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2025 年高考数学解密之空间向量及其运算
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•龙岗区校级模拟）已知空间向量 = (2, —1, 2) ， b(→) = (1, —2, 1) ，则向量b(→) 在向量 上的投影向量是 (
)
A ． B ． (2 ， —1 ， 2) C ． D ． (1 ， —2 ， 1)
2 ．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为 3 ，点M ， N 是它内切球球面上的两点， P 为正四面体表
--- ---→
面上的动点，当线段MN最长时， PM . PN 的最大值为 ( )
A ．2 B ． C ．3 D ．
---→ ---→ ---→ ---→
3 ．（2024•金安区校级模拟）正四面体 ABCD 棱长为 6 ， AP = x AB + y AC + z AD ，且 x + y + z = 1 ，以 A 为

---→ ---→ ---2 ---→ 2
球心且半径为 1 的球面上有两点M ， N ，MA = AN ，则 PM + PN 的最小值为 ( )
A ．24 B ．25 C ．48 D ．50
4．（2024•香坊区校级四模）如图，在所有棱长均为 1 的平行六面体 ABCD — A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与B1D1 交点， 上BAD = 上BAA1 = 上DAA1 = 60O ，则 BM 的长为 ( )

A ． B ． C ． D ．
5 ．（2024•高碑店市校级模拟） 已知空间向量 = (0, 1, 2), b(→) = (—1, 2, 2) ，则向量 在向量b(→) 上的投影向量是 (
)
A ． B ．
6．（2024•昌黎县校级模拟）定义两个向量 与 的向量积 是一个向量，它的模 | |=| | . |, ， 它的方向与 和 同时垂直，且以, , 的顺序符合右手法则（如图），在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，
则 (A(-)- × A(-)-) . A(-)- = ( )

1

A ． B ．4 C ． D ．
7 ．（2024•番禺区校级二模）已知空间向量 则
A ．3 B ． C ． D ．21

----→ ---→ --- ---→
8．（2024•潮阳区校级三模）已知平行六面体 ABCD — A1B1C1D1 中，AA1 = 2 ，BD = 3 ，AD1 . DC — AB1 . BC = 4 ，
则 )
A ． B ． C ． D ．
9 ．（2024•襄城区校级模拟）已知直线l 过点 A(1 ， —1 ， —1) ，且方向向量为 = (1, 0, —1) ，则点 P(1 ，1 ，1) 到l 的距离为 ( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．（2024•浦东新区校级模拟）设 A1 ，A2 ， … , An 是空间中给定的 n 个不同的点，则使 成立 的点M 的个数为 ( )
A ． 1 B ． n
C ．无穷多个 D ．前面的说法都有可能
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（ 2024 • 朝 阳 区 校 级 模 拟 ） 已 知 正 方 体 ABCD — A1B1C1D1 边 长 为 2 ， 动 点 M 满 足
则下列说法正确的是 ( )
时，则直线 AM 丄 平面 A1BD
时， B1M + MD 的最小值为
C ．当 x + y = 1 ， z ∈ [0 ， 1] 时， AM 的取值范围为
D ．当 x + y + z = 1 ，且 时，则点M 的轨迹长度为 兀
-- ---→
12 ．（2024•烟台模拟） 已知空间向量 BA = (1, 2, 4) ， BC = (0, —2, 1) ，则 ( )

2
-- ---→
A ． BA . BC = 0

-- --
B ． CA 在 CB 上的投影向量为 (0 ，2 ， —1)

---→
C ．若向量 BE = (1, 0, 6) ，则点 E 在平面 ABC 内
D ．向量 是与平行的一个单位向量
13 ．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是 ( )
A ．对空间任意一点 O 与不共线的三点 A ， B ， C ，若 其中x ， y ， z ∈ R 且 x + y + z = 1 ，则 P ， A ， B ， C 四点共面
B ．已知 = (1, —1) ， b(→) = (d , 1) ， 与 b(→) 的夹角为钝角，则 d 的取值范围是 d < 1
C ．若 ， b(→) 共线，则| | — | b(→) |=| + b(→) |
D ．若 ， b(→) 共线，则一定存在实数 λ 使得b(→) =
14 ．（2024•淄博模拟）如图，在平行六面体 ABCD — A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1 ，且它
们彼此的夹角都是 3(兀) ，M 为 A1C1 与B1D1 的交点．若 A(-)- = ，A(-)- = b(→) ，A(-)-A- = ，则下列说法正确的是 ( )

