系，即可得解．

【解答】解： 由椭圆的对称性可得四边形 PF1QF2 为平行四边形，则 | PF2 |=| QF1 | ， 由 上 得 上 ，
因为 | PF1 |= 2 | QF1 | ，所以 | PF1 |= 2 | PF2 | ，
又 所以 ，
在△PF1F2 中， 由余弦定理得| F1F2 |2 =| PF1 |2 + | PF2 |2 一2 | PF1 || PF2 | cos 上F1PF2 ，
所以 ，
即椭圆的离心率 ．
故答案为： ．

【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
17 ．（2024•咸阳模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，M 为椭圆 C 上任意一点， P
为曲线 E : x2 + y2 一 6x 一 4y +12 = 0 上任意一点，则| MP | + | MF2 | 的最小值为 一1 ．

一1 ．
【考点】椭圆的几何特征
【专题】综合法；整体思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算

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【分析】求出点F2 的坐标，求出圆 E 的圆