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2025 年高考数学解密之多选题
一．多选题（共 25 小题）
1 ．（2024•屯溪区校级模拟）已知 F1 ，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过F2 的直 线l 与圆 O : x2 + y2 = a2 相切于点M ， l 与第二象限内的渐近线交于点 Q ，则 ( )
A ．双曲线 C 的离心率
B ．若 | OF2 |:|MF2 |=| OQ |:| QM | ，则 C 的渐近线方程为
则 C 的渐近线方程为

D ．若 | QF2 |= 4 | MF2 | ，则 C 的渐近线方程为 y = ±2x
2 ．（2024•湖北模拟）在 ΔABC 中， A ，B ， C 所对的边为 a ，b ，c ，设BC 边上的中点为M ， ΔABC 的
面积为 S ，其中 ， b2 + c2 = 24 ，下列选项正确的是 ( )
则 B ． S 的最大值为
C ． AM = 3 D ．角 A 的最小值为 3(兀)
3 ．（2024•郴州模拟）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，点P 是正方体的上底面 A1B1C1D1 内 （不含边界）的动点，点 Q 是棱 BC 的中点，则以下命题正确的是 ( )

A ．三棱锥 Q — PCD 的体积是定值

B ．存在点P ，使得 PQ 与 AA1 所成的角为 60O
C ．直线PQ 与平面 A1ADD1 所成角的正弦值的取值范围为
D ．若 PD1 = PQ ，则 P 的轨迹的长度为
4．（2024•随州模拟）在棱长为 2 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，E ，F 分别为 AB ，BC 的中点，则 ( )
A ．异面直线DD1 与B1F 所成角的余弦值为
B ．点 P 为正方形 A1B1C1D1 内一点，当DP / / 平面 B1EF 时， DP 的最大值为

1
C ．过点D1 ， E ， F 的平面截正方体 ABCD — A1B1C1D1 所得的截面周长为

D ．当三棱锥 B1 — BEF 的所有顶点都在球 O 的表面上时，球 O 的表面积为 6兀

5 ．（2024•宜春模拟）已知 A 二 R ，如果实数 x0 满足对任意的 a > 0 ，都存在 x ∈ A ，使得 0 <| x — x0 |< a ，则 称 x0 为集合 A 的“开点 ”，则下列集合中以0 为“开点 ”的集合有 ( )
A ． {x | x ≠ 0 ， x ∈ R} B ． {x | x ≠ 0 ， x ∈ Z}
C ． D ．
6 ．（2024•河池二模）若 a > 0 > b > c ，则下列结论正确的是 ( )
A ． B ． b2a > c2a
C ． D ．
a — c c
7 ．（2024•浙江模拟） 已知随机变量 X ， Y ，其中Y = 3X + 1 ，已知随机变量 X 的分布列如下表

X
1
2
3
4
5
P
m

n

若 E(X) = 3 ，则 ( )
A ． B ． C ． E(Y) = 10 D ． D(Y) = 21
8 ．（2024•滁州模拟） 已知事件 A ， B 满足 P （A） = 0.6 ， P （B） = 0.2 ，则下列结论正确的是 ( )

B ．如果B 二 A ，那么 P(AU B) = 0.6
C ．如果 A 与B 互斥，那么 P(AU B) = 0.8
D ．如果 A 与 B 相互独立，那么P(A . B) = 0.32
9．（2024•盐湖区一模）设 a ，b 是两条不同的直线，α , β 是两个不同的平面，则下列命题正确的有 ( )
A ．若 a / /α , b / /α , 则 a / /b B ．若 a 丄 α , b 丄 α , 则 a / /b
C ．若 a / /b ， b / /α , a / α , 则 a / /α D ．若 a / /α , α / / β , a / β , 则 a / / β
10．（2024•江西模拟）已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)[f(x) —f(x —y)] = f(xy) ，当 x ∈(—∞ , 0) (0 ， +∞) ，时， f(x) ≠ 0 ．下列结论正确的是 ( )
A ． B ． f(10) = 1
C ． f(x) 是奇函数 D ． f(x) 在 R 上单调递增