A ． B ．
---→ ---
1
D ． AD . BD = 1

15 ．（2024•张家界二模）正六棱柱 ABCDEF — A/B/C/D/E/F/ 的所有棱长均为 2 ， P 为棱上 AA/ 中点，记正
-- ---→
六棱柱的 12 个顶点为 Pi (i = 1 ，2 ， … , 12) ，则 PA . PPi 的值可以是 ( )

A ．0 B ． —1 C ．1 D ．2
三．填空题（共 10 小题）

3
16 ．（2024•东湖区校级三模） 已知空间向量 a– = (1, 0, 1) ， = (2, —1, 2) ，则向量 在向量 a– 上的投影向量 是 ．
17 ．（2024•太原三模） 已知直线l 过点 A(1 ，2 ， 0) ，且直线l 的一个方向向量为 m– = (0, —1, 1) ，则坐标原点 O 到直线 l 的距离 d 为 ．
18 ．（2024•广州模拟） 已知 A ， M ， N 是棱长为 1 的正方体表面上不同的三点，则 A(-)-M--– . A(-)-N-– 的取值范围 是 ．
19 ．（2024•中山市校级模拟） 已知正四面体 A — BCD 的棱长为 2 ，若球 O 与正四面体的每一条棱都相切，
---– ---–
点 P 为球面上的动点，且点 P 在正四面体面 ACD 的外部（含正四面体面 ACD 表面）运动，则 PA . PB 的
取值范围为 ．
20 ．（2024•黄浦区校级三模） 已知空间向量 a– = (1, —1, 0) ， = (0, 1, 1) ， c– = (1, 2, m) 共面，则实数 m = ．
21 ．（2024•故城县校级模拟） 已知向量 a– = (3, —2, 1) ， = (—1, 3, —2) ， c– = (3, 5, λ) ，若 a– ， ， c– 三个向量 共面，则 λ = ．
22．（2024•红河州模拟）如图，在棱长均相等的斜三棱柱 ABC — A1B1C1 中，上A1AB = 上
, 若存在 λ ∈ (0, 1) ， μ ∈(0, 1) ，使 A(-)-M--– . B--N-– = 0 成立，则 λ+ μ 的最小值为 ．

23 ．（2024•拉萨一模） 已知 x ， y ∈ R ，空间向量 a– = (2, 1, x), = (4, y,—1) ．若 a– / /b– ，则 2x + y = ．
24．（2023•翠屏区校级模拟）两个非零向量 a– ， ，定义| a–× |=| a– || | sin < a– ， > ．若 a– = (1 ，0，1) ， = (0 ， 2 ， 2) ，则| a–× |= ．
25 ．（2023•浦东新区三模）空间向量 a– = (2 ，2 ， —1) 的单位向量的坐标是 ．

4
2025 年高考数学解密之空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•龙岗区校级模拟）已知空间向量 a– = (2, —1, 2) ， = (1, —2, 1) ，则向量 在向量 a– 上的投影向量是 ( )
A ． B ． (2 ， —1 ， 2) C ． D ． (1 ， —2 ， 1) 【答案】 A
【考点】空间向量的投影向量与投影
【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；空间向量及应用 【分析】根据投影向量的求解公式计算即可．
【解答】解： a– . = 6 ， | a– |= 3 ，
故向量 在向量 a– 上的投影向量是

故选： A ．
【点评】本题考查空间向量条件下投影向量的计算，属于中档题．
2 ．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为 3 ，点M ， N 是它内切球球面上的两点， P 为正四面体表 面上的动点，当线段MN 最长时， P--M--– . P--N-– 的最大值为 ( )
A ．2 B ． C ．3 D ．
【答案】 C
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；球
【分析】设四面体 ABCD 的内切球球心为 O ，G 为 ΔBCD 的中心，E 为 CD 的中点，连接 AG ，BE ，则 O 在 AG 上 ，连接 BO ，根据题意求出内切球的半径 ， 当 MN 为内切球的直径时 ， MN 最长 ，再化简
----– ---– ---– ----– ---– ---–
PM . PN = (PO + OM ) . (PO + ON) 可求得其最大值．
【解答】解：设正四面体 ABCD 的内切球球心为 O ，G 为 ΔBCD 的中心，E 为 CD 的中点，连接 AG ，BE ， 则 O 在 AG 上，连接 BO ，则 AO = BO ．
因为正四面体的棱长为 3 ，所以 所以 设内切球的半径为 r ，

5
则 解得 ，
当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时 --- ---→ ---→ ----→ ---→ ---→
PM . PN = (PO + OM ) . (PO + ON)

---→ ---→
因为 P 为 正 四面体表面 上 的动 点 ， 所 以 当 P 为 正 四体 的顶 点 时 ， | PO | 最长 ， | PO | 的最 大值 为
所以 的最大值为 ．

故选： C ．
【点评】本题考查的知识要点：锥体和球体的关系，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中 档题．
---→ ---→ ---→ ---→
3 ．（2024•金安区校级模拟）正四面体 ABCD 棱长为 6 ， AP = x AB + y AC + z AD ，且 x + y + z = 1 ，以 A 为
球心且半径为 1 的球面上有两点M ， N ，M-- = A(-)- ，则 P--M-2 + P--2 的最小值为 ( )
A ．24 B ．25 C ．48 D ．50
【答案】 D
【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算
→ → → → → → → → → → → → →
【分析】先由 A(-)-B- . A(-)-C(-) = A(-)-B- . A(-)-D- = A(-)-C(-) . A(-)-D- = 36 ，再由M--A(-) = A(-)-N- ，推出 | A(-)-M-- |=| A(-)-N- |= 1 ， P--M-- = P--A- + A(-)-M-- ，

---→ -- ---→ ---2 ---→2
PN = PA + AN ，再由向量的数量积的计算公式得到 PM + PN = 74 — 72(xy + yz + xz) ，结合基本不等式， 即可求解结果．
【解答】解：法一：因为正四面体 ABCD 的棱长为 6，
所以 A(-)- . A(-)- =| A(-)- ||A(-)- | cos 60O = 36 ，
同理可得 A(-)- . A(-)- =| A(-)- ||A(-)- | cos 60O = 36 ， A(-)- . A(-)- =| A(-)- ||A(-)- | cos 60O = 36 ，

6
---→ ---→
又因为以 A 为球心且半径为 1 的球面上有两点M ， N ， MA = AN ，
所以 | AM |=| AN |= 1 ，
----→ ---→

由 AP = x AB + y AC + z AD ，
---→ ---→ ---→ ---→

因为 x + y + z = 1 ，所以1 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz开3(xy + yz + xz) ，
当且仅当取等号， 此时
所以 故 P--M-2 + P--2 的最小值为 50．
法二： 由于 x + y + z = 1 ，所以点 P 在平面BCD 内，
---2 ---→2 -- ----→ -- ---→ --2 -- ----→ ---→ ----→2 ---→2
所以PM + PN = (PA + AM)2 + (PA + AN)2 = 2PA + 2PA. (AM + AN)+ AM + AN ，
由于M-- = A(-)- ，所以A(-)-M--→ + A(-)- = ，

----→ ---→
由于 R = 1 ，所以| AM |=| AN |= 1 ，

--
当点 P 为点 A 在平面 BCD 内的射影时， | PA | 最小，
由于棱长为 6，
所以 AP2 = AB2 — BP2 = 36 — 12 = 24 ，
所以 P--M-2 + P--2 开2× 24 + 2 = 50 ．
故选： D ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能

7
力，属于中档题．
4．（2024•香坊区校级四模）如图，在所有棱长均为 1 的平行六面体 ABCD — A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与B1D1 交点， 上BAD = 上BAA1 = 上DAA1 = 60O ，则 BM 的长为 ( )

A ． B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】空间向量的数乘及线性运算
【专题】整体思想；空间向量及应用；数学运算；综合法
【分析】 由题意可知 再利用 ，结合空间向量的数量积运算求解． 【解答】解： 由题意可知， A(-)- . A(-)- = A(-)- . A(-)-A- = A(-)-