2
11 ．（2024•盐湖区一模）抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ， A(x1 ， y1 ) 、 B(x2 ， y2 ) 是抛物线上的两 个动点， M 是线段 AB 的中点，过M作 C 准线的垂线，垂足为 N ，则 ( )
A ．若 A(-)- = 2F--B ，则直线 AB 的斜率为 或 一
则
C ．若 A(-)- 和F--B 不平行，则 |
D ．若 上AFB = 120O ，则 的最大值为

12 ．（2024•保定三模）如图，在正方体 ABCD 一 A1B1C1D 中， E ， F ，M ， N 分别为棱 AA1 ， A1D1 ， AB ，

DC 的中点，点P 是面 B1C 的中心，则下列结论正确的是 ( )

A ． E ， F ， M ， P 四点共面
B ．平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形
C ． EF / / 平面 PMN
D ．平面MEF 丄 平面 PMN
13 ．（2024•青岛模拟）已知动点M ，N 分别在圆 C1 : (x 一1)2 + (y 一 2)2 = 1 和 C2 : (x 一 3)2 + (y 一 4)2 = 3 上，动 点 P 在x 轴上，则 ( )
A ．圆 C2 的半径为 3

B ．圆 C1 和圆 C2 相离

C ． | PM | + | PN | 的最小值为

D ．过点 P 作圆 C1 的切线，则切线长最短为

14 ．（2024•江苏模拟） 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中， E 为 AA1 的中点， 点 F 满足
则

3

A ．当 λ = 0 时， AC1 丄 平面 BDF
B ．任意 λ ∈ [0 ， 1] ，三棱锥 F — BDE 的体积是定值
C ．存在 λ ∈ [0 ， 1] ，使得 AC 与平面BDF 所成的角为 3(兀)
时，平面 BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为 兀
15 ．（2024•江西一模）下列说法正确的是 ( )
A ．用简单随机抽样从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 10 的样本，个体 m 被抽到的概率是 0.2

B ．已知一组数据 1 ，2 ， m ，6 ，7 的平均数为 4 ，则这组数据的方差是 5
C ．数据 27 ，12 ，14 ，30 ，15 ，17 ，19 ，23 的 50% 分位数是 17
D ．若样本数据 x1 ， x2 ， … , x10 的标准差为 8 ，则数据 2x1 —1 ， 2x2 — 1 ， … , 2x10 —1的标准差为 16
16 ．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会 ”上，共有 12 名同学参加 100 米、400 米、1500 米三个 项目，其中有 8 人参加“ 100 米比赛 ”，有 7 人参加“400 米比赛 ”，有 5 人参加“ 1500 米比赛 ”，“100 米 和 400 米 ”都参加的有 4 人，“100 米和 1500 米 ”都参加的有 3 人，“400 米和 1500 米 ”都参加的有 3 人， 则下列说法正确的是 ( )
A ．三项比赛都参加的有 2 人 B ．只参加 100 米比赛的有 3 人
C ．只参加 400 米比赛的有 3 人 D ．只参加 1500 米比赛的有 1 人
17 ．（2024•江西一模）已知函数 f(x) = ex—1 + e1—x + x2 — 2x ，若不等式 f(2 — a) < f(x2 + 3) 对任意的 x ∈ R 恒 成立，则实数 a 的取值可能是 ( )
A ． —4 B ． C ．1 D ．2
18 ．（2024•江西一模）已知正方体 ABCD — A1B1C1D1 的棱长为 1 ，M 是棱 A1B1 的中点，P 是平面 CDD1C1 上 的动点（如图），则下列说法正确的是 ( )

4

A ．若点 P 在线段 C1D 上，则BP / / 平面 B1D1A

B ．平面PBD1 丄 平面 A1C1D

C ．若 上MBP = 上MBD1 ，则动点P 的轨迹为抛物线

D ．以 ΔABA1 的一边 A1B 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，旋转过程中，三棱锥 A — BDC1 体积的 取值范围为
19 ．（2024•随州模拟）设正实数 a ， b 满足 a +b = 1 ，则下列结论正确的是 ( )
A ． 有最小值 4 B ． 有最小值
C ． 有最大值 D ． a2 + b2 有最小值
20．（2024•菏泽模拟）已知向量 在向量b(→) 方向上的投影向量为 向量 且 与 夹角兀
则向量 可以为 ( )
A ． (0, 2) B ． (2, 0) C ． D ．

21 ．（2024•临沂二模） 已知{an } 是等差数列， Sn 是其前 n 项和，则下列命题为真命题的是 ( )

A ．若 a3 + a4 = 9 ， a7 + a8 = 18 ，则 a1 + a2 = 5

B ．若 a2 + a13 = 4 ，则 S14 = 28

C ．若 S15 < 0 ，则 S7 > S8

D ．若{an } 和{an . an+1}都为递增数列，则 an > 0
22 ．（2024•浙江一模） 已知正方形 ABCD 在平面直角坐标系 xOy 中，且 AC : 2x — y +1 = 0 ，则直线 AB 的 方程可能为 ( )
A ． x + 3y + 1 = 0 B ． x — 3y + 1 = 0 C ． 3x + y +1 = 0 D ． 3x — y + 1 = 0
23．（2024•泰安二模）已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，a2 = 4 ，S7 = 42 ，则下列说法正确的是 ( )
A ． a5 = 4 B ．

5
C ． 为递减数列 D ． 的前 5 项和为
24．（2024•九龙坡区模拟）已知样本数据 x1 ，x2 ，x3 的平均数为 2，方差为 1，则下列说法正确的是 ( )

A ．数据 3x1 —1 ， 3x2 —1 ， 3x3 —1 的平均数为 6

B ．数据3x1 —1 ， 3x2 —1 ， 3x3 —1 的方差为 9

C ．数据 x1 ， x2 ， x3 ，2 的方差为 1

D ．数据 x12 , x22 , x32 的平均数为 5
25 ．（2024•河南模拟） 已知函数 下列说法正确的是 ( )
A ． f(x) 的最小正周期为
为 f 图象的一个对称中心
C ．若 f 在 上有两个实数根，则
D ．若 f(x) 的导函数为 f’(x) ，则函数 y = f(x) + f’(x) 的最大值为

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2025 年高考数学解密之多选题
参考答案与试题解析
一．多选题（共 25 小题）
1 ．（2024•屯溪区校级模拟）已知 F1 ，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过F2 的直 线l 与圆 O : x2 + y2 = a2 相切于点M ， l 与第二象限内的渐近线交于点 Q ，则 ( )
A ．双曲线 C 的离心率
B ．若 | OF2 |:|MF2 |=| OQ |:| QM | ，则 C 的渐近线方程为
则 C 的渐近线方程为

D ．若 | QF2 |= 4 | MF2 | ，则 C 的渐近线方程为 y = ±2x
【答案】 AC
【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征；求双曲线的渐近线方程
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
利用 tan 上 可得 ，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率 e ，知 A 正 确；根据斜率关系可知直线 OM 为双曲线 C 的一条渐近线，利用 cos 上QOF2 可构造方程求得B 正确；分别 利用 cos 上MOF1 和 cos 上QOF 可构造方程求得 CD 正误．
【解答】解：对于 A ， : OM 丄 MF2 ， | OF2 |= c ， | OM |= a ， ，

又l 与第二象限内的渐近线交于点 Q ，
即 正确；
对于 B ， 由 A 知 又 OM 丄 ， : 直线 OM 即为双 曲线 C 的一条渐近线，

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| OF2 | — | MF2 |=| OQ |:| QM | ，
:| OQ |:| QM |= c : b ，又| OQ |2 — | QM |2 = a2 ， :| OQ |= c ， | QM |= b ， cos 上 tan 上 ，
整理可得： c2 — 2b2 = c2 — 2(c2 — a2 ) = —ac ，即 c2 — ac — 2a2 = 0 ， :e2 — e — 2 = (e — 2)(e +1) = 0 ，