: BM 的长为 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
5 ．（2024•高碑店市校级模拟） 已知空间向量 = (0, 1, 2), b(→) = (—1, 2, 2) ，则向量 在向量b(→) 上的投影向量是 (
)
A ． B ． 【答案】 B
【考点】空间向量的投影向量与投影
【专题】空间向量及应用；数学运算；综合法；转化思想
【分析】根据已知求出 . b(→), | b(→) | ，即可根据投影向量的定义求出答案．

8
【解答】解：因为 a– = (0, 1, 2), = (—1, 2, 2) ， 所以 a– . = 6 ， | |= 3 ，
所以向量 a– 在向量 上的投影向量为
故选： B ．
【点评】本题考查空间向量的数量积和投影向量，属于基础题．
6．（2024•昌黎县校级模拟）定义两个向量u– 与v– 的向量积u–× v– 是一个向量，它的模 | u– × v– |=| u– | . | v– | sin〈u– , v–〉， 它的方向与u– 和 v– 同时垂直，且以u– , v– , n– 的顺序符合右手法则（如图），在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，
则 (A(-)-B-– × A(-)-D-– ) . A(-)-C(-)– = ( )

A ． B ．4 C ． D ． 【答案】 A
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；空间向量及其线性运算 【专题】转化思想； 向量法；空间向量及应用；数学运算
【 分析 】根据题 中条件确定 | A(-)-B-– × A(-)-D-– | ， 设底面 △ ABD 的 中心为 O ， 则 CO 丄 平面 ABD ， 可求得
上 又 的方向与O(-)-C(-)– 相同，代入计算可得答案．
【解答】解： 由题意， | A(-)-B-– × A(-)-D-– |=| A(-)-B-– |
设底面△ ABD 的中心为 O ，连接 CO ， AO ，

则 OC 丄 平面 ABD ，又 AO ， AB ， AD 平面 ABD ， 故 OC 丄 AO ， OC 丄 AB ， OC 丄 AD ，

9

在△ ACO 中， cos 上
又 A(-)-× A(-)- 的方向与O(-)- 相同，
所以 故选： A ．
【点评】本题考查空间向量及其运算，考查三角形中的几何计算，属中档题．
7 ．（2024•番禺区校级二模）已知空间向量 则
A ．3 B ． C ． D ．21
【答案】 C
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】空间向量及应用； 向量法；转化思想；数学运算 【分析】根据空间向量数量积的性质及运算即可求解．
【解答】解： 由 + b(→) + = ，可得 = —( + b(→)) ，
由 | |= 1 ， | b(→) |= 4 ， cos < , b(→)
可得

故选： C ．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，属基础题．
----→ ---→ --- ---→
8．（2024•潮阳区校级三模）已知平行六面体 ABCD — A1B1C1D1 中，AA1 = 2 ，BD = 3 ，AD1 . DC — AB1 . BC = 4 ，
则 )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】空间向量的数量积运算

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【专题】数学运算；综合法；整体思想；空间向量及应用 【分析】利用空间向量的数量积运算求解．
【 解 答 】 解 ：
----→ ---→ --- ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→
AD1 . DC — AB1 . BC = (AD + AA1) . AB — (AB + AA1) . AD = AD . AB + AA1 . AB — AB . AD — AA1 . AD = AA1 . AB — AA1 . AD = AA1 . DB = 4 ， 所以 ，
所以 故选： B ．

【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．
9 ．（2024•襄城区校级模拟）已知直线l 过点 A(1 ， —1 ， —1) ，且方向向量为 = (1, 0, —1) ，则点 P(1 ，1 ，1) 到l 的距离为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】点、线、面间的距离计算；空间向量的夹角与距离求解公式 【专题】空间向量及应用；整体思想；计算题；数学运算；综合法
【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解．
---→
【解答】解： 点 A(1 ， —1 ， —1) ，点 P(1 ，1 ， 1) : AP = (0 ，2 ， 2) ，
又 直线l 的方向向量为 = (1, 0, —1) ，
: 点P(1 ，1 ， 1) 到l 的距离 故选： B ．
【点评】本题主要考查了空间中点到直线的距离公式，属于基础题．
10 ．（2024•浦东新区校级模拟）设 A1 ，A2 ， … , An 是空间中给定的 n 个不同的点，则使 成立