: e = 2 ，即 解得： ， : C 的渐近线方程为 错误； 对于 上

: cos 上 整理可得： c2 — 5a2 = —2a2 ，
即 c2 = a2 + b2 = 3a2 ， b2 = 2a2 ， ， : C 的渐近线方程为 正确；
对于 D ， :| QF2 |= 4 |MF2 |= 4b ， :| QM |= 3b ， :

整理可得： (a2 — 3b2 )2 = a2 (a2 + 9b2 ) ，
即 ， : C 的渐近线方程为 错误． 故选： AC ．
【点评】本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关 于 a ， b ， c 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程．是中档题．
2 ．（2024•湖北模拟）在 ΔABC 中， A ，B ， C 所对的边为 a ，b ，c ，设BC 边上的中点为M ， ΔABC 的
面积为 S ，其中 ， b2 + c2 = 24 ，下列选项正确的是 ( )
则 B ． S 的最大值为
C ． AM = 3 D ．角 A 的最小值为 【答案】 ABC

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【考点】正弦定理
【专题】转化思想；计算题；数学运算；解三角形；综合法
【分析】对于 A ，由余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
对于 B ，由已知利用基本不等式可求得bc.12 ，进而根据三角形的面积公式即可求解．
----→ ---→ ---→
对于 C ，由题意可得 2AM = AB + AC ，两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解．
对于 D ，利用基本不等式可求得bc .12 ，利用余弦定理可求 cos A开 ，结合范围 A∈(0, 兀) ，利用余弦函数 的性质即可求解．
【解答】解：对于 A ，若 ，
由余弦定理 a2 = b2 + c2 — 2bc cosA ，可得12 = b2 + c2 —bc = 24 —bc ，可得bc = 12 ，
所以ΔABC 的面积为 故 A 正确；
对于 B ，因为 24 = b2 + c2 开2bc ，可得bc .12 ，当且仅当 时等号成立，此时 a = b = c ，可得 ，
所以ΔABC 的面积为 故 B 正确；
----→ ---→ ---→
对于 C ，因为 BC 边上的中点为M ，可得 2AM = AB + AC ，
所以两边平方，可得 4AM = AB + AC + 2AB . AC ，
----→ 2 ---→ 2 ---→ 2 ---→ ---→
| AM |= 3 ，故 C 正确；
可 得 解 得 ----→

对于 D ，因为 24 = b2 + c2 开2bc ，可得bc .12 ，当且仅当 时等号成立，
所以 开 因为 A∈(0, 兀) ，可得 ，
所以 A 的最大值为3(兀) ，故D 错误．
故选： ABC ．

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦函

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数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
3 ．（2024•郴州模拟）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，点P 是正方体的上底面 A1B1C1D1 内 （不含边界）的动点，点 Q 是棱 BC 的中点，则以下命题正确的是 ( )

A ．三棱锥 Q — PCD 的体积是定值

B ．存在点P ，使得 PQ 与 AA1 所成的角为 60O
C ．直线PQ 与平面 A1ADD1 所成角的正弦值的取值范围为
D ．若 PD1 = PQ ，则 P 的轨迹的长度为
【答案】 ACD
【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角 【专题】转化法；立体几何；数学运算；转化思想
【分析】对于 A ：利用等体积转换即可求得体积为定值；
---→ ---→
对于 B ：建立空间直角坐标系，设 P(x ，y ，0) ，得出 QP = (x — 2, y = 1, 2) ，AA1 = (0, 0, 2) ，利用向量夹角
公式即可求解；
对于 C ：求出平面 A1ADD1 的法向量为 = (1 ，0 ， 0) ，利用向量夹角公式即可求解；

对于 D ：由 PD1 = PQ 可得 x2 + (y — 2)2 = (x — 2)2 + (y —1)2 + 4 ，即可求解．
解：对于 ，故 A 正确；
以 A1 为坐标原点， A1B1 为 x 轴， A1D1 为y 轴， A1A1 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 Q(2 ，1 ， —2) ，设 P(x ， y ， 0)(0 < x < 2 ， 0 < y < 2) ，

10
---→
则 QP = (x — 2, y = 1, 2) ，

---→
对于 B ， AA1 = (0, 0, 2) ，
PQ 与 AA1 的夹角 故 B 错误；
对于 C ，平面 A1ADD1 的法向量为 = (1 ，0 ， 0) ，
: 直线 PQ 与平面 A1ADD1 所成的角 β 的正弦值为 故 C 正确；
对于 ，

由 PD1 = PQ 可得 x2 + (y — 2)2 = (x — 2)2 + (y —1)2 + 4 ， 化简可得 4x — 2y — 5 = 0 ，
在 xA1y 平面内，令x = 2 ，得 ， 令 y = 0 ，得 ，
所以 P 的轨迹的长度为 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查等体积法求体积以及空间向量的应用，属于中档题．
4．（2024•随州模拟）在棱长为 2 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，E ，F 分别为 AB ，BC 的中点，则 ( )
A ．异面直线DD1 与B1F 所成角的余弦值为
B ．点 P 为正方形 A1B1C1D1 内一点，当DP / / 平面 B1EF 时， DP 的最大值为
C ．过点D1 ， E ， F 的平面截正方体 ABCD — A1B1C1D1 所得的截面周长为

D ．当三棱锥 B1 — BEF 的所有顶点都在球 O 的表面上时，球 O 的表面积为 6兀
【答案】 ACD
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；异面直线及其所成的角；球的体积和表面积 【专题】立体几何；数学运算；空间角；对应思想； 向量法
【分析】对于 A ：根据正方体的性质得出在Rt △ BB1F 中 上BB1F 即为异面直线DD1 与B1F 所成的角，即可 判定；对于 B ：取 A1D1 的中点M ，D1C1 的中点N ，连接MN ，DM ，DN ，得到DM / /B1F ，DN / /B1E ， 即可证明面DMN / / 面 B1EF ，则根据已知得出 P 轨迹为线段MN ，则过D 作DP 丄 MN ，此时DP 取得最

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小值，即可判定；对于 C ：过点 D1 、 E 、 F 的平面截正方体 ABCD - A1B1C1D1 所得的截面图形为五边形

---→ ---→ ----→
D1MEFN ，得出D1M / /NF ， D1N / /ME ，设 AM = m ， CN = n ， 以D 为原点，分别以DA, DC, DD1 方向

---→ ----→ ---- ---→
为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系D - xyz ，得出ME ，D1N ，D1M ，NF 的坐标，则可根据

D1M / /NF ， D1N / /ME 列式得出 AM ， CN ，即可得出 A1M ， C1N ，在 Rt △ D1A1M 中得出D1M ，同理 得出D1N ，在 RtΔMAE 中得出ME ，同理得出FN ，在 RtΔEBF 中得出EF ，即可得出五边形D1MEFN 的 周长，即过点D1 、E 、F 的平面截正方体 ABCD - A1B1C1D1 所得的截面周长，即可判定；对于D ：取 EF 的 中点 O1 ，则 O1E = O1F = O1B ，过 O1 作 OO1 / /BB1 ，且使得 则 O 为三棱锥 B1 - BEF 的外接 球的球心，则 OE 为外接球的半径，计算得出半径即可求出球 O 的表面积，即可判定．
【解答】解：对于 A 选项， : DD1 / /BB1 ，