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的点M 的个数为 ( )
A ． 1 B ． n
C ．无穷多个 D ．前面的说法都有可能 【答案】 A
【考点】空间向量及其线性运算
【专题】综合法；平面向量及应用；对应思想；数学运算
【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点M 的坐标，得到答案．
【解答】解：设 Ai (xi ， yi ， zi ) ，M (x ， y ， z) ，

所以 ， 所以
所以满足条件的点M 的个数为 1 个． 故选： A ．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（ 2024 • 朝 阳 区 校 级 模 拟 ） 已 知 正 方 体 ABCD — A1B1C1D1 边 长 为 2 ， 动 点 M 满 足

----→ ---→ ---→ ---→
AM = x AB + yAD + z AA1 (x开0 ， y开0 ， z开0) ，则下列说法正确的是 ( )
时，则直线 AM 丄 平面 A1BD
时， B1M + MD 的最小值为
C ．当 x + y = 1 ， z ∈ [0 ， 1]时， AM 的取值范围为[、/2 , 2·、]
D ．当 x + y + z = 1 ，且 时，则点M 的轨迹长度为 兀 【答案】 BC
【考点】空间向量及其线性运算
【专题】逻辑推理；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；数学运算；综合法
由 时，得到M 为 CC1 的中点，可判定 A 错误；在DC 上取点K ，得到求得M 点在 HK 上，将平面B1HKC1 与平面 AHKD 沿着 HK 展开到同一平面内，可判定B 正确；证得 AC 丄 平面 BDD1B1 ，

12
求得 AM 的最大值与最小值，可判定 C 正确；求得点M 的轨迹在△ A1BD 内，根据题意得到M 点轨迹是
以 P 为圆心为半径的圆的一部分，且 上 可判定D 错误．
解：对于 A 中，由于 时，则 此时M 为 CC1 的 中点，
在正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中， 由 AC1 丄 平面 A1BD ，所以直线 AM 不会垂直平面 A1BD ，所以 A 错误；
对于 B 中，在 AB 上取点上取点 ， 因为 即 可得M 点在 HK 上，
将平面 B1HKC1 与平面 AHKD 沿着 HK 展开到同一平面内，如图（1）（2）所示，

连接 B1D 交 HK 于P ，此时 B ， P ， D 三点共线， B1M + MD 取到最小值即B1D 的长，
由于 所以 则 ， 所以 所以
即此时 B1M + MD 的最小值为 所以 B 正确；

对于 C 中，当 x + y = 1 ， z ∈ [0 ， 1] 时，可得点M 的轨迹在平面 BDD1B1 内（包括边界）， 在正方形 ABCD 中，可得 AC 丄 BD ，
因为 BB1 丄 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，所以 AC 丄 BB1 ，
又因为 BD∩ BB1 = B ，且 BD ， BB1 平面 BDD1B1 ，所以 AC 丄 平面 BDD1B1 ， 所以 又由
所以 AM 的取值范围为 所以 C 正确；

对于 D 中，当 x + y + z =1时，可得点M 的轨迹在△ A1BD 内（包括边界），

由于 CC1 丄 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，可得 CC1 丄 BD ，
又因为 BD 丄 AC ， AC∩ CC1 = C ， AC ， CC1 平面 ACC1 ，故 BD 丄 平面 ACC1 ， 因为 AC1 平面 ACC1 ，可得BD 丄 AC1 ，同理可证 A1B 丄 AC1 ，
又因为 A1B∩ BD = B ， A1B ， BD 平面 A1BD ，所以 AC1 丄 平面 A1BD ， 设 AC1 与平面 A1BD 交于点P ，由于 VA一A1BD = VA1 一

13
△ A1BD 为边长为 的正三角形，则点 A 到平面 A1BD 的距离为 ，
若 则 即M 点落在以 P 为圆心， 为半径的圆上， 此时 P 点到△ A1BD 三边的距离均为
即M 点轨迹是以P 为圆心， 为半径的圆的一部分，
又由 上 ，其轨迹长度为 3 倍的弧长 兀 ，所以D 错误．
故选： BC ．

【点评】本题考查的知识点：正方体的性质，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
-- ---→
12 ．（2024•烟台模拟） 已知空间向量 BA = (1, 2, 4) ， BC = (0, —2, 1) ，则 ( )
-- ---→
A ． BA . BC = 0