: 在Rt △ BB1F 中 上BB1F 即为异面直线DD1 与B1F 所成的角，

: 异面直线DD1 与B1F 所成的角的余弦值为 故 A 正确；
对于 C 选项，过点D1 、 E 、 F 的平面截正方体 ABCD - A1B1C1D1 ，

:平面 AA1D1D / / 平面 BB1C1C ，则过点D1 、 E 、 F 的平面必与 AA1 与 CC1 交于两点，

设过点D1 、 E 、 F 的平面必与 AA1 与 CC1 分别交于M 、 N ，

: 过点D1 、 E 、 F 的平面与平面 AA1D1D 和平面 BB1C1C 分别交于 D1M 与 FN ， :D1M / /NF ， 同理可得

D1N / /ME ，

如图过点D1 、 E 、 F 的平面截正方体 ABCD - A1B1C1D1 所得的截面图形为五边形D1MEFN ，

12
---→ ---→ ----→
如图以D 为原点，分别以DA, DC, DD1 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系D - xyz ，

设 AM = m ， CN = n ，
则M (2 ，0 ， m) ， N(0 ，2 ， n) ， E(2 ，1 ， 0) ， F(1 ，2 ， 0) ， D1 (0 ，0 ， 2) ，

: D1M / /NF ， D1N / /ME ，
解得 ，
, , ,
: 在Rt △ D1A1M 中 同理 ， 在 RtΔMAE 中 同理
在 RtΔEBF 中， BE = BF = 1 ， : ，

即过点D1 、 E 、 F 的平面截正方体 ABCD - A1B1C1D1 所得的截面周长为 故 C 正确；

对于 B 选项，取 A1D1 的中点M ， D1C1 的中点N ，取 AD 的中点S ，连接MN ， DM ， DN ， A1S ， SF ，

: SF / /AB / /A1B1 ， SF = AB = A1B1 ，

: 四边形 A1B1FS 为平行四边形， : AA1 / /B1F ， : A1S / /DM ， :MD / /B1F ，

同理可得 DN / /B1E ，

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又:DM / 面 B1EF ， B1F 面 B1EF ， DN / 面 B1EF ， B1E 面 B1EF ，
:DM / / 面 B1EF ， DN / / / 面B1EF ，
又: DM∩ DN = D ， DM ， DN 面DMN ， : 面DMN / / 面 B1EF ，
又: DP / / 面B1EF ， P ∈面 A1B1C1D1 ，
:P 轨迹为线段MN ，
: 在 ΔDMN 中，过D 作DP 丄 MN ，此时DP 取得最小值， 在 Rt △ DD1M 中， D1M = 1 ， D1D = 2 ， : ，
在 Rt △ DD1N 中， D1N = 1 ， D1D = 2 ， : ，
在 Rt △ MD1N 中， D1N = 1 ， D1M = 1 ， : ，
: 如图，在 RtΔDPN 中
即DP 的最小值为 而DP 的最大值为 ．故 B 错误；

对于 D 选项，如图所示，取 EF 的中点 O1 ，则 O1E = O1F = O1B ，过 O1 作 OO1 / /BB1 ， 且使得 ，则 O 为三棱锥 B1 - BEF 的外接球的球心，
所以 OE 为外接球的半径，

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:在RtΔEBF 中 ，

: S球 = 4兀R2 = 6兀 ．故D 项正确， 故选： ACD ．
【点评】本题考查线面角以及利用空间向量法解决球体相关问题，属于中档题．
5 ．（2024•宜春模拟）已知 A 二 R ，如果实数 x0 满足对任意的 a > 0 ，都存在 x ∈ A ，使得 0 <| x - x0 |< a ，则 称 x0 为集合 A 的“开点 ”，则下列集合中以0 为“开点 ”的集合有 ( )
A ． {x | x ≠ 0 ， x ∈ R} B ． {x | x ≠ 0 ， x ∈ Z}
C ． D ． 【答案】 AC
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】综合法；综合题；集合；集合思想；数学运算 【分析】 由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．
【解答】解：对于 A ，对任意的 a > 0 ，存在 使得 故 A 正确；
对于 B ，假设集合{x | x ≠ 0 ， x ∈ Z} 以 0 为“开点“ ，则对任意的 a > 0 ，存在 x ∈{x | x ≠ 0 ， x ∈ Z} ，
使得 0 <| x - 0 |< a ，当 时，该式不成立，故B 错误；
对于 C ，假设集合 以 0 为“开点“ ，则对任意的 a > 0 ，存在 ， 使得 0 <| y - 0 |< a ，故 C 正确；
对于 D ，集合 当 x ∈ N 时 ，
时 使得 0 <| y - 0 |< a 不成立，故D 错误．
故选： AC ．

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【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．
6 ．（2024•河池二模）若 a > 0 > b > c ，则下列结论正确的是 ( )
A ． B ． b2a > c2a
C ． D ． a 一
a 一 c c
【答案】 ACD
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式
【专题】转化思想；数学运算；转化法；不等式的解法及应用
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质， 以及特殊值法，即可求解． 【解答】解： : a > 0 > b > c ，
:b 一 c > 0 ， bc > 0 ，
一 即 故 A 正确；
不妨取 a = 1 ， b = 一2 ， c = 一3 ， b2a = (一2)2 = 4 ， c2a = (一3)2 = 9 ，显然 4 < 9 ，故 B 错误； : a > 0 > b > c ，
: c 一 b < 0 ， a 一 c > 0 ，
一 即 故 C 正确； : a > 0 > b > c ，
: a 一 c > 0 ， a 一 b > 0 ， b 一 c > 0 ，
a 一 c 一 2·、(a 一 b)(b 一 c) = (a 一 b) + (b 一 c) 一 2·、(a 一 b)(b 一 c) = (·、a 一 b 一 ·、b 一 c)2 开0 ，
, D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
7 ．（2024•浙江模拟） 已知随机变量 X ， Y ，其中Y = 3X + 1 ，已知随机变量 X 的分布列如下表

X
1
2
3
4
5
P
m

n

若 E(X) = 3 ，则 ( )
A ． B ． C ． E(Y) = 10 D ． D(Y) = 21 【答案】 AC
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列

16
【专题】整体思想；概率与统计；综合法；数学运算
【分析】 由已知结合概率的性质及期望公式先检验 A ， B ，然后再由期望及方差的性质即可求解． 【解答】解： 由 E(X) = 1 × m + 2× 0. 1+ 3× 0.2 + 4× n + 5× 0.3 ，可得 m + 4n = 0.7 ，
由 m + 0. 1+ 0.2 + n + 0.3 = 1 ，可得 m + n = 0.4 ，
从而得： m = 0.3 ， n = 0. 1 ，故 A 正确， B 错误， E(Y) = 3E(X) +1 = 10 ，故 C 项正确，
因为 D(X) = 0.3 × (1- 3)2 + 0.1 × (2 - 3)2 + 0.1 × (4 - 3)2 + 0.3 × (5 - 3)2 = 2.6 ， 所以 D(Y) = 9D(X) = 23.4 ．，故D 错误．
故选： AC ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量及其分布列的求解，属于基础题．
8 ．（2024•滁州模拟） 已知事件 A ， B 满足 P （A） = 0.6 ， P （B） = 0.2 ，则下列结论正确的是 ( )

mm mm
A ． P(A) = 0.8, P(B) = 0.4
B ．如果B 二 A ，那么 P(AU B) = 0.6
C ．如果 A 与B 互斥，那么 P(AU B) = 0.8
D ．如果 A 与 B 相互独立，那么P(A . B) = 0.32 【答案】 BCD
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件 【专题】数学运算；定义法；概率与统计；方程思想
【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可．
【解答】解：对于选项 故 A 错误；

对于选项 B ，如果 B 二 A ，那么P(AU B) = P （A） = 0.6 ，故 B 正确；
对于选项 C ，如果 A 与 B 互斥，那么P(AU B) = P （A） +P （B） = 0.8 ，故 C 正确； 对于选项 D ，如果 A 与B 相互独立，那么
P(A . B) = P(A)P(B) = (1- P(A))(1- P(B)) = 0.4 × 0.8 = 0.32 ，故 D 正确． 故选： BCD ．
【点评】本题考查互斥事件和独立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2024•盐湖区一模）设 a ，b 是两条不同的直线，α , β 是两个不同的平面，则下列命题正确的有 ( )
A ．若 a / /α , b