-- --
B ． CA 在 CB 上的投影向量为 (0 ，2 ， —1)

---→
C ．若向量 BE = (1, 0, 6) ，则点 E 在平面 ABC 内
D ．向量 是与平行的一个单位向量 【答案】 ABD
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】空间向量及应用； 向量法；数学运算；转化思想 【分析】进行向量坐标的数量积运算即可判断 A 的正误； 根据投影向量的计算公式即可判断 B 的正误；
---→ -- ---→
根据共面向量基本定理判断 BE ， BA, BC 是否共面，从而判断 C 的正误；
根据共线向量基本定理及单位向量的定义即可判断 D 的正误．
解 正确；
CA . CB = (CB + BA) . CB = (1 ， 4 ， 3) . (0 ， 2 ， —1) = 5 ， : CA 在 CB 上 的 投 影 向 量 为 ：
-- -- -- -- -- -- --

14
正确；

若 B--E-→ = xB--A + yB-- ，即 (1 ，0 ，6) = x(1 ，2 ，4) + y(0 ，—2 ，1) ，: 方程组无解，: B--E-→, B--A, B-- 不共面，点 E 不在平面 ABC 内， C 错误；
向量 是单位向量，且 向量 是与 平行的一个 单位向量， D 正确．
故选： ABD ．
【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，向量加法的几何意义，共面和共线向量基本定理，单位向量 的定义，是基础题．
13 ．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是 ( )
A ．对空间任意一点 O 与不共线的三点 A ， B ， C ，若 其中x ， y ， z ∈ R 且 x + y + z = 1 ，则 P ， A ， B ， C 四点共面
B ．已知 = (1, —1) ， b(→) = (d , 1) ， 与 b(→) 的夹角为钝角，则 d 的取值范围是 d < 1
C ．若 ， b(→) 共线，则| | — | b(→) |=| + b(→) |
D ．若 ， b(→) 共线，则一定存在实数 λ 使得b(→) =
【答案】 BCD
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算 【专题】综合法；转化思想；计算题；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算判断 A 、B 、C 、D 的结论．
---→ -- ---→ ---→
【 解 答 】 解 ： 对 于 A ： 由 于 OP = xOA + yOB + zOC ， 其 中 x ， y ， z ∈ R 且 x + y + z = 1 ， 则
整理得 故 所以P ，A ，B ，C 四点共面，故 A 正确；
对于 B ：由于 = (1, —1) ，b(→) = (d , 1) ， 与 b(→) 的夹角为钝角，故 d —1 < 0 ，且d ≠ —1 ，故d 的取值范围为 (—∞ ,
—1) (—1 ， 1) ，故 B 错误；
对于 C ：若 ， b(→) 共线且方向相反时，则| | — |b(→) |=| + b(→) | ，故 C 错误；

15
对于 D ：若 a– ， 共线，则一定存在实数 λ 使得 = λa– (a– ≠ 0– ) ，故D 错误．
故选： BCD ．
【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算，主要考查学生 的运算能力，属于中档题．
14 ．（2024•淄博模拟）如图，在平行六面体 ABCD — A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1 ，且它
们彼此的夹角都是 3(兀) ，M 为 A1C1 与B1D1 的交点．若 A(-)-B-– = a– ，A(-)-D-– = ，A(-)-A-1(–) = c– ，则下列说法正确的是 ( )

---– ----–
1
D ． AD . BD = 1

【答案】 AD
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算 【专题】综合法；数学运算；整体思想；空间向量及应用
【分析】 由题意可知 再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个 判断各个选项即可．
【解答】解： 由题意可知
对于 故 A 正确；
----– ---– ---– ---– –
对于 B ，又因为 AC1 = AB + AD + AA1 = a– + b + c– ，
所以 C(-)-M--– . A(-)2 = 0 ，
所以 故 B 错误；
----– ---– ---– ---– ---– ---– ---– –
对于 C ， BD1 = BA + BC + BB1 = —AB + AD + AA1 = —a– + b + c– ，故 C 错误；
对于 D ， AD . BD1 = b . (—a– + b + c– ) = —a– . b + b 2 + b . c– = 1 ，故D 正确． 故选： AD ．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算进而数量积运算，属于基础题．

